БИЛЕТ 1.

Вопрос 1. Книга 8-19. Вопрос 2. Книга 159-160

БИЛЕТ 2. У Колька.

БИЛЕТ 3.

Вопрос 1. Книга 55-71. Вопрос 2. 127-129.

БИЛЕТ 4.

Вопрос 1.

Простейший вариант авторегрессионного процесса - модель авторегрессии первого порядка:

, (5.9)

где α – коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу  ;

- последовательность случайных величин образующих белый шум.

В соответствии с определением «белого шума» ошибка  - характеризуется следующими свойствами:

,

,

Модель (5.9) называют также марковским процессом. Рассмотрим основные свойства марковского процесса.

Представим выражение (5.9) в виде

Из выражения видно, что текущее значение наблюдения  зависит от всех предыдущих ошибок  . Так как среднее значение «белого шума» равно нулю  , то  .

Дисперсия марковского процесса определяется как:

. (5.10)

Из выражения (5.10) следует, что при  близком к единице дисперсия  будет намного больше дисперсии белого шума  . Это значит, что в случае сильной корреляции последовательных значений ряда  , даже слабые возмущения  будут порождать размашистые колебания  .

Автоковариационная функция определяется:

,

следовательно, автокорреляционная функция как

.

Степень тесноты корреляционной связи между уровнями ряда экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга по времени. Значение первого коэффициента автокорреляции равно  и все автокорреляции марковского процесса можно выразить через автокорреляцию первого порядка.

Значения частной автокорреляционной функции равны нулю для всех лагов τ=2,3,… Это свойство можно использовать при подборе модели, если выборочные частные коэффициенты автокорреляции статистически незначимо отличаются от нуля при τ۟≥2, то использование модели авторегрессии первого порядка не противоречит исходным данным.

Характеристическое уравнение для модели авторегрессии первого порядка имеет вид:

.

Исходя из требования к корням характеристического уравнении  , определяются требования к коэффициенту α: .

Процесс случайного блуждания или броуновское движение задается моделью:

, (5.11)

где  - белый шум. Этот процесс можно рассматривать как авторегрессию первого порядка с коэффициентом α=1. Математическое ожидание случайного блуждания  , т.е. математическое ожидание удовлетворяет условию стационарности. Дисперсия случайного блуждания равная  не постоянна, она меняется со временем, более того она растет пропорционально времени. Поэтому процесс случайного блуждания является нестационарным.

Процессы с |α|>1 также нестационарные. Такие ряды маловероятны в реальных финансово-экономических процессах, так как это подразумевает взрывные ряды, а давление экономической среды не позволяет показателям принимать бесконечно большие значения.

Перепишем уравнение (5.11) в виде

или  .

Первую разность процесса случайного блуждания можно рассматривать как другой временной ряд  , который будет стационарным.

Модель авторегрессии второго порядка (процессы Юла) определяется выражением

,

где  - последовательность случайных величин образующих белый шум.

Можно получить систему уравнений, связывающих между собой параметры модели α₁, α₂ с дисперсией  и первыми двумя ковариациями  моделируемого процесса:

.

Разделив оба уравнения на  , получим:

, или

. (5.12)

Эта систему называют системой Юла-Уокера (Yule Walker). Разрешая систему (512) относительно  и  получим:

Из системы (5512 можно выразить два первых коэффициента автокорреляции:

(5.13)

Используя рекуррентное соотношение

можно вычислить значения автокорреляционной функции процесса Юла для τ=3,4,….

Соотношение, связывающее между собой дисперсию моделируемого процесса  и дисперсию белого шума  имеет вид:

Условия стационарности процесса Юла могут быть получены из естественных требований к первым двум коэффициентам автокорреляции  :

.

Откуда следуют необходимые и достаточные условия стационарности данного процесса:

. (5.14)

Те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни характеристического уравнения  лежали вне единичного круга.

Из условий стационарности (5.14) и выражений (5.13) для  следует, что не всякие значения  подходят для описания процесса Юла. Допустимые значения  должны удовлетворять неравенствам:

.

Частная автокорреляционная функция процесса Юла начиная с лага τ=3,4,… будет равна нулю. Отметим, что этот результат верен для теоретической частной автокорреляционной функции и может не выполняться для выборочной частной автокорреляционной функции. На практике следует ожидать резкое убывание ЧАКФ до значений, близких к нулю при лагах выше 2.

Рассмотрев свойства авторегрессионных моделей, сформулируем практические рекомендации по их идентификации, основанные на изучении АКФ и ЧАКФ.

1. У моделей авторегрессии АR(р) значения коэффициентов АКФ экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак);

2. ЧАКФ для моделей авторегрессии АR(р) имеет выбросы на первых р- лагах, а значения коэффициентов для лагов, больших порядка авторегрессии, они статистически незначимы. Это свойство ЧАКФ используется при подборе порядка р в модели авторегрессии для конкретных анализируемых рядов.

Построение модели АR(р), адекватной реальному временному ряду, предполагает решение двух взаимосвязанных задач: определение порядка модели (величины р) и оценки значений ее коэффициентов.

Рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно вычислять любой коэффициент АКФ АR-процесса по ее первым коэффициентам имеет вид:

. (5.15)

Последовательно подставляя в (5.15) вместо истинных значений коэффициентов автокорреляции  процесса их выборочные оценки  , получим следующую систему линейных уравнений:

,

в которой известными являются оценки коэффициентов автокорреляции  , а неизвестными – оценки коэффициентов модели АR(р)  . Эта система уравнений Юла-Уокера, частный случай этих уравнений рассмотрен в АR(2)- процессах. Полученные на ее основе значения  называют оценками коэффициентов модели авторегрессии АR(р) Юла-Уокера. Оценки  могут быть получены либо с использованием определителей либо на основе векторно-матричной формы записи системы.