2. Понятие функции, способы задания основных характеристик функций.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции. Существуют разные способы задания функций. 1. Аналитический способ. Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции. Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например . Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д. Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями. Например: Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно. Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение: . То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3. При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например, Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4. 2. Графический способ. При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример: 3. Словесный способ. Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле. «Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число». 4. Табличный способ. Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y. Пример: Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований. Например, при выявлении зависимости между уровнем загрязнения окружающей среды и количеству людей, заболевших раком.

3. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Замечательные пределы. Геометрическая интерпретация.

Пусть независимый аргумент X образует некоторую числовую последовательность: Х₁; Х₂; Х₃;…; Х_n; Числовая последовательность может быть организована по некоторому закону. При изменении номера n, члены последовательности могут стремиться к некоторому фиксированному числу. Например в примере при n члены последовательности стремятся к нулю. Число к которому стремятся члены числовой последовательности при увеличении n, называют пределом числовой последовательности. Введём некоторую окрестность числа a в первом примере Число А наз. пределом числовой последовательности Xn, если для как угодно малого положительного найдётся такой номер N, начиная с которого n>N, все члены последовательности попадают в - окрестность этого числа А, или выполняется неравенство Если А – конечное число, то говорят числовая последовательность сходится, её называют сходящейся. Если А, то числовая последовательность расходящаяся.Операции со сходящимися последовательностями. Пусть имеем две сходящиеся последовательности. Тогда предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (не равному 0), этих пределов. Понятие предела функции в точке.Односторонние пределы. Если независимый аргумент функции f(x) изменяется, и образует числовую последовательность {Xn}, а именно x₁; x₂; x₃; …; x_n; то функция y образует тоже числовую последовательность f(x₁); f(x₂); f(x₃); …; f(x_n); Т. е. Имеем две последовательности x_n и y_n. Чтобы сформулировать определение предела функции y(x_n) в точке x₀, нужно повторить дважды определение предела для числовой последовательности x_n и y_n. Число A называется пределом функции f(x), если для любого сколь угодно малого >0, найдётся как угодно малое, что начиная с некоторого номера N выполняется неравенство |x – x₀|< и | f(x) – A|<. Из определения предела f(x) в x₀ не следует A= f(x₀). Может быть, что в точке x₀ функция не определена, а предел в этой точке существует. Например: В точке x функция не определена, а предел равен 1. Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы. Понятие предела числовой последовательности. Геометрическая интерпретация. Первый, Второй замечательные пределы

Первый замечательный пределSOBC>SOAmB>SOAB

SOAB=1/2*R²sin(x)

SOAmB=1/2*R²* x

SOBC=1/2*R²tg(x)

Подставим значение площадей в неравенство

1/2*R²tg(x)> 1/2*R²* x >1/2*R²sin(x)

tg(x)> x > sin(x) аргумент x в I четверти sin(x)>0, разделим неравенство на sin(x), получим

Перейдём к пределу при x0, получим:

В неравенстве предел sin(x)/x при x0 с одной стороны <1, а с другой >1, то остаётся одно – равно 1.Второй замечательный предел:или

Первый, Второй замечательные пределы Теорема о пределах функции(сумма, произведение и частное) Бесконечно малые функции и операции с ними Связь бесконечно малых функций, сравнение их

Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x=0 если предел при x0 функции f(a)=0.

lim{x 0}sin(x)=0 lim{x 0}arcsin(x)=0

lim{x0}tg(x)=0

При произведении, сумме, разности бесконечно малых ф-ций получается бесконечно малая функция. Рассмотрим отношение двыух бесконечно малых функций.(Конечное) Эти функции называют бесконечно малыми функциями одного порядка.Если А=1, то такие функции называют эквивалентными бесконечно малыми функциями.

Sin(x)x эквивалентно x0.

Если

то f(x)<(x)

Если

то f(x)>(x)

Аналогичное сравнение можно провести с бесконечно большими функциями.

4. Бесконечно малые функции. Основные теоремы о б.м.ф. Связь между функцией, ее пределом и б.м.ф. Сравнение бесконечно малых функций.

Свойства Элементарных функций(одиннадцать элементарных функций) Бесконечно малые функции и операции с ними

Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x=0 если предел при x0 функции f(a)=0.

lim{x0}sin(x)=0 lim{x0}arcsin(x)=0

lim{x0}tg(x)=0

Сумма конечного числа бесконечно малой функции есть б/м функция (справедливо и для разности).

Произведение конечного числа б/м функции есть функция бесконечно малая.

Произведение ограниченной функции на функцию бесконечно малую, есть функция бесконечно малая.

Следствия из свойств:

Проиведение б/м функции на константу есть функция б/м.

Натуральная степень бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая.

Теорема о пределах функции

(сумма, произведение и частное)

Пусть функция f(x) и (x) имеют пределы в точке х=а, т.е. lim{xa}f(x)=B; а предел функции lim{xa}(x)=C.

Тогда предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, частному (при С0) пределов этих функций.

lim{xa}[(x) ± f(x)]= C ± В

lim{xa}(x)f(x)=CВ

Докажем для определённости предел частного двух функций.

Доказательство:

Пусть аргумент х изменяясь образует числовую последовательность x₁; x₂; x₃; …; x_n и эта последовательность сводится к а. Тогда (x) и f(x) образуют соответственно числовые последовательности:

f(x₁); f(x₂); f(x₃); …; f(x_n)B

(x₁); (x₂); (x₃); …; (x_n)C

Тогда имеем предел частного двух числовых последовательностей:

Тогда по теореме о пределе частного двух сходящихся последовательностей, имеем.