Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если   ряд расходится, если   вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то, подставив в определение предела выбранное  , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже сходится.

2. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то, подставив в определение предела выбранное  , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

2. Рассмотрим ряд

ряд сходится.

3. Признак сравнения положительных рядов в конечной форме

Пусть даны два знакоположительных ряда:  и  Тогда, если, начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда   следует сходимость  . Или же, если ряд   расходится, то расходится и  .

Доказательство

Обозначим   частные суммы ряда  . Из неравенств   следует, что   Поэтому из ограниченности   вытекает ограниченность   а из неограниченности   следует неограниченность   Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для 

4. Разложение в ряд Тейлора функций sin x, cos x

5. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Касательная плоскость.

Дифференциал функции двух переменных

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f ^/_x (х₀,у₀) и f ^/_у (х₀,у₀).

О. Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется разность

 

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

где , то функция называется дифференцируемой в точке M ₀ (х₀,у₀).

О. Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения     , линейная относительно приращений её аргументов  . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно     . Таким образом,

6. Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где  , , ,…, ,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

…………..

,

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм  .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда   стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число  - суммой сходящегося ряда, т.е.

 и  .

Эта запись равносильна записи

.

Если частичная сумма   ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к  или  ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение   при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность   называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Примеры числовых рядов.

Пример 1. Ряд вида

 (1.2)

называется геометрическим  .

Геометрический ряд образован из членов геометрической прогрессии.

Известно, что сумма её первых n членов  . Очевидно: это n-ая частичная сумма ряда (1.2).

Возможны случаи:

:

.

Ряд (1.2) принимает вид:

,

, ряд расходится;

Ряд (1.2) принимает вид:

,

 не имеет предела, ряд расходится.

,

 - конечное число, ряд сходится.

,

 - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при  и расходится при  .

Пример 2. Ряд вида

 (1.3)

называется гармоническим.

Пример 3. Ряд вида

 (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд   может сходиться только при условии, что его общий член   при неограниченном увеличении номера   стремится к нулю:  .

Если  , то ряд   расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

7. Признак Даламбера сходимости числового ряда.

Если для числового ряда

существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.