Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра.docx

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

559.87 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Линейная алгебра

1.Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a_ij и b_i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x₁,…,x_n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a_ij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b₁,…,b_m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c₁,…,c_n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c₁,…,c_n вместо соответствующих неизвестных x₁,…,x_n.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система может иметь единственное решение.
Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.
И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x₁ + x₂ равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Если решение одно то система определённая, если система имеет бесконечное множество решений то она неопределённая.

2. Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений

выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид где , а .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид где , а . Таким образом, переменная x₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x₃, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x_n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x_n находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.

3. Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана^[1].

Пусть дано:

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)[править | править вики-текст]

Разделим первую строку матрицы А на получим: , j — столбец матрицы А.
Повторяем действия для матрицы I, по формуле: , s — столбец матрицы I

Получим:

Будем образовывать 0 в первом столбце :
Повторяем действия для матрицы І, по формулам :

Получим:

продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы :

при условии, что

Повторяем действия для матрицы І, по формулам :

при условии, что

Получим :

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)[править | править вики-текст]

Используем формулу: , при условии, что

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : , при условии, что

Окончательно получаем :

4.метод треугольников, студенческий метод, метод разложения по столбцу или строчке.

5. Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A₁₁ элемента a₁₁, 2-ое уравнение – на A₂₁ и 3-е – на A₃₁:

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Далее рассмотрим коэффициенты при x₂:

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x1 + x2 + … + xn

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А->А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

6. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка) называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «» в противном случае.

1⁰. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

2⁰. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

3⁰. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

4⁰. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

5⁰. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

6⁰. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые.

7⁰. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

8⁰. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые строк матрицы . Тогда определитель матрицы равен сумме всевозможных произведений миноров -го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

7. Диагональные и треугольные матрицы[править | править вики-текст]

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

Симметричные и кососимметричные матрицы[править | править вики-текст]

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, т.е., A = A^T, называется симметричной. Если же, A равна минус транспонированной, т.е., A = −A^T, A называется кососимметричной. В случае комплексных матриц симметрия часто заменяется понятием самосопряжённости, и в этом случае требуется, чтобы выполнялось A^∗ = A, где звёздочка означает сопряжено-транспонированную матрицу, т.е транспонированную сопряжённой к A.

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных Эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов. То есть, люой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинациисобственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны.^[1] Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

Вычтем из последнего столбца предпоследний, уможенный на , из -го — -й, уможенный на , из -го — -й, уможенный на и так далее для всех стобцов. Эти преобразования не меняют определитель матрицы. Получим

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получаем, что он равен следующему определителю:

Для всех от 1 до вынесем из -й строки множитель . Получим

Подставим значение имеющегося в предыдущей формуле определителя, известного из индукционного предположения:

■

9. Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

10. Сложение матриц и умножение на число

Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. Определение 14.2 Суммой матриц и размеров является матрица таких же размеров, у которой , , .