Элементы линейной алгебры.

§ 1. Векторные (линейные) пространства.

1. Арифметическое n - мерное векторное (линейное) пространство An.

Пусть дано произвольное натуральное число n. Будем называть любой набор из n действительных чисел, данных в определенном порядке: (x₁, x₂, … , x_n), n-мерным вектором = (x₁, x₂, …, x_n), сами числа х₁, х₂, … х_n называть координатами вектора х.

Определение 1. Совокупность Аⁿ всех n – мерных векторов называется n – мерным векторным пространством (арифметическим или числовым).

Эта математическая модель может описывать количественно различные вещи. При n = 1, 2, 3 – координаты точек прямой, плоскости или реального пространства. Если возраст, рост, вес ребенка – 7 лет, 1,1 м, 35 кг соответственно, то эти характеристики могут быть представлены как вектор (точка) (7; 1,1; 35) в 3 – мерном пространстве. Более распространены конструкции однородных данных. Предположим возраст четверых детей – 7, 5, 6 и 5 лет. Эти данные могут быть представлены как точка (вектор) с координатами =(7, 5, 6, 5) в четырехмерном пространстве.

Определим в этом пространстве некоторые операции. Суммой двух векторов и = (у₁, у₂, …, у_n) будем называть вектор:

+ = (х₁+у₁, х₂+у₂, …, х _n+y_n) (1)

Произведением вектора на число  R будем называть вектор

 =(х₁, х₂, …, х_n) (2)

Нулевым вектором называется вектор =(0, 0, … 0). Это единственный вектор, удовлетворяющий для любого вектора условию + = .

Вектором, противоположным вектору =(х₁, х₂, … х_n), назовем вектор =(х₁, , … -х_n); это единственный вектор удовлетворяющий условию +( )= .

Векторы , назовем равными, если равны их соответствующие координаты: х₁=у₁, х₂=у₂, …, х_n=y_n.

Определенные таким образом линейные операции над векторами обладают всеми алгебраическими свойствами, присущими числам, (коммутативность и ассоциативность сложения, свойства дистрибутивности умножения на число и т.д.). В частности, верны формулы: 1 = , 0 = , (1) = . Это позволяет определять линейные комбинации векторов , вида  + , где ,  - произвольные вещественные числа.

Пример 1. Если =(-2, 3, 1, 0), =(1, 0, 4, -3), то 2 –3 =2 (-2, 3, 1, 0,)–3 (1, 0, 4, 3)=(-4, 6, 2, 0)–(3, 0, 12, 9)=(-7, 6, 10, 9).

2. Евклидово n – мерное метрическое пространство Rn.

Введем в векторном пространстве Аⁿ скалярное произведение векторов =(х₁, х₂, … х_n), =(у₁, у₂, … у_n) формулой:

 = х₁у₁+х₂·у₂+…+x_n·y_n . (3)

Из определения вытекают следующие свойства «скалярного умножения» для любых векторов , , Aⁿ и любого числа R:

1.  =  ,

2. 2.   =  ,

3. ( + ) =  +  .

Векторы , называют ортогональными (перпендикулярными в случае n=2, n=3), если их скалярное произведение равно нулю:  =0.

Длину вектора (норму вектора) в n - мерном пространстве определим величиной

(4)

О чевидно, каждый вектор  имеет положительную длину, и лишь вектор-нуль имеет длину, равную нулю: .

Евклидову метрику (расстояние) между точками (векторами), , пространства Aⁿ определим формулой:

(5)

Это полный аналог расстояния в декартовой системе координат между точками на плоскости (n=2) или в пространстве (n=3).

Расстояние удовлетворяет аксиомам метрического пространства см. п. 2, § 2:

1. ( , ) = 0 тогда и только тогда, когда = ;

2. ( , ) = ( , ) – свойство симметрии;

3. если = (z₁, z₂, …, z_n) некоторая третья точка пространства, то справедливо неравенство треугольника:

( , ) ≤  ( , )+( , ).

Определение 2. Векторное пространство Aⁿ с евклидовой метрикой (5) называется евклидовым n – мерным пространством Rⁿ.

Вектор называется нормированным (также единичным вектором) если = 1. Для « нормировки » произвольного вектора ≠ достаточно умножить этот вектор на число = :

Примерами попарно ортогональных и нормированных векторов (ортонормированных) являются векторы = (1, 0, …, 0), = (0, 1, …, 0), …, = (0, 0,…, 1).

Любой вектор = (х₁, х₂, …, х_n)Rⁿ можно представить линейной комбинацией векторов , , …, :

= (х₁, х₂, …, х_n) = х₁ +х₂ +…+х_n .

Пример 1. Скалярное произведение векторов , из предыдущего примера 1, п. 1 равно · = (-2)·1+3·0+1·4+0·(-3)=2.

Длина (норма) вектора равна  = = , вектора 2 –3 равна │2 –3 │= = , последнее равносильно тому, что расстояние между точками пространства 2 и 3 равно (2 , 3 )= . Вектор = = (2, 3, 1, 0)=( 0) будет единичной длины, нормированным.