1. . Колебания происходят в фазе.

В этом случае для амплитуды фаза из (2) и (3) и диаграммы следует:

и .

2. Колебания происходят в противофазе. В этом случае, если получим:

и .

3. . В этом случае .

4. Пусть точка одновременно участвует в n колебаниях одного направления с одной и той же частотой. Выясним, каков характер результирующего движения точки:

…….………………

Решение данной задачи проведем с помощью векторной диаграммы. Из векторной диаграммы следует, что результирующее движение точки будет представлять собой гармоническое колебание с той же частотой.

Амплитуда этого колебания определится модулем вектора, являющегося векторной суммой

.

В качестве примера использования полученных выше формул для сложения колебаний рассмотрим электрическую цепь из двух последовательно соединенных элементов резистора R и конденсатора С, в которой течет переменный электрический ток, изменяющийся по закону:

.

Я сно, что на каждом элементе цепи будет некоторое падение напряжения U₁ и U₂. Эти напряжения изменяются по гармоническому закону:

, .

Очевидно, что для мгновенных значений напряжений будет справедливо:

.

Пусть напряжение, измеренное вольтметром на резисторе , будет , а напряжение на конденсаторе – . Определим напряжение , которое покажет вольтметр на участке 1-2.

Как известно, электроизмерительные приборы измеряют эффективное значение величин, которые пропорциональны соответствующим амплитудным значениям:

и .

Когда напряжения на последовательно соединенных участках цепи изменяются в фазе, напряжение на участке 1-2 будет равно сумме напряжений, измеренных вольтметром на отдельных участках.

.

В случае последовательной цепи из резистора и конденсатора напряжения на них сдвинуты по фазе на . Это связано с тем, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока текущего в цепи на /2 . Поэтому напряжение на участке 1-2, показанное вольтметром, определится формулой

.

Сложение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу

Пусть точка одновременно участвует в двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаниях, происходящих вдоль осей и . Пусть частоты складываемых колебаний и равны друг другу. Выясним, каков характер результирующего движения точки.

(1)

(2)

В соответствие с принципом независимости движений, результирующее смещение будет равно сумме смещений, полученных в каждом колебании. Оно определится соотношением:

или

Чтобы найти уравнение траектории результирующего движения необходимо из приведённых уравнений (1) и (2) исключить слагаемые, зависящие от времени. Для этого из (1) выразим и подставим в (2):

Замечая, далее, что

, Получим

Для исключения корня возведем обе части в квадрат

И после

преобразований окончательно получим:

(3)

Полученное уравнение (3) представляет собой уравнение эллипса, главные оси которого произвольным образом ориентированы относительно осей координат.

Рассмотрим ряд частных случаев: