10.3. Простая итерация

Простая итерация - простейший из итерационных методов. Рассмотрим систему уравнений третьего порядка.

Предполагая, что диагональные коэффициенты (i = 1, 2, 3), разрешим первое уравнение системы (9.24) относительно , второе - относительно , а третье - относительно .

Тогда получим систему:

, (10.12)

где

при ; ; k, i, j = 1, 2, 3. (10.13)

Зададим начальные значения неизвестных , , . Подставляя эти значения в правые части системы (10.12), получим первые приближения, , . Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения вторых, третьих и т. д.; (i + 1) -е приближения неизвестных можно получить, используя значения переменных, полученных на предыдущем, i-м шаге:

. (10.14)

Введем матрицу и вектор-столбцы:

, , . (10.15)

Учитывая правило умножения и сложения матриц, систему (10.12) можно записать в матричной форме:

. (10.16)

Аналогично итерационное выражение (10.14) можно записать в матричном виде:

. (10.17)

Элементы матрицы В - безразмерные величины, а элементы вектора b имеют размерность напряжений.

Итерационный процесс, определяемый выражением (10.14) или (10.17) называется простой итерацией.

Для сети переменного тока комплексные уравнения узловых напряжений представляются в виде системы действительных уравнений.

Итерационные методы дают возможность получить последовательность приближенных значений неизвестных, сходящуюся к точному решению системы. Если элементы матрицы В удовлетворяют определенным условиям, то процесс простой итерации сходится к точному решению системы при любом начальном значении . Сходимость к решению означает, что

. (10.18)

Таким образом, точное решение получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса. Всякий вектор , определяемый на i-м шаге, является приближенным решением системы (10.17).

При практических расчетах точное решение системы неизвестно и о погрешности решения судят по разности между значениями переменных на 1-м и (i + 1)-м шагах, то есть по вектору поправок:

. (10.19)

Часто считают, что итерационный процесс сошелся, если поправки для всех переменных меньше наперед заданной величины , то есть при

, k = 1,…, n, (10.20)

где n - порядок решаемой системы.

В общем случае это не всегда верно [3]. О сходимости следует судить не только по поправкам , но и по невязкам. Невязка для первого уравнения системы (10.17), соответствующая значению напряжений на i-м шаге , , равна результату подстановки этих напряжений в первое уравнение системы, то есть:

. (10.21)

Невязка уравнений узловых напряжений соответствует небалансам тока в узлах.

Если итерационный процесс сошелся, то все должны быть меньше наперед заданной величины, то есть

, k = 1,…, n. (10.22)

10.4. Метод Зейделя

Полученное (i + 1)-е значение напряжения сразу же попользуется для вычисления (i + 1)-го значения напряжений , и т. д. Таким образом, для системы (10.14) итерационный процесс метода Зейделя описывается следующим выражением:

. (10.24)

По методу простой итерации (i + 1)-е приближение k-го напряжения для системы n-го порядка вычисляется по следующему выражению:

. (10.25)

По методу Зейделя (i + 1)-е приближение k-го напряжения вычисляется так:

. (10.26)

Можно показать, что метод Зейделя эквивалентен простой итерации, но с другой матрицей и другим вектором. Для этого представим матрицу B в виде суммы двух матриц:

, (10.27)

где в матрице равны нулю элементы, лежащие на диагонали и выше ее, а в матрице - элементы, лежащие на диагонали и ниже ее. Для системы третьего порядка (10.14):

, . (10.28)

Учитывая .правила умножения и сложения матриц, итерационный процесс Зейделя (10.24) можно записать в матричном виде следующим образом:

. (10.29)

где

; . (10.30)

Как правило, метод Зейделя надежнее и быстрее сходится, чем метод простой итерации. Более надежная сходимость означает, что метод Зейделя сходится в тех случаях, когда сходится простая итерация, и может сходиться, когда простая итерация расходится. Теоретически из этого правила возможны исключения [3]. При расчетах режимов электрических систем .не встречались такие случаи, когда сходимость методов Зейделя оказывалась менее надежной и быстрой, чем для простой итерации. Кроме того, метод Зейделя требует несколько меньшей памяти, чем простая итерация, так как необходимо помнить только один вектор переменных. Действительно, при решении по Зейделю, например, уравнений узловых напряжений сразу после вычисления (i + 1)-е приближение k-го узлового напряжения засылается в то место оперативной памяти, где ранее хранилось i-е приближение . При использовании простой итерации необходимо помнить два вектора узловых напряжений, соответствующих i-му и (i + 1)-му шагам.

Алгоритмическая реализация метода Зейделя столь же проста, как и простой итерации. Единственное изменение в алгоритме расчета состоит в засылке вычисленного в то место памяти, где ранее хранилось . В сравнении с точными методами процесс Зейделя при сходимости за число шагов, меньшее n, обладает теми же преимуществами с точки зрения времени расчета, что и простая итерация.

В то же время и в случае учета слабой заполненности этих матриц метод Зейделя, если сходится быстро, требует меньше времени ЭВМ, чем точные методы.

Отметим, что всякий сходящийся итерационный метод обладает самоисправляемостью, то есть отдельная ошибка, допущенная при расчете, не отражается на его результате, так как результат шага, на котором допущена ошибка, можно рассматривать как новое начальное приближение. Кроме того, погрешности округления в итерационных методах оказываются значительно меньше, чем в методе Гаусса.

Указанные выше преимущества метода Зейделя с точ­ки зрения (памяти и времени расчета относятся только к случаю быстрой сходимости итерационных методов. Во многих случаях при расчетах сложных электрических си­стем метод Зейделя сходится медленно. Поэтому для эф­фективного применения метода Зейделя при расчете уста­новившихся режимов сложных электрических систем не­обходимо ускорение сходимости с помощью ускоряющих коэффициентов.

Существенный недостаток метода Зейделя - его медленная сходимость или даже расходимость при расчете электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами, когда сопротивление обмотки среднего напряжения очень мало, а также при расчетах предельных и неустойчивых режимов.