Пределы функции в точке и на бесконечности

Пусть функция y =f(x) определена в некоторойокрестностиx₀,кроме, может быть, самой точки x₀.

Определение.ЧислоA называется пределом функцииy =f(x) в точке x₀ (или при х →x₀), если для любого сколь угодно малого числа ε> 0найдетсятакоечисло δ> 0, что для всех х ¹x₀, удовлетворяющих неравенству

│ х –x₀│< δ, выполняется неравенство│f(x) –А│<ε.

Или кратко:

 ε> 0   δ > 0,   x:│ х –x₀│< δ, х ¹x₀=> │f(x) –А│<ε.

Г еометрический смысл предела функции заключается в следующем: число   , если для любой ε – окрестности точкиAнайдется такая δ – окрестность точки x₀, что для всех х ¹x₀ из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε – окрестности точки А.

Рис. 1

Пример:Доказать, что 

Решение. Возьмем произвольное   и найдем   такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству,   , выполняется неравенство   , то есть   .

Взяв   , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству,   , выполняется неравенство   , следовательно,

 

Пусть функция y =f(x) определена в промежутке (–   ; +   ).

 

Определение.ЧислоA называется пределом функцииf(x) при х     , если для любого числа ε > 0существуеттакоечисло M = M (ε) > 0, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству │x│>M,выполняется неравенство │f(x) – А│< ε. В этом случае пишут   f(x) = А.

Или кратко:

 ε> 0   M> 0, │x│ >M=> │f(x) –А│<ε.

 f(x) = А.

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки   называется:

Пусть функция   определена в некоторой проколотой окрестности точки   Говорят, что   имеет бесконечный предел в этой точке   если:

В этом случае функцию называют бесконечно большой при   Данный общий случай можно разделить на два частных:

и, соответственно

Пример 1

Дана функция  Найти предел при 

РЕШЕНИЕ	СКРЫТЬ
Функция определена на всей вещественной оси кроме т.  . Рассмотрим некоторую проколотую окрестность  . Как видно, для   такое, что  . Отсюда, по определению следует, что эта функция бесконечно большая при  . При этом на  , а на  .

Пределы на бесконечности

Число   называют пределом функции   на бесконечности   если

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на 

и на 

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

Пример 2

Рассмотрим функцию 

РЕШЕНИЕ	СКРЫТЬ
При   значение функции монотонно растет. Для любого   и соответствующего ему   найдется такой  , например,  , что  . Иначе говоря,  . Это значит, что  .

Свойства пределов функции

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся вторым свойство, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся третьим свойство, сделаем числитель и знаменатель функции отдельными пределами и независимо найдем их.

Ответ. 

4°   Константу можно выносить за знак предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся первым и четвертым свойствами, разложим функцию на несколько более простых и отдельно найдем их пределы.

Ответ. 

5°   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Пример

Задание. Вычислить предел 

Решение. Воспользуемся пятым свойством, внесем предел под третью степень. Сначаланайдем предел более простой функции, а затем возведем его в третью степень.

Ответ. 

1. Арифметические свойства предела функции.  Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ), кроме быть может точки x₀. Если существует пределы

 ^{и  ,}

то существуют пределы в левых частях равенств и имеют место эти равенства :

^{a.    б.}   

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.  2. Если 

^,

^{то существует проколатая окрестность   точки  , где функция f ( x ) ограничена.}  Действительно, если взять   = 1   0 , то из существования конечного предела следует, что существует     0, что для всех x : 0   | x - x₀ |    , выполняется | f ( x ) - A |   1, отсюда, | f ( x ) | - | A |   | f( x ) - A |   1 , т.е.

3. Если 

^,

^{то существует проколотая окрестность   точки  , что для всех x     :} 

Действительно, возьмем     0, тогда из существования конечного предела, следует, что существует  ^{окрестность  , что для всех x     :} 

4. Свойства, связанные с неравенствами.  Если 

^, 

^{и для всех x     : f ( x )   g ( x ) , то A   B}  Если 

 ^{=   = A}

и для всех x     :   , то существует 

Доказательства этих свойств следуют из следующих свойств для сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне.

Основные неопределенности пределов и их раскрытие.

С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называютнеопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль   (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность  , ноль умножить на бесконечность  , бесконечность минус бесконечность  , единица в степени бесконечность  , ноль в степени ноль  , бесконечность в степени ноль  .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

• упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);

• использование замечательных пределов;

• применение правила Лопиталя;

• использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным(использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Сгруппируем неопределенности в таблицу неопределенностей. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

Эта таблица вместе с таблицей пределов основных элементарных функций будут Вашими главными инструментами при нахождении любых пределов.

Приведем парочку примеров, когда все сразу получается после подстановки значения и неопределенности не возникают.

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем значение:

И сразу получили ответ.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

То есть, предел можно переписать в виде

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция  . Обратимся ктаблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем   и  , следовательно, можно записать  .

Исходя из этого, наш предел запишется в виде:

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большим единицы, откуда имеем:

Ответ:

Разберем на примерах с подробными решениями раскрытие неопределенностей преобразованием выражений.

Очень часто выражение под знаком предела нужно немного преобразовать, чтобы избавиться от неопределенностей.

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения. Пробуем упростить выражение.

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности (0 на 0). Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Домножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Для знаменателя сопряженным выражением будет 

Знаменатель мы домножали для того, чтобы можно было применить формулу сокращенного умножения – разность квадратов и затем сократить полученное выражение.

После ряда преобразований неопределенность исчезла.

Ответ:

ЗАМЕЧАНИЕ: для пределов подобного вида способ домножения на сопряженные выражения является типичным, так что смело пользуйтесь.

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет.

Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Ответ:

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при   возникает неопределенность вида бесконечность на бесконечность  , в этом случае неопределенность раскрывается делением и числитель и знаменатель на 

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

  Степень числителя равна семи, то есть m=7. Степень знаменателя также равна семиn=7. Разделим и числитель и знаменатель на  . 

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

  Степень числителя 8/3, степень знаменателя 2. Разделим и числитель и знаменатель на  . 

Ответ:

Пример.

Вычислить предел 

Решение.

  Степень числителя 3, степень знаменателя 10/3. Разделим и числитель и знаменатель на . 

Ответ:

ВЫВОД.

Таким образом, возможны три варианта для предела отношения степенных выражений:

• Если m равно n, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях;

• Если m больше n, то предел равен бесконечности;

• Если m меньше n, то предел равен 0.