Ошибка выборки.
Ошибки выборки носят случайный характер вследствие случайности отбора элементов для исследования изучаемых признаков и связанных с этими отличиями структур выборочной и генеральной совокупностей. Систематические ошибки возникают тогда, когда при формировании выборочной совокупности нарушен принцип случайности. Для всех единиц совокупности они имеют одностороннее направление, поэтому их называют ошибками смещения.
Присущие выборочному наблюдению ошибки исключить невозможно, однако теория выборочного метода дает математическую основу для расчета размера и определения направлений их уменьшения.
Чем больше величина ошибки выборки, тем
в большей степени сводные показатели
выборочного наблюдения отличаются от
сводных показателей, свойственных всей
совокупности. Исходя их вышесказанного,
можно утверждать, что
,
а
так как им присущи ошибки для средней
и доли.
При соблюдении принципа случайного отбора ошибка выборки определяется прежде всего численностью выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки. Ошибка выборки так же определяется степенью варьирования изучаемого признака: при одинаковой численности выборочных совокупностей ошибка выборки будет меньше в той совокупности, в которой изучаемый признак варьируется в меньшей степени, то есть совокупность более однородна.
Ошибки выборки рассчитывают по разному для повторного и бесповторного методов отбора единиц при формировании выборочной совокупности.
Для расчета средней ошибки выборки для
средней (
)
и для доли (
)
используют следующие формулы:
|
Повторный отбор |
Бесповторный отбор |
Средняя ошибка выборки для средней |
|
|
Средняя ошибка выборки для доли |
|
|
На практике величина дисперсии признака в генеральной совокупности ( ) как правило, не известна, поэтому ее заменяют выборочной дисперсией.
Величина
всегда
меньше единицы, поэтому сопоставление
приведенных формул свидетельствует о
том, что применение бесповторного отбора
обеспечивает меньшую ошибку выборки.
Необходимо добавить, что ошибка выборки зависит главным образом от абсолютной численности выборки и в меньшей степени от ее относительной доли (процента выборки).
Кроме средней ошибки рассчитывают
предельную ошибку для средней (
)
и доли (
).
Общий вид формулы предельной ошибки
выборки следующий:
.
Следовательно, предельная ошибка выборки
это увеличенная в t раз
средняя ошибка.
t- коэффициент кратности ошибок (коэффициент доверия), зависящий от вероятности, с которой можно гарантировать, что предельная ошибка не превысит t–кратную среднюю ошибку.
Вопрос о границах возможной ошибки решается на основе теории Чебышева-Ляпунова, которые определяют вероятность того, что ошибка репрезентативности не превышает кратную среднюю ошибка. На основе теории Чебышева в изложении Ляпунова установлено, что для
-
t=1
Соответствует вероятность p=0,683
t=2
Соответствует вероятность p=0,954
t=3
Соответствует вероятность p=0,997
t=4
Соответствует вероятность p=0,999
Для расчета предельной ошибки выборки используют следующие формулы:
|
Повторный отбор |
Бесповторный отбор |
Предельная ошибка выборки для средней |
|
|
Предельная ошибка выборки для доли |
|
|
Когда рассчитаны ошибки выборки, тогда можно установить границы, в которых находятся обобщающие характеристики генеральной совокупности, выявленные на основе выборочного исследования.
Границы, в которых находится значение генеральной средней:
откуда
То что генеральная средняя не выйдет за установленные пределы можно утверждать не с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной степенью вероятности.
Границы, в которых находится значение генеральной доли:
откуда
Пример: При бесповторной проверке веса 30 буханок хлеба из партии в 600 буханок было установлено, что средний вес хлеба «Формовой» составляет 1,47 кг. при среднем квадратическом отклонении 0,10 кг. Определить с вероятностью 0,997 среднюю и предельную ошибку выборки, границы в которых находится генеральная средняя.
Средняя ошибка выборки для средней:
кг.
Предельная ошибка выборки для средней:
кг.
Границы генеральной средней:
, следовательно
(1,47-0,17)≤ средний вес ≤(1,47+0,17) от 1,3 кг. до 1,64 кг.