5. Непрерывность функций в точке, интервале, на отрезке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства непрерывной функции.

Непрерывность функции – одно из важнейших свойств функции. Определение непрерывности ф-ции даётся на основе понятия предела функции. Определение: функция f(x) непрерывна в точке x₀, если имеет место следующее равенство: lim(x 0)f(x)= f(x₀)

Из определения непрерывности ф-ции что имеет место следующее равенство lim(x x₀-0)f(x)= f(x)= lim(x x₀+0)f(x).

Из первого определения непрерывности ф-ции следует второе определение непрерывности ф-ции. Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в точке x₀, то ф-ция непрерывна в этой точке.

Сво-во1: Все элементарные ф-ции в ОДЗ являются непрерывными ф-циями.

Докажем неразрывность одной из элементарных функций f(x)=sin(x); xx

y= f(x+x)-f(x)= sin(x+x)- sin(x)

lim(x0)y=lim(x0)[sin(x+x)-sin(x)]= = lim(x0) [sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)-sin(x)]= = lim(x0) (sin(x)- sin(x))=0

Сумма, произведение, частное двух непрерывных ф-ций является непрерывная ф-ция в точке x₀.

Докажем, что частное непрерывных ф-ций в точке x₀ - есть непрерывная ф-ция. Если ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀

lim(x x₀)f(x)=f(x₀)=A; lim(x x₀)g(x)=g(x₀)=B.

На основании теоремы об операциях с предельными функциями (Предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (B0)

6. Точки разрыва и их классификация. Свойства непрерывной функции на отрезке, Типы точек разрыва

Если ф-ция f(x) непрерывна в каждой точке отрезка АВ, то говорят она непрерывна на этом отрезке. Ф-ция непрерывная на АВ обладает следующими св-ми:

1.Если ф-ция f(x) непрерывна на АВ, то внутри этого отрезка найдётся такое значение x, хотя-бы одно при котором ф-ция принимает наименьшее или наибольшее значение.

2.Если ф-ция f(x) непрерывна на интервале АВ, принимает некоторое значение М и m, а значение m<k<M, то найдётся такое x на интервале АВ, что f(x)=k

Точки разрыва ф-ции. Если ф-ция f(x) разрывна в точке x₀, то точку x₀ называют точкой разрыва f(x).

Точки разрыва определяют по следующим типам:

1.Точки устранимого разрыва – это такие точки в которых ф-ция не существует, а левый и правый пределы равны в этой точке. (Пример: I замечательный предел). Чтобы устранить разрыв нужно доопределить ф-цию в этой точке.

Точки разрыва первого типа: такие точки в которых левые и правые пределы конечны и неравны между собой. Этот разрыв называют – разрыв типа скачка.

Точки разрыва второго типа – когда левый или правый или оба – бесконечны.

Свойства непрерывной функции на отрезке,

Типы точек разрыва

Непрерывность функции в точке.

Свойства непрерывной функции.

пределов этих функций.) можем записать предел частного. На основании определения непрерывности ф-ции является непрерывной.

Если имеем сложную ф-цию образованную суперпозицией некоторых других ф-ций

Если образующие сложную ф-цию образующих x₀, то сложная ф-ция непрерывна в этой точке.

Если f(x)>0 и непрерывна в точке x₀ и ф-ция g(x) непрерывна в точке x₀, то степенно-показательная ф-ция непрерывна в этой точке.

7. Производная функции. Таблица производных. Физический и механический смысл производной. Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.

Определение: Производной от функции в точке называется предел, к которому стремится отношение ее приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: