11. Лекция № 11
11.1. Нелинейные уравнения установившегося режима
Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока [3]. В схеме замещения электрической системы соответствует генераторы с постоянной мощностью либо нагрузки потребителей, заданной статической характеристикой или постоянной мощностью. Постоянная мощность потребителя или генератора задается в виде узлового тока:
,
(11.1)
где
- постоянная мощность трех фаз k-го
узла;
-
сопряженный комплекс межфазного
напряжения k-го
узла;
- нелинейный
источник тока, зависящий от напряжения.
Если мощность нагрузки потребителя заданны статической характеристикой, то нелинейные источники тока определяются следующим выражением:
(11.2)
где
- статическая характеристика активной
и реактивной нагрузок k-го
узла.
Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах системы переменного тока из четырех узлов запишем в виде:
(11.3)
В матричной форме уравнения узловых напряжений имеет вид:
,
(11.4)
где
- комплексная матрица собственных и
узловых проводимостей;
-
вектор-столбец задающих токов;
-
вектор-столбец, k-й
элемент которого равен
;
-
заданное напряжение балансирующего
узла.
Каждое из записанных уравнений (11.3) соответствует балансу комплекса тока в узле. Поэтому будем называть(11.3) и (11.4) уравнениями узловых напряжений в форме баланса токов. Система трех комплексных уравнений узловых напряжений (11.4) может быть заменена системой из шести действительных уравнений.
Три действительных уравнения соответствуют балансу вещественных составляющих токов в узлах, а три - балансу мнимых составляющих.
Уравнения (11.3) записаны для трех независимых узлов, в каждом из которых заданы Р и Q нагрузки. В систему (11.3) не входит уравнение балансирующего (четвертого) узла.
Часто используются уравнения узловых напряжений в форме баланса мощности, которые можно получить, если каждое уравнение баланса токов (11.3) умножить на сопряженный комплекс напряжения соответствующего узла. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока из четырех узлов можно записать следующим образом:
(11.5)
Систему (11.5) можно записать в матричной форме следующим образом:
(11.6)
где и
-
диагональная матрица, k-й
диагональный элемент которой равен
сопряженному комплексу напряжения k-гo
узла;
- вектор-столбец
сопряженных мощностей в узлах, k-й
элемент которого равен заданной
сопряженной мощности k-го
узла.
Нелинейные уравнения установившегося режима в самой общей форме можно записать в виде системы неявных функций:
(11.7)
где W - вектор-функция;
X и Y - вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.
Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима Y. Остальные (зависимые) переменные могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных X. Число зависимых переменных X равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция W и вектор-столбец Х имеют одинаковый порядок. В зависимости от постановки задачи и способа задания исходных, данных в состав векторов независимых и зависимых переменных Y и X могут входить разные параметры режима.[3]
Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные - играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.
При расчетах
установившегося режима вектор независимых
переменных задан, то есть
.
Нелинейную систему уравнений
установившегося режима можно записать
в следующем виде, вытекающем из (11.7) при
:
(11.8)
Число уравнений в этой системе равно числу зависимых, переменных х, т. е. равно порядку вектора X. В результате решения уравнений установившегося режима (11.8) можно найти все зависимые переменные Х.