Функции

9. Функции. Область определения, четность, монотонность. Элементарные функции и их графики. Теория: [1, стр. 21-26, 139-146], [2, стр. 32-56], [3, стр. 105-109, 138-158], [4, стр. 93-114], [5, стр. 58-60], [7, стр. 19-30], [8, стр. 19-31], [11, стр. 69-72], [17, стр. 105-107, 111-113, 123-124, 129-130, 133-134], [21, стр. 266-270]. Решённые примеры: [4, стр. 98-100], [17, стр. 107, 113-114, 124-126, 130-136], [18, стр. 4-25], [20, стр. 11-16, 22-25, 34-39, 44-48, 49-53, 54-59]. Задачи: [14, зад. 151-202, 214-223, 231-236, 237-327, 359-368, 388-396], [15, зад. 1-29, 40-64, 76-84, 113-114, 124-126, 129-133, 138-139, 143-144, 157, 163-166], [17, зад. 7.1-7.21, 7.30-7.44, 7.50-7.55, 7.64-7.69, 7.70-7.72, 7.74-7.84, 7.87-7.98, 7.100-7.104, 7.117-7.137, 7.156-7.165, 7.174-7.182, 7.184-7.189, 7.213-7.265, 7.280-7.283], [18, стр. 34-36, 44-45], [19, зад. 26-228], [20, зад. 44.1-47.1, 50.1-79.1, 103.1-132.1, 179.1-210.1, 212.1-233.1, 247.1-302.1], [25, стр. 36-44].

Пусть каждому из числового множества по некоторому правилу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена функция, и пишут , . Множество значений аргумента (область определения) и множество значений функции обозначают соответственно и .

Функции и называют равными, если и равенство верно для всех .

Пусть заданы функции и и пусть . Функцию , , называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций и .

9. Определения предела функции. Теория: [1, стр. 146-155], [2, стр. 98-103, 106-108, 161-165], [3, стр. 109-112], [4, стр. 115-119], [ [5, стр. 60-63], [7, стр. 33-34], [8, стр. 107-111], [11, стр. 73-76], [17, стр. 232-233, 234-235], [21, стр. 272-273]. Решённые примеры: [4, стр. 120-122, 125-128], [17, стр. 233-234], [20, стр. 79-81]. Задачи: [14, зад. 401-402, 404, 405(а-в), 406, 408-470], [15, зад. 190-195, 268-313], [17, зад. 9.1-9.19], [19, зад. 277-287], [20, зад. 374.1-383.1], [25, стр. 44-45].

Пусть .

Опр. (Гейне). Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , , , сходящейся к последовательность сходится к .

Опр. (Коши). Число называется пределом функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Если число является пределом функции в точке , то пишут или при .

20. Непрерывность функции в точке. Теория: [1, стр. 155-159, 177-181], [2, стр. 103-104], [3, стр. 127-131], [4, стр. 146-148], [5, стр. 66-67], [7, стр. 53-55], [8, стр. 31-35], [11, стр. 87-88], [17, стр. 263], [21, стр. 283-284]. Решённые примеры: [17, стр. 264-265], [20, стр. 96-97]. Задачи: [14, зад. 662, 666-674], [17, зад. 10.1-10.17, 10.53-10.55, 10.65-10.67, 10.78], [19, зад. 395-399], [20, зад. 485.1-504.1], [25, стр. 45-47].

Функцию , определенную в окрестности точки , называют непрерывной в точке , если .

Функция , определенная в окрестности точки , непрерывна в этой точке, если для каждого существует такое , что для любого , удовлетворяющего условию , верно неравенство .

21.Свойства пределов функции. Теория: [1, стр. 169-174], [2, стр. 110-113], [3, стр. 131], [4, стр. 129-130], [5, стр. 63-64], [7, стр. 42-44], [8, стр. 111-113], [11, стр. 78-79], [21, стр. 277-281]. Решённые примеры: [4, стр. 130-133, 166-167], [17, стр. 236-239], [18, стр. 48-67], [20, стр. 82-84]. Задачи: [17, зад. 9.20-9.28], [18, стр. 79], [19, зад. 288-303], [20, зад. 384.1-420.1], [25, стр. 45-50].

Если функции и имеют пределы в точке , то функции ; ; , , также имеют пределы в точке , причем ; ; .

22.Критерий Коши существования предела функции. Теория: [2, стр. 121-122], [3, стр. 115-118], [4, стр. 134-135], [8, стр. 113-116].

Для того чтобы функция имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа нашлось число такое, что для любых двух значений и , удовлетворяющих условиям , выполнялось неравенство .

23.Предел и непрерывность сложной функции. Теория: [1, стр. 25-26, 189-192], [2, стр. 122-123], [3, стр. 132], [4, стр. 156-157], [5, стр. 70], [8, стр. 116-122], [11, стр. 72-73, 100-101], [17, стр. 271], [21, стр. 284-285]. Решённые примеры: [17, стр. 221-222], [20, стр. 26-28], [20, стр. 97], [21, стр. 268-269]. Задачи: [14, зад. 203-213.1, 328-339-357, 744-750], [15, зад. 30-37], [17, зад. 7.22-7.27, 10.24-10.25, 10.68-10.69], [20, зад. 157.1-166.1].

Пусть существуют ( при ) и . Тогда в точке существует предел композиции , причем .

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки определена композиция и она непрерывна в точке .

24.Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Теория: [1, стр. 166-169], [2, стр. 108-110], [3, стр. 112-115], [4, стр. 150-151], [5, стр. 64-66], [7, стр. 35-36], [8, стр. 122-127], [11, стр. 76-78], [17, стр. 243-244], [21, стр. 273-274]. Решённые примеры: [17, стр. 244-245, 251-252], [20, стр. 87-88]. Задачи: [14, зад. 403, 405(г-и), 407], [15, зад. 221-224], [17, зад. 9.39-9.41], [19, зад. 321-334], [20, зад. 475.1].

Число называется пределом слева функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство . Его обозначают или .

Аналогично определяется предел справа, обозначаемый или .

Функцию , определенную на промежутке ( ), называют непрерывной слева (справа) в точке , если ( ).

25.Классификация точек разрыва. Теория: [1, стр. 181-182], [2, стр. 118-119], [3, стр. 162-166], [4, стр. 150-151], [5, стр. 67-68], [7, стр. 55-56], [11, стр. 91], [17, стр. 268], [21, стр. 285-286]. Решённые примеры: [4, стр. 151-154], [17, стр. 268-269], [20, стр. 98-101]. Задачи: [14, зад. 675-719, 729-731, 734-743], [15, зад. 225-239], [17, зад. 10.18-10.23, 10.56-10.63], [19, зад. 400-426], [20, зад. 505.1-518.1].

Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

1. функция не определена в этой точке;

2. функция определена в этой точке, но

а) не существует ,

б) существует , но .

Если существует , но или не определена в точке , или , то называют точкой устранимого разрыва.

Если в точке разрыва существуют односторонние пределы и , то называют точкой разрыва 1-го рода, а разность ­– – скачком функции в точке .

Если в точке разрыва не существуют хотя бы один из односторонних пределов и , то называют точкой разрыва 2-го рода.

26. Бесконечно малые функции. Сравнение функций в окрестности точки. Эквивалентные функции. Теория: [1, стр. 174-177, 219-232], [2, стр. 113-114, 144-147], [3, стр. 119-121], [4, стр. 136-141], [5, стр. 85-87], [7, стр. 39-42, 59-61], [8, стр. 142-146], [11, стр. 82-87], [17, стр. 236, 245-249], [21, стр. 274-276, 298-301]. Решённые примеры: [4, стр. 138-140], [17, стр. 246-251], [20, стр. 87]. Задачи: [17, зад. 9.44-9.57], [18, стр. 77-79], [19, зад. 381-394], [20, зад. 471.1-472.1], [25, стр. 50-54].

Функция называется бесконечно малой при , если .

Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Произведение бесконечно малой и ограниченной функций есть бесконечно малая функция.

Функция называется бесконечно малой относительно функции при , если . В этом случае пишут , .

Функция называется эквивалентной функции при , если . В этом случае пишут , .

Если , то существует такая постоянная , что для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство . В этом случае пишут , .

27. Первый замечательный предел. Теория: [1, стр. 215-216], [2, стр. 140-142], [3, стр. 158-159], [4, стр. 122-124], [5, стр. 83], [7, стр. 46-47], [8, стр. 141-142], [11, стр. 79-80], [17, стр. 239], [21, стр. 281-283]. Решённые примеры: [17, стр. 240], [20, стр. 84-87]. Задачи: [14, зад. 471-505], [15, зад. 314-350], [17, зад. 9.29-9.32], [18, стр. 80-83], [19, зад. 304-320], [20, зад. 421.1-441.1].

27. Второй замечательный предел. Теория: [1, стр. 216-219], [2, стр. 142-144], [3, стр. 159-162], [4, стр. 124-128], [5, стр. 83-85], [7, стр. 49-51], [11, стр. 81-82], [17, стр. 239]. Решённые примеры: [17, стр. 241-243], [20, стр. 85-86]. Задачи: [14, зад. 506-563, 611-612], [15, зад. 351-378], [17, зад. 9.33-9.38], [19, зад. 358-369], [20, зад. 442.1-466.1].

27. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса. Теория: [1, стр. 192-194], [2, стр. 125-126], [3, стр. 167-169, 172-176], [4, стр. 174-178], [5, стр. 71-73], [7, стр. 36-39, 57-58], [8, стр. 127-129], [11, стр. 94-97], [17, стр. 118-119, 120-121, 272], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [17, стр. 119-120, 273], [20, стр. 39-40, 108-109]. Задачи: [17, зад. 7.56-7.63, 7.99, 7.166-7.174, 7.190-7.212, 7.279, 10.70-10.77], [20, зад. 211.1].

Теоремы Вейершрасса: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда эта функция

1. ограничена на ;

2. достигает на своих верхней и нижней граней, т.е. существуют такие, что , .

27. Промежуточные значения непрерывной функции. Теорема Больцано-Коши. Теория: [1, стр. 194-196], [2, стр. 126-127], [3, стр. 170-171], [4, стр. 168-172], [5, стр. 70-71], [7, стр. 56-58], [8, стр. 129-131], [11, стр. 92-94], [21, стр. 286-287]. Решённые примеры: [20, стр. 106-107]. Задачи: [17, зад. 10.78-10.81].

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда для любого числа , заключённого между и , найдётся точка такая, что .

27. Обратные функции. Непрерывность обратной функции. Теория: [1, стр. 23-26, 197-203], [2, стр. 127-130], [3, стр. 133-138], [4, стр. 172-174], [8, стр. 131-134], [11, стр. 101-104], [17, стр. 116-117, 272], [21, стр. 268]. Решённые примеры: [17, стр. 117-118, 126-127], [20, стр. 33-31, 107-108]. Задачи: [14, зад. 224-230, 759-772], [15, зад. 117-123], [17, зад. 7.45-7.49, 7.138-7.154, 7.183, 10.33-10.36, 10.82-10.85], [20, зад. 170.1-178.1].

Пусть функция определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке . Тогда она имеет обратную функцию, которая определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке (соответственно ).

32. Непрерывность элементарных функций. Теория: [1, стр. 203-214], [2, стр. 131-140], [3, стр. 138-158], [4, стр. 148-150, 155-156], [5, стр. 77-83], [8, стр. 135-140], [11, стр. 88-91], [17, стр. 273].

Все основные элементарные функции: постоянная, показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические непрерывны на своих областях определения.