Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ростовский Государственный Экономический Университет "РИНХ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

CHAFMat-analiz.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Решение типового варианта

Пример 1а. Доказать равенство .

Решение. Для того, чтобы доказать равенство двух множеств нужно доказать вложения этих множеств друг в друга.

а). Докажем вложение . Пусть .

б). Докажем вложение . Пусть .

Из а) и б) следует доказываемое равенство.

Пример 1б. Исходя из определения предела последовательности, доказать, что .

Решение. По определению предела последовательности нужно доказать, что для любого малого числа можно найти такое натуральное число , что для всех номеров выполняется неравенство . Упростим левую часть последнего неравенства. Имеем (для ). Далее . Решим теперь неравенство . Имеем . Таким образом, неравенство выполняется для номеров . Следовательно, оно тем более выполняется для , где – целая часть числа .

Пример 2. Найти область определения функции

Решение. Корень четной степени имеет смысл от неотрицательных чисел. Поэтому . И так как это выражение стоит в знаменателе, то . Решим это неравенство методом интервалов: .

Решением является интервал .

Функция определена при т. е. .

Значит из интервала нужно удалить точку . Следовательно, область определения данной функции является множество .

Пример 3. Найти предел .

Решение. Подставив вместо число , в числителе и знаменателе получим , т.е. получается неопределенность . Чтобы раскрыть эту неопределенность разложим числитель и знаменатель на множители:

а). ;

б). .

Тогда имеем

Пример 4. Найти предел .

Решение. Подставив вместо «бесконечно большое число» , в числителе и знаменателе получим , т.е. получается неопределенность . Чтобы раскрыть её разделим числитель и знаменатель на наибольшую степень . Имеем

Пример 5. Найти предел .

Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Для её раскрытия избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение. Имеем

Пример 6. Найти предел .

Решение. Подставив вместо число 0, получим неопределенность вида . Для её раскрытия воспользуемся тригонометрическими формулами и первым замечательным пределом: . Имеем

Пример 7. Найти предел .

Решение. Вместо подставив 0, получим неопределенность вида . Следовательно, нужно воспользоваться вторым замечательным пределом: . Имеем

Пример 8. Исследовать функцию

на непрерывность и построить её график.

Решение. Данная функция определена во всех точках оси абсцисс, кроме точки . Функция состоит из элементарных функций, которые, как известно, непрерывны в области определения. Значит на непрерывность нужно исследовать точки «стыка» и точку, в которой функция не определена. Для удобства сделаем следующую схему:

a). Исследуем точку . Найдём пределы слева, справа и

значение функции в этой точке:

, .

Вывод: Так как односторонние пределы конечны и не равны между собой, то в точке разрыв первого рода. Скачок в этой точке равен . Так как предел справа совпадает со значением функции, то в точке функция непрерывна справа.

б). Исследуем точку . Имеем , , функция в точке не определена.

Вывод: Так как односторонние пределы равны , то в точке разрыв второго рода.

в). Исследуем точку . Имеем , , .

Вывод: В точке односторонние пределы существуют и совпадают со значение функции в сомой точке. Значит в точке данная функция непрерывна.

Построим график данной функции.

Пример 9. Продифференцировать функцию

Решение. Данная функция представляет собой алгебраическую сумму нескольких функций. Поэтому воспользуемся свойством производной от суммы функций: . Потом, воспользовавшись свойством , приведём степенные функции к удобному для применения формулы виду. Имеем

Пример 10. Продифференцировать функцию

Решение. Воспользуемся последовательно формулами , , . Имеем

Пример 11. Продифференцировать функцию

Решение. Воспользуемся формулами ,

, , . Имеем

Пример 12. Продифференцировать функцию .

Решение. Воспользуемся формулами , , , . Имеем

Пример 13. Продифференцировать неявно заданную функцию .

Решение. Продифференцируем равенство , считая функцией от : . Теперь найдем из этого уравнения: .

Пример 14. Найти производную функции , заданной параметрически: , .

Решение. Воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: . Имеем , . Значит .

Пример 15. Для функции и аргумента вычислить : .

Решение. Найдём последовательно первую, вторую и третью производные данной функции:

Теперь осталось найти значение : .

Пример 16. Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

Решение. Обозначим координаты искомой точки через и . Так как касательная параллельна данной прямой, то их угловых коэффициенты должны совпадать. Для того, чтобы определить угловой коэффициент прямой перепишем её уравнение в виде . Значит угловой коэффициент прямой равен 2. Как известно, значение производной функции в точке есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке . В нашем случае . Имеем . Так как искомая точка лежит на данной кривой, получаем равенство . Таким образом, относительно неизвестных и получена система уравнений:

Пример 17. Тело движется по прямой по закону . Определить скорость и ускорение движения тела. В какие моменты времени оно меняет направление движения?

Решение. Как известно, первая производная функции, задающей закон движения, есть скорость тела , а вторая производная – его ускорение . Тогда имеем , . Чтобы найти моменты времени, в которые тело меняет направление движения, нужно найти точки, в которых функция меняет знак. Для этого решим уравнение . Так как время неотрицательно, то делаем вывод: тело меняет направление движения в момент времени .

Пример 18. Найти предел, используя правило Лопиталя: .

Решение. Подставив вместо число 0, получим неопределенность вида . Правило Лопиталя можно применить только к неопределенностям вида и . Чтобы свести неопределенность к одной из указанных неопределенностей, обозначим данный предел буквой и прологарифмируем обе части: ,

Таким образом, .

Пример 19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке :

Решение. Найдем значения функции в стационарных точках, принадлежащих данному отрезку, и в граничных точках. Из этих значений выберем наибольшее и наименьшее. Имеем . Точка не принадлежит отрезку . , , . Следовательно, , .

Пример 20. Провести полное исследование функции

и построить её график:

Решение. 1). Область определения. .

2). Чётность, нечётность. функция – нечётная график симметричен относительно начала координат.

3). Точки пересечения с осями координат. а). – уравнение не имеет решения график не пересекает ось . б). график не пересекает ось .

4). Монотонность. ,

функция возрастает на множестве и убывает на множестве .

5). Экстремумы. В соответствии с монотонностью сделаем схему:

при – max, при – min. , . Следовательно, – точка максимума, – точка минимума.

6). Выпуклость. график функции на интервале выпуклый вниз, на интервале выпуклый вверх.

7). Точки перегиба. Направление выпуклости графика функции меняется при переходе через точку . Но эта точка не принадлежит области определения функции. Значит точек перегиба нет.

8). Асимптоты. а). Вертикальные асимптоты. Точка не входит в область определения функции. Исследуем поведение графика функции в окрестности этой точки. Если хотя бы один из односторонних пределов равен , то прямая (ось ) является вертикальной асимптотой.

, .