Определение:

Пусть на   задан функциональный ряд  . Тогда он равномерно сходится к

, если

Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости):

Ряд равномерно сходится на     

Доказательство:

 Пусть ряд равномерно сходится.

, где   — сумма ряда. Тогда

По определению равномерной сходимости,  .

В силу предыдущего неравенства,  , то есть, выполняется условие критерия Коши.

 Пусть выполняется условие критерия Коши.

 для   выполняется критерий Коши сходимости числовых рядов. Значит, этот ряд сходится. На всем   определена его сумма. Осталось установить равномерную сходимость ряда.

По условию критерия Коши, 

Как и в первой половине доказательства,  , но  . В неравенстве с   можно подставлять любой фиксированный  . Устремим  : 

Значит, определение равномерной сходимости проверено.

Теорема (Вейерштрасс):

,   ,  ,   — сходится. Тогда   равномерно сходится на  .

Доказательство:

Применим критерий Коши:

Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно  ,

. Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

Теорема (Абель-Дирихле):

Для равномерной сходимости на множестве   ряда   ,   и   достаточно, чтобы выполнялась пара условий  :

1)Частичные суммы   ряда   равномерно ограничены на  ;

2)Последовательность функций   монотонна и сходится к нулю на  .

Доказательство:

Монотонность последовательности   позволяет при каждом   записать оценку:

где   и в качестве   возьмем   .

Если выполнена пара условий 1) и 2), то с одной стороны существует такая постоянная  ,что   при любом   и любом  , а с другой стороны, какого бы ни было число  , при всех достаточно больших значениях   и   и любом   будет выполнено неравенство  . Значит, что при всех достаточно больших значениях   и   и любом   будет  , т.е. для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.