Дифференцирование

33. Определение производной функции. Теория: [1, стр. 235-238], [2, стр. 150-151], [3, стр. 189-192], [4, стр. 186-193], [5, стр. 99-100], [7, стр. 66-67], [8, стр. 38-39, 147-150], [11, стр. 104-105 [17, стр. 322], [21, стр. 304]. Решённые примеры: [4, стр. 193-196], [17, стр. 322-323], [20, стр. 119-120, 126-128]. Задачи: [14, зад. 821-824], [15, зад. 440-453], [17, зад. 13.1-13.2], [19, зад. 427-439], [20, зад. 16.2, 91.2-97.2], [25, стр. 54-55].

Предел отношения при называется производной функции в точке и обозначается , или , т.е. .

Если производная существует для всех , то функция называется дифференцируемой на интервале .

33. Дифференциал функции. Теория: [1, стр. 238-243], [2, стр. 152-154], [3, стр. 193-197], [4, стр. 211-216], [5, стр. 108-109], [7, стр. 101-105], [8, стр. 152-154], [11, стр. 109-112], [17, стр. 343, 344], [21, стр. 316-317, 321-323]. Решённые примеры: [17, стр. 343-345], [20, стр. 138-139]. Задачи: [14, зад. 1083-1090], [15, зад. 889], [17, зад. 13.209-13.214], [19, зад. 586-613], [20, зад. 152.2], [25, стр. 59-60].

Если приращение функции в точке представимо в виде , где не зависит от и при , то функция называется дифференцируемой в точке , а произведение называется её дифференциалом в точке и обозначается или .

Если функция дифференцируема в каждой точке интервала , то .

33. Геометрический смысл производной и дифференциала. Теория: [1, стр. 243-247], [2, стр. 154-156], [3, стр. 192-193, 196-197], [4, стр. 187-189], [5, стр. 101-102], [7, стр. 67-69, 105-106], [8, стр. 36-38], [11, стр. 105-106], [17, стр. 347-348], [21, стр. 302-303, 304, 318-319]. Решённые примеры: [17, стр. 349-350], [20, стр. 132-133]. Задачи: [14, зад. 825-826, 1055-1063], [15, зад. 454-465], [17, зад. 14.1-14.3, 14.11], [19, зад. 614-644], [20, зад. 119.2-133.2].

Если функция имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен . Следовательно, уравнение касательной в точке имеет вид .

Когда абсцисса в точке получает приращение , ордината касательной к графику функции в точке получает приращение, равное .

33. Физический смысл производной и дифференциала. Теория: [1, стр. 247-250], [2, стр. 156-158], [4, стр. 186-187], [5, стр. 101], [7, стр. 64-65], [8, стр. 35-36], [11, стр. 106-107], 252], [17, стр. 354-355], [21, стр. 303-304, 305, 319]. Решённые примеры: [17, стр. 355], [20, стр. 116-118, 133-134]. Задачи: [14, зад. 827], [17, зад. 14.33-14.45], [19, зад. 645-664], [20, зад. 1.2-15.2].

Если – длина пути, проходимого материальной точкой за время , отсчитываемое от некоторого момента времени , есть мгновенная скорость в момент времени , т.е. .

Дифференциал равен пути, который прошла бы рассматриваемая точка за промежуток времени , начиная с момента

, если бы движение на этом участке пути было равномерным со скоростью .

33. Свойства производных, связанные с арифметическими операциями. Теория: [1, стр. 250-253], [2, стр. 158-159], [3, стр. 202-205], [4, стр. 199-202], [5, стр. 102-103], [8, стр. 41-42, 150-151], [17, стр. 324], [21, стр. 308-310]. Решённые примеры: [4, стр. 203-204], [4, стр. ], [20, стр. 120]. Задачи: [14, зад. 834-971, 977-983], [15, зад. 466-547], [25, стр. 55-59].

Если функции и заданы в окрестности точки , а в самой точке имеют конечные производные, то функции , , , , а в случае и функция также имеют точке конечные производные; при этом имеют место формулы

.

33. Производная обратной функции. Теория: [1, стр. 253-256], [2, стр. 159-161], [3, стр. 199-200], [4, стр. 196-197], [5, стр. 104-105], [7, стр. 85-88], [8, стр. 156-159], [11, стр. 114-115], [17, стр. 339], [21, стр. 310]. Решённые примеры: [17, стр. 339]. Задачи: [14, зад. 1034-1038], [15, зад. 548-633, 650-774, 775-786, 7.105], [17, зад. 13.197-13.200].

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки , и пусть в этой точке существует производная ; тогда обратная функция в точке имеет производную, которая может быть найдена по формуле .

39. Производная функции, заданной параметрически. Теория: [5, стр. 105-106], [7, стр. 93-98], [17, стр. 141, 340]. Решённые примеры: [17, стр. 141, 340-341], [18, стр. 25-29], [20, стр. 189]. Задачи: [14, зад. 369, 780-784, 1039-1047, 1077-1080], [15, зад. 932-949], [17, зад. 7.111-7.113, 7.266-7.269, 13.201-13.204, 13.215(9-10)], [19, зад. 570-578], [20, зад. 446.2-450.2].

Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и параметрически задают в окрестности точки функцию . Тогда, если и имеют в точке производные и если , то функция в точке также имеет производную, которая может быть найдена по формуле . Эту формулу обычно записывают короче: .

39. Производная неявной функции. Теория: [5, стр. 105-106], [7, стр. 93-98], [17, стр. 141, 340]. Решённые примеры: [17, стр. 141, 340-341], [18, стр. 25-29], [20, стр. 189]. Задачи: [14, зад. 369, 780-784, 1039-1047, 1077-1080], [15, зад. 932-949], [17, зад. 7.111-7.113, 7.266-7.269, 13.201-13.204, 13.215(9-10)], [19, зад. 570-578], [20, зад. 446.2-450.2].

Если дифференцируемая на некотором интервале функция задана неявно уравнением , то её производную можно найти из уравнения .

39. Производная и дифференциал сложной функции. Теория: [1, стр. 256-263], [2, стр. 161-162], [3, стр. 197-199], [4, стр. 202], [5, стр. 103-104], [5, стр. 110], [7, стр. 79-80], [8, стр. 154-156], [11, стр. 116-118], [17, стр. 326-327], [21, стр. 311]. Решённые примеры: [4, стр. 204-209], [17, стр. 327-329], [20, стр. 121-122]. Задачи: [14, зад. 972-976, 985-986, 1027-1028, 1091-1096], [17, зад. 13.52-13.169, 13.217].

Если функция имеет производную в точке , а функция – в точке , то сложная функция также имеет производную в точке , причем или, опуская значение аргумента, .

Следствие: или .

Последняя формула выражает свойство инвариантности формы дифференциала.

39. Производные элементарных функций. Теория: [3, стр. 205-213], [4, стр. 107-108, 193-196, 197-198], [5, стр. 106-108], [7, стр. 71-78, 80-81, 83-85, 88-93], [8, стр. 39-41, 151, 159-160], [11, стр. 112-114, 115-116, 118-120], [17, стр. 324-325], [21, стр. 307-308, 311-314]. Решённые примеры: [17, стр. 325], [18, стр. 89-97]. Задачи: [17, зад. 13.3-13.34, 13.39-13.50], [18, стр. 122-124], [19, зад. 440-569], [20, зад. 17.2-90.2].

См. приложение в конце книги.

39. Гиперболические функции и их производные. Теория: [1, стр. 263-265], [2, стр. 162-163], [3, стр. 156-158, 211], [5, стр. 108], [7, стр. 98-101], [17, стр. 126-127], [21, стр. 294-297, 314-315]. Решённые примеры: [17, стр. 126-127]. Задачи:[15, зад. 137, 634-649], [17, зад. 7.73, 7.85, 13.36-13.38, 13.51].

– гиперболический синус,

– гиперболический косинус.

, .

39. Производные высших порядков. Теория: [1, стр. 269], [2, стр. 164-166], [3, стр. 213-218], [4, стр. 231-233, 236-238 [7, стр. 106-107], [8, стр. 160-162], [11, стр. 120-123], [17, стр. 356-357], [21, стр. 315-316]. Решённые примеры: [4, стр. 233-236, 238-240], [17, стр. 357-360], [18, стр. 97-101], [20, стр. 140-143]. Задачи: [14, зад. 1111-1120], [15, зад. 1006-1055,1088-1095], [17, зад. 15.1-15.8, 15.11-15.12, 15.25-15.27], [18, стр. 124-125], [19, зад. 665-689], [20, зад. 164.2-184.2], [25, стр. 61].

Пусть функция дифференцируема на интервале . Производную называют производной первого порядка или функции . Если первая производная есть дифференцируемая на интервале функция, то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции и обозначают , , , , .

Аналогично определяется производная порядка .

45.Производные высших порядков сложных функций и функций, заданных параметрически. Теория: [1, стр. 269-271], [2, стр. 166-167], [3, стр. 220-222], [4, стр. 243-244], [7, стр. 110-111], [11, стр. 125-127]. Решённые примеры: [17, стр. 360-361], [20, стр. 190]. Задачи: [14, зад. 1121-1144, 1156-1178, 1188-1223], [15, зад. 1069-1079], [17, зад. 15.17], [20, зад. 451.2], [25, стр. 62-63].

Производные высших порядков сложной функции вычисляют с помощью формулы . Например,

Используя формулы дифференцирования функции, заданной параметрически, и обратной функции можно вычислять производные высших порядков функции, заданной параметрически , . Например, .

46.Дифференциалы высших порядков. Теория: [1, стр. 271-273], [2, стр. 167-168], [3, стр. 218-220], [4, стр. 241], [7, стр. 108-109], [8, стр. 163-165], [11, стр. 123-125], [21, стр. 323-324]. Решённые примеры: [17, стр. 363-364], [18, стр. 102-103], [20, стр. 143]. Задачи: [15, зад. 1096-1106], [17, зад. 15.9-15.10, 15.14-15.16, 15.18-15.19, 15.28], [25, стр. 62].

Дифференциал от дифференциала первого порядка функции , рассматриваемого только как функция переменной (т.е. приращение аргумента предполагается постоянным), при условии, что повторное приращение независимой переменной совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции в данной точке . или . Аналогично определяется дифференциал n-го порядка. .

47.Терема Ферма. Теория: [1, стр. 273-275], [2, стр. 168-169], [4, стр. 223-224], [5, стр. 110-111], [8, стр. 167], [11, стр. 127-128], [25, стр. 63].

Если функция определена в некоторой окрестности точки , принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и имеет в точке производную, то эта производная равна нулю.

48.Терема Ролля. Теория: [1, стр. 275-277], [2, стр. 169-170], [3, стр. 226-227], [4, стр. 225-226], [5, стр. 111-112], [7, стр. 124-126], [8, стр. 168-169], [11, стр. 128-130], [17, стр. 370], [21, стр. 326]. Решённые примеры: [20, стр. 146-149]. Задачи: [14, зад. 1235-1239], [15, зад. 1116-1126], [17, зад. 16.1-16.6], [20, зад. 200.2-203.2], [25, стр. 63].

Если функция непрерывна на отрезке , имеет во всех внутренних точках производную и , то существует такая точка , что .

49.Терема Лагранжа. Теория: [1, стр. 277-281], [2, стр. 170-173], [3, стр. 227-229], [4, стр. 226-228], [5, стр. 112-114], [7, стр. 126-127], [8, стр. 169-170], [11, стр. 130-131], [17, стр. 370-371], [21, стр. 324-326]. Решённые примеры: [4, стр. 269-270], [20, стр. 147-149]. Задачи: [15, зад. 1127-1142], [17, зад. 16.14-16.15], [19, зад. 690-740], [20, зад. 206.2-207.2], [25, стр. 63-64].

Если функция непрерывна на отрезке , имеет во всех внутренних точках производную и , то существует такая точка , что .

50.Терема Коши. Теория: [1, стр. 282-283], [2, стр. 173], [3, стр. 234-235], [4, стр. 229-231], [5, стр. 114-115], [7, стр. 127-128], [8, стр. 169], [11, стр. 131 [17, стр. 371], [21, стр. 326-327]. Решённые примеры: [17, стр. 372]. Задачи: [15, зад. 1318-1323], [25, стр. 64].

Если функции и непрерывны на отрезке и имеют во всех внутренних точках производные, причем , , то существует такая точка , что .

51.Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Теория: [1, стр. 283-295], [2, стр. 174-180], [3, стр. 235-244], [4, стр. 314-324], 5, стр. 154-158], [7, стр. 128-135], [8, стр. 196-202], [11, стр. 131-135], [17, стр. 376], [21, стр. 335-339]. Решённые примеры: [4, стр. 315-324], [17, стр. 376-379], [18, стр. 115-117], [20, стр. 157-159]. Задачи: [14, зад. 1318-1370, 1374], [15, зад. 1324-1370], [17, зад. 17.1-17.81], [18, стр. 130-131], [19, зад. 812-832], [20, зад. 245.2-291.2], [25, стр. 64-68].

Пусть функции и :

а) дифференцируемы в окрестности точки a, причем в этой окрестности;

б) или ;

в) существует конечный предел .

Тогда существует и выполняется равенство .

52.Формула Тейлора. Теория: [1, стр. 295-299], [2, стр. 181-184], [3, стр. 245-251], [4, стр. 246-251], [5, стр. 135-138], [7, стр. 135-138], [8, стр. 173-183], [11, стр. 135138], [17, стр. 382-383], [21, стр. 327-331], [25, стр. 68-69].

Если функция n раз дифференцируема в точке , то в некоторой окрестности этой точки имеет место разложение , .

53.Разложение функций по формуле Тейлора. Теория: [1, стр. 302-305], [2, стр. 184-186], [3, стр. 252-258], [4, стр. 251-253], [7, стр. 138-141], [8, стр. 183-187], [11, стр. 138-140], [17, стр. 383-384], [21, стр. 331-333]. Решённые примеры: [4, стр. 253-254], [17, стр. 385-394]. Задачи: [14, зад. 1376-1390, 1398-1406.3], [15, зад. 1498-1513], [17, зад. 18.1-18.40], [25, стр. 69-70]

, ;

, ;

, ;

, .