2. Изоморфизм пространств : (Xn, Ym)↔lAmn. Матрица преобразования координат. Обратная матрица.

1). Рассмотрим линейное преобразование координат вектора =(х₁, х₂, …, х_n) в координаты вектора =(у₁, у₂, …, у_m):

, (2)

заданное матрицей из пространства L_Amn:

(3)

где коэффициенты a_ijR. Рассмотрим два пространства: n–мерное Xⁿ и m–мерное Y^m. Выберем в Xⁿ некоторый базис , , …, и в Y^m некоторый базис , , …, . Тогда преобразование (2) дает возможность в соответствие каждому вектору

из Xⁿ поставить вектор из Y^m, координаты которого вычисляются по формулам (2). Значит, преобразование заданное матрицей А, определяет некоторое отображение , относящее вектору вектор , то есть : Xⁿ→Y^m. Нетрудно видеть, что оператор обладает свойством линейности:

( +β ') =  +β ' ( , 'Xⁿ, , βR).

Итак, каждая матрица A=A_mnL_mn размера mn при заданных базисах порождает линейное отображение : Xⁿ → Y^m,  (Xⁿ, Y^m).

Замечание. Линейное преобразование (2) в матричной форме можно записать так : =А· , где · означает умножение матрицы А на вектор–столбец =[x₁, x₂, … , x_n]; =[y₁, y₂, …, y_m] – тоже вектор–столбец. В векторном равенстве = справа стоит обозначение образа элемента при действии отображения на элемент , Y^m, слева ( ) – его краткое обозначение или равный ему другой элемент пространства Y^m.

2). Докажем обратное, т.е. что для произвольного линейного оператора , отображающего Xⁿ в Y^m, и произвольных базисов , , …, в Xⁿ и , , …, в Y^m существует матрица A_mхn, и составленное при помощи этой матрицы линейное преобразование (2) ( =A_mхn· ) выражает координаты преобразованного вектора = через координаты исходного вектора .

Линейное отображение : Xⁿ→Y^m можно однозначно определить заданием образов элементов базиса при этом отображении.

Действительно, применим оператор к базисному вектору , и координаты вектора Y^m в базисе , , …, обозначим через а_1k, а_2k, …, a_mk, k=1, 2, …, n:

(4).

Отсюда видно, что линейное отображение однозначно определяется коэффициентами a_ji, которые образуют матрицу отображения :

(5).

Пусть = х₁ +х₂ +…+x_n = . Используя линейность оператора , меняя порядок суммирования, получим:

, где , i=1, 2, …, m. Это дает преобразование (2) соответственно в матричной форме:

, (6)

с матрицей преобразования координат

, (7)

т.е. матрица преобразования координат А_mхn (3) есть транспонированная матрица (5) отображения .

Итак, установлено взаимно однозначное соответствие J между векторным равенством и матричным равенством , между оператором и матрицей преобразования координат А, коэффициенты которой зависят от рассматриваемых базисов пространств, между пространствами (Xⁿ, Y^m) и L_Amxn.

Установим теперь, что отображение J сохраняет линейные операции, то есть, является линейным, а значит изоморфизмом.

Пусть линейным операторам , L(Xⁿ, Y^m) соответствуют матрицы A_mxn=A, B_mxn=B. Тогда линейному оператору =α +β (α, βR) по аналогии с выше проведенными выкладками соответствует матрица преобразования координат F= αА +βB, что и требовалось установить.

Далее покажем, что произведению операторов = (см. п. 3.1), где : Xⁿ→ Y^r, : Y^r→Z^m, : Xⁿ→Z^m, отвечает матрица C = B·A.

Действительно векторным равенствам

будут соответствовать матричные равенства

,

где - столбцы координат векторов в некоторых базисах. Отсюда для любого , соответственно любого , находим и в силу произвольности заключаем, что верно равенство (см. п. 2.1.):

.

Пусть имеем изоморфизм : Хⁿ →Yⁿ, тогда существует обратное отображение и справедливы векторные равенства (п.3.1):

= , = или ( ) = , ( ) = для  Хⁿ,  Yⁿ или = , = ,

где , тождественные (единичные) отображения соответственно пространств Хⁿ, Yⁿ в себя.

Отображениям в некоторых базисах соответствуют матрицы преобразования координат: ↔ А, ↔ А^-1, ↔ Е, ↔ E, и справедливы матричные равенства: =А∙ , =А^-1 или А^-1А = , АА^-1 = или А^-1А=Е, АА^-1=Е; Е – единичная матрица.

Определение. Квадратная матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А, если справедливы равенства: А∙А^-1 = А^-1∙А = Е.

Пример 1. Обозначим через линейное отображение (тождественное), при котором = ( :Хⁿ→Xⁿ – отображение пространства в себя). Найдем отвечающую матрицу преобразования координат.

Пусть – базис пространства Xⁿ. Тогда последовательно имеем:

Матрицей преобразования координат ( совпадает с матрицей отображения ) будет единичная матрица Е.

Линейное преобразование вида  , R , называется гомотетией с коэффициентом . Ему отвечает матрица Е. Преобразование координат векторов в базисе запишется равенством: =Е = .

Пример 2. Пусть Х=R, Y=R, и мы рассматриваем линейные отображения у = х на множестве вещественных чисел как векторном пространстве (естественно это уже « обычные » функции у = f(x) с областью определения и областью значений R).

Какие же функции в этом случае можно назвать линейными? Для характеристики отображения f (функции) достаточно указать в какие элементы переводятся элементы базиса пространства R. В одномерном пространстве R за базис может быть принято число 1, =1, так как любое число х может быть представлено как х = х∙1 = х∙ (разложение по базису).

Пусть f( )=k - некоторое фиксированное число, тогда f( ) = k∙ (см.4), матрица А_1х1 = (k) , и мы имеем согласно (6) : у = kх. Геометрически такая функция изображается прямой, проходящей через начало координат, то есть это действительно линейная функция. Пример 3. Рассмотрим отображение (оператор дифференцирования), которое каждому многочлену p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_n-2x^n-2+a_n-1x^n-1 из пространства Р_n-1 (см. пример 4, п. 1.3.) ставит в соответствие по формуле:

многочлен из пространства P_n-2. Оператор дифференцирования является линейным оператором, так как

,

где p(x), q(x)P_n-1, , βR.

В пространствах X=Xⁿ≡P_n-1, Y=Y^m≡X^n-1≡P_n-2 выберем базисы из степеней х:

= x⁰= 1, = x, = x², …, = x^n-1;

= 1, = x, = x², … = x^n-2.

Пользуясь формулами (4):

. . . . . . . . . . . . . . .

Построим матрицу преобразования координат (7), (3)

.

Запишем в указанных базисах матричную формулу вычислений координат вектора–столбца = (b₀, b₁, b₂, …, b_n-2)A^n-1↔X^n-1= =P_n-2 по координатам вектора–столбца = (a₀, a₁, a₂, …, a_n-1) ↔ ↔p(x)P_n-1:

= D∙ .

Такой подход позволяет свести операцию дифференцирования в конечномерных пространствах (в тех, где она имеет смысл) к обычному умножению числовых матриц и, естественно, к полной автоматизации вычислений на компьютере.

Пример 4. Рассмотрим линейное преобразование , заданное формулой (2) , где матрица А = описывает удельные нормы расхода компонентов сырья , (i = 1,2,…,m:сахар, патока, …, шоколад ) для приготовления единицы ( 1 грамма) вида продукта (j=1,2,…,n: конфеты « мишка на севере », « каракум »,…, « белочка »), тогда вектор -количественный план производства. Линейность преобразования будет означать:

1) аддитивность: -расход сырья для суммы двух планов производства (например,для двух рабочих дней) равен сумме расходов сырья для осуществления каждого плана (сумме расходов сырья за каждый день);

2) однородность: -расходы сырья для выполнения плана ( равны расходам по выполнению плана , умноженным в раз.

Очевидно, если план производства и матрица А заданы, то затраты сырья определяются по формуле , используя ЭВМ и соответствующие программы.

Обратная задача, , когда известны запасы сырья и удельные нормы расходов –матрица А, а план производства вектор неизвестен, рассматривается в параграфе 4 этой главы.