11.3. Применение метода Зейделя для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Метод Зейделя и простая итерация могут применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (11.2) Напряжения к-го узла определяется следующим выражением [3]:

,(11.17)

где - нелинейная функция, определяющая итерационный процесс.

Вектор-столбец узловых напряжений по методу простой итерации определяется:

. (11.18)

Метод Зейделя отличается тем, что найденное приближение узлового напряжения сразу же используется для определения напряжений других узлов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением, аналогичным (11.17):

, (11.19)

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

При решении уравнений установившегося режима на ЭВМ обычно используется метод Зейделя как обладающий более надежной и быстрой сходимостью, чем простая итерация. В расчетах на ЭВМ система комплексных уравнений узловых напряжений (11.19) заменяется действительной системой. Соответственно по методу Зейделя определяются вещественные и мнимые составляющие напряжений узлов, то есть:

(11.19)

где минимальная действительная части нелинейной функции , списывающей итерационный процесс Зейделя.

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. В значительной степени это связано с особенностями матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов, то есть со свойствами линейной системы узловых напряжений. Нелинейность уравнений установившегося режима существенно замедляет сходимость метода Зейделя и даже приводит к расходимости при близких и предельным.

В практических расчетах установившихся режимов на ЭВМ необходимо использовать ускорение сходимости метода Зейделя. Наибольшее распространение здесь получило применение ускоряющих коэффициентов.

Использование ускоряющих коэффициентов сводится к следующему. Обозначим значение напряжения k-ro узла. Ускоренное (i+1)-е приближение значение напряжения k-го узла определяется по формуле:

(11.21)

где - поправка по напряжению k–го узла на (i+1)–m шаге;

t – ускоряющий коэффициент.

Значение напряжения, вычисленное с ускорением, принимается в качестве исходного при расчете следующего, (i+2)-го шага.

В случае t = l выражение (11.21) сводится к, то есть неускоренный итерационный процесс соответствует случаю, когда ускоряющий коэффициент t принимается равным единице.

Метод Зейделя медленно сходится и в ряде случаев расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлением обмотки среднего напряжения и для электрических систем с дальними линиями электропередачи и сильной неоднородностью параметров. Метод Зейделя также плохо сходится либо расходится в расчетах режимов, близких к предельным, либо при определении режимов, неустойчивых по статической апериодической устойчивости.

Метод Зейделя нашел широкое применение в расчетах установившихся режимов. Основное достоинство метода в том, что он легко программируется и требует малой памяти ЭВМ. Недостаток метода в медленной сходимости.