5.3. Множества

Множества – наборы объектов, где не имеет значение порядок и повторяемость элементов. Множества это основное математическое понятие, на котором базируются отношения и функции.

Новые идеи: Множество, принадлежность множеству, подмножество, мощность множества, операции над множествами, объединение, пересечение, разность (различность).

Строки и списки – это наборы объектов, к которых порядок и повторение элементов имеют значение. Набор данных, в котором порядок и повторение элементов не имеет значения называется множеством. Во множестве элементы просто сгруппированы и никакой не является первым или следующим и не повторяется.

Элементы множества записываются в фигурных скобках. Конечно, элементы множества имеют определенный порядок при записи, но он не существенен. Например:

{A, B} и {B, A} описывают одно и то же множество.

Любой список задает множество, элементами которого являются элементы списка (множество элементов списка). Например, список

L = <†th†, †is †, †is †, †a †, †list example†>

Имеет множество его элементов

S = {†th†, †is †, †a †, †list example†}

В котором повторяющийся элемент †is † появляется только один раз. Поскольку порядок элементов не имеет значения, это же множество может быть записано в виде

S = {†list example†, †a †, †is †,†th† } = {†th†, †a †, †list example†, †is †}

Мы будем упоминать размер, говоря о множествах, например S можно назвать 4-множеством.

Элементы множества не обязательно должны быть одного типа, например следующее 3-множество

{A, †mixed†, <†can†, {†of†, †beans†}>}

содержит элемент символ, строку, и 2-список, который в свою очередь содержит строку и 2-множество, элементы которого являются строками.

Фундаментальная связь между элементом и множеством является его принадлежность данному множеству, для обозначения используется символ . В примере приведенном выше

†list example†  S

но

†list †  S

Множество, не имеющее элементов называется пустым множеством и записывается {}. Пустое множество отличается от пустого списка <>. Например для <> может быть выполнена конкатенация с другим списком, но это невозможно для {}. 1-множество называется одиночка (singleton). 1-множество отличается от его единственного элемента, и от списка с таким элементом. Например:

†string†  {†string†}  <†string†>

Множество S является подмножеством T, S  T , если каждый элемент S является элементом T. Таким образом, S  T если и только если для каждого x, x  T если x  S.

Множества S и T равны, S = T, если им принадлежать одни и те же элементы. Таким образом, S = T, если и только если S  T и T  S.

Пустое множество является подмножеством любого множества, включая себя самого, поскольку оно не имеет элементов, то значит в нем нет элемента, которого может не оказаться в любом другом множестве. Таким образом {}  S, для любого S.

Если множества S и T не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекающиеся.