Лекция №10

10.1. Расчет с помощью матрицы собственных и взаимных сопротивлений узлов

Использование обратной матрицы для решения системы линейных алгебраических уравнений не эффективно с вычислительной точки зрения при большом количестве неизвестных. Применение обратной матрицы может быть целесообразно в тех случаях, когда одна и та же система решается очень большое количество раз с различными правыми частями. Рассмотрим использование обратной матрицы на примере уравнений узловых напряжений [3].

Решение уравнений установившегося режима с помощью обратной матрицы при напряжении балансирующего узла, равном нулю. Рассмотрим систему действительных уравнений узловых напряжений третьего порядка для сети постоянного тока. Эта система может быть записана в матричном виде:

, (10.1)

где - матрица собственных и взаимных проводимостей узлов;

I - вектор-столбец свободных членов (токов в узлах);

U - вектор-столбец узловых напряжений, который необходимо определить в результате решения системы (10.1);

(k = 1, 2, 3) - элемент вектор-столбца;

U - напряжение k-го узла при напряжении балансирующего узла, равном нулю.

Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов - не особенная, то есть ее определитель не равен нулю.

Для всякой неособенной матрицы существует обратная.

Обратной к матрице называют матрицу:

, (10.2)

Справедливо:

, (10.3)

где Е – единичная матрица:

. (10.4)

Матрицу называют матрицей собственных и взаимных сопротивлений узлов. Умножим обе части матричного уравнения узловых напряжений (10.1) слева на обратную матрицу и получим:

(10.5)

или, учитывая (10.3)

. (10.6)

Формула (10.6) дает решение уравнения узловых напряжений с помощью обратной матрицы .

Решение уравнений узловых напряжений с помощью обратной матрицы при напряжении балансирующего узла, не равном нулю, определяется выражением:

(10.7)

или

, (10.8)

где - вектор-столбец, каждый элемент которого равен напряжению балансирующего узла, то есть:

. (10.9)

При расчете режимов электрических систем переменного тока напряжения узлов определяются по выражению, в котором все матрицы и вектор-столбцы состоят из комплексных элементов:

. (10.10)

Это соответствует тому, что напряжения узлов, токи в узлах, а также элементы матрицы - комплексные величины. Обычно напряжение балансирующего узла принимается равным действительной величине.

10.2. Матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов

Матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов , обратная по отношению к матрице собственных и взаимных проводимостей узлов , используется при многократных расчетах режимов электрических систем и особенно при расчетах коротких замыканий. Обычно матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов определяется с помощью метода единичных токов. Узловые сопротивления (j = 1, 2, 3) равны узловым напряжениям, полученным при решении уравнений узловых напряжений при задании единичного тока в узле 1, то есть:

. (10.11)

Соответственно узловые сопротивления и ; определяются из расчета установившегося режима при задании единичного тока в узлах 2

или 3.

Поскольку матрица собственных и взаимных проводимостей узлов симметричная, то и обратная матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов также симметричная. Последнее справедливо как для действительных, так и для комплексных матриц .

Достоинства и недостатки расчета линейных уравнений установившегося режима с помощью матрицы собственных и взаимных сопротивлений. Матрица узловых проводимостей содержит очень много нулей, то есть слабо заполнена. В то же время в матрице собственных и взаимных сопротивлений узлов нет нулевых элементов, то есть эта матрица полностью заполнена. Отсутствие нулевых элементов в матрице существенно понижает эффективность ее использования при расчетах установившихся режимов электрических систем.

Применение матрицы для выполняемого лишь один раз расчета установившегося режима менее эффективно, чем исключение Гаусса, даже без учета нулевых элементов в матрице узловых проводимостей.

Практика расчетов режимов электрических систем приводит к необходимости многократного расчета режимов для одной и той же электрической системы при изменении токов в узлах либо при незначительных изменениях схемы соединения и параметров электрической сети. В таких многократных расчетах режимов применение матрицы имеет важное преимущество, которое состоит в возможности быстрой корректировки матрицы, учитывающей небольшие изменения схемы соединений или параметров сети. Разработаны эффективные методы такой быстрой корректировки матрицы . Применение матрицы эффективно при расчетах режимов электрических систем с тяговой нагрузкой, а также при расчетах токов короткого замыкания.