Способы корректировки автокорреляции (авторегрессионные модели первого порядка) (15 баллов).
Рассмотрим авторегрессионную модель первого порядка, в которой значение возмущения ɛ определяется через его лаговое значение первого порядка. В этом случае спецификация регрессионной модели с регрессией случайного возмущения имеет вид:
где
,
t
– случайные возмущения авторегрессионного
уравнения – независимые нормально
распределенные случайные величины:
– коэффициент
авторегрессии (параметр модели) (-1<
<1):
>0 – положительная автокорреляция
<0 – отрицательная автокорреляция
=0 – автокорреляции нет, удовлетворяется третье условие Гаусса-Маркова.
Необходимо
определить начальные условия модели.
Начальные условия модели определяются
нормальной случайной величиной
Корректирующий
множитель
служит для обеспечения гомоскедастичности
случайных возмущений.
Способы корректировки гетероскедастичности. Взвешенный метод наименьших квадратов (15 баллов).
При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется традичионный МНК заменить обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК). Этот метод применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.
Будем считать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. В то же время дисперсия их не остается неизменной для различных значений фактора, а пропорциональна некоторой величине К.
В
общем виде уравнение регрессии примет
вид
По
отношению к обычной регрессии уравнение
с новыми, преобразованными переменными
представляет собой взвешенную регрессию,
в которой переменные X
и Y
взяты с весами
Оценка параметров уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которых необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений:
ОМНК-оценка
вектора А равна
,
где
A=
,
V=
,
X=
,
Y=
Стационарные и нестационарные стохастические процессы.
Стационарным процессом в узком смысле называется такой случайный процесс, вероятностные свойства которого с течением времени не изменяются. Он протекает в приблизительно однородных условиях и имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения. Причем ни средняя амплитуда, ни его частота не обнаруживают с течением времени существенных изменений.
Однако на практике чаще всего встречаются процессы, вероятностные характеристики которых подчиняются определенным закономерностям и не являются постоянными значениями. Поэтому в прикладном эконометрическом анализе используется понятие слабой стационарности (или стационарности в широком смысле), которое предполагает неизменность во времени среднего значения, дисперсии и ковариации временного ряда. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно, и автокорреляционная функция r(t) зависит только от длины временного интервала. Если хотя бы одно условие не выполняется процесс считается нестационарным.
Стационарные и нестационарные стохастические процессы. (15)
Тест Чоу на наличие структурных изменений в регрессионной модели (15 баллов).
В практике есть случаи, когда имеются две выборки пар значений зависимой и обьясняющих переменных(х у). Например, одна выборка пар значений переменных обьемом n1 получена при одних условиях, а другая обьемом n2,- при несколько измененных условиях. Необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле и можно ли их обьединить в единую модель регрессии У по Х.
При достаточных обьемах выборок можно было, например, построить интервальные оценки параметров регрессии по каждой из выборок и в случае пересечения соответствующих доверительных интервалов сделать вывод о единой модели регрессии.
В случае, если оббьем хотя бы одной из выборок незначителен, возможности других подходов резко сужаются из за невозможности построения сколько-нибудь надежных оценок.
В критерии(тесте) Г. Чоу эти трудности в существенной степени преодолеваются. Покаждой выборке строятся две линейные регрессионные модели:
Проверяемая нулевая гипотеза имеет вид Нₒ: β′=β′′ ; D(ε′)=D(ε′′)=σ², где β′=β′′ - векторы параметров двух моделей; ε′, ε′′ - их случайные возмущения. Если нулевая гипотеза верна, то две регрессионные модели можно обьединить в одну обьема n=n+1 :
Согласно критерию Г. Чоу нулевая гипотеза Нₒ отвергается на уровне значимости α, если статистика
Где
- остаточные суммы квадратов соответственно
для обьединенной, первой и второй выборок
; n=n1+n2.
Критерий Г. Чоу может быть использован при построении регрессионных моделей при воздействии качественных признаков, когда имеется возможность разделения совокупности наблюдений по степени воздействия этого фактора на отдельные группы и требуется установить возможность использования единой модели регрессии.