20. Анализ одноканальных смо методом вложенных цепей Маркова с пуассоновским входным потоком заявок и произвольным распределением времени обслуживания.

Анализ СМО с произвольным временем обслуживания

Рассмотрим СМО класса .

Будем называть момент выхода из системы обслуженной заявки моментом регенерации системы.

Определим – вероятность поступления ровно заявок в СМО между моментами регенерации. Искомая вероятность вычисляется по формуле:

.

Обозначим состояния СМО: – в системе находится заявок.

Матрица переходов из одного состояния в другое имеет вид:

Отметим, что .

Строка матрицы совпадает со строкой , потому что рассматривается интервал между моментами регенерации (моментами выхода заявки из СМО). Эти интервалы не отличаются, была ли в СМО одна заявка в предыдущий момент регенерации (она находилась на обслуживании) или заявок в СМО вообще не было.

Составим систему уравнений для нахождения предельных вероятностей.

Используем Z–преобразование для определения характеристик СМО (основные положения Z–преобразования приведены в приложении 3):

;

. (1.43)

Преобразуем второе слагаемое:

.

Сделаем замену :

.

. (1.44)

Выражение (1.44) можно также получить, используя свойство Z–преобразования:

.

Подставляя (1.44) в (1.43), получим:

.

Откуда

. (1.45)

Рассмотрим подробнее :

;

;

;

;

; (1.46)

;

. (1.47)

Чтобы определить в (1.45), надо использовать свойство Z–преобразования:

.

При подстановке в (1.45) получим неопределенность. Применим правило Лапиталя для нахождения предела .

Берем производную числителя и знаменателя:

.

Учитывая (4) и тот факт, что , получим:

.

Откуда

. (1.48)

Для существования установившегося режима в СМО (чтобы очередь не росла до бесконечности) необходимо, чтобы .

Получим выражение для определения . Для этого возьмем производную от :

.

После преобразования получим:

.

Среднее число заявок в СМО равно:

.

Чтобы разрешить неопределенность, воспользуемся правилом Лапиталя:

;

.

Чтобы вновь снять неопределенность, еще раз воспользуемся правилом Лапиталя:

;

. (1.49)

После подстановки в (1.49) выражения (1.46) и (1.47), получим:

, (1.50)

которая носит имя формулы Хинчина –Поллачека.

; ; ;

.

Примеры анализа СМО методом вложенных цепей Маркова

Пример 1. Пусть , тогда: и .

При подстановке математического ожидания и дисперсии в формулу Хинчина–Поллачека получаем ту же формулу , которая была получена в п. 1.4.1 для пуассоновских систем:

.

Пример 2. Пусть – время обслуживания – постоянная величина, т.е. . После подстановки в формулу Хинчина–Поллачека получим выражение для :

.

21. Анализ одноканальных смо с приоритетами.

Класс СМО , где – плотность функции распределения времени обслуживания заявок i-го приоритета (произвольный закон).

Суммарный поток заявок в СМО равен: , – вероятность того, что на входе СМО поступает заявка i-го приоритета. Получим плотность функции распределения времени обслуживания произвольной заявки входного потока: .

Математическое ожидание времени обслуживания:

;

для дисперсии: ,

,

.

Можно также записать:

.

Рассмотрим задачу определения характеристик обслуживания заявок k-го приоритета.

Время ожидания в очереди заявки k-го приоритета будет определяться выражением (рис 1.30):

, (1.51)

где – время до окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании в момент поступления заявки k-го приоритета, – заявки более высокого приоритета, которые надо пропустить на обслуживание, – время обслуживания заявок i-го приоритета.

₁

₂

: канал

обслуживания

_i

:

_n

Рис. 1.30. Схема функционирования СМО с приоритетами

– число заявок в очереди в момент поступления заявки k-го приоритета, – число заявок, поступивших в систему за время ожидания в очереди заявок k-го приоритета.

Сумма учитывает тот факт, что надо пропустить на обслуживание заявки более высокого приоритета, которые придут за время ожидания в очереди.

Определим математическое ожидание от (1.51):

. (1.52)

есть не что иное, как среднее время ожидания заявок k-го приоритета .

– среднее число заявок в очереди заявок i-го приоритета:

.

– среднее время обслуживания заявок i-го приоритета:

.

Следовательно,

.

Обозначим через , тогда:

.

– среднее число заявок i-го приоритета, поступивших за время ожидания в очереди заявки k-го приоритета. Очевидно, что , а .

Перепишем (2) с учетом полученных выражений:

(1.53)

(последнее слагаемое из первой суммы перенесли во вторую сумму) или

. (1.54)

Рассмотрим, как это выражение переписывается для разных приоритетов:

,

,

.

В общем случае (k = 2, 3, ...).

Обозначим через , тогда:

, (1.55)

(k = 2, 3, ...). (1.56)

Остановимся на вопросе определения .

Рассмотрим СМО без приоритетов. В этом случае выражение (1.51) принимает вид:

,

а выражение (1.53) .

Откуда получим выражение для :

. (1.57)

В СМО без приоритетов в соответствии с формулой (1.50) Хинчина−Поллачека:

. (1.58)

Напомним, что для произвольно выбранной заявки в СМО с приоритетами:

, (1.59)

. (1.60)

Выражение (1.58) с учетом (1.59) и (1.60) имеет вид:

. (1.61)

Если сравнить (1.57) и (1.61), то получаем:

, (1.62)

а выражение (1.56) примет вид:

,

где , .

Для определения остальных характеристик используем формулы Литтла:

, , .