4.4. Оценка погрешности интерполяции

Так как многочлен Лагранжа - приближенное представление функции , то . Оценим погрешность приближения .

Пусть , где отрезок содержит все узлы интерполяции. Будем искать погрешность в виде . Возьмем - многочлен степени n+1.

Определим погрешность в некоторой фиксированной точке x*. Рассмотрим вспомогательную функцию

.

Из определения функции следует, что . Кроме того, по определению интерполяционного полинома . Следовательно:

.

Кроме того:

.

Следовательно, функция (x) обращается в 0, по крайней мере, в n+2 точках.

По теореме Ролля ^/(x) обращается в 0, по крайней мере, в n+1 точках, ^//(x) обращается в 0 в n точках и т.д. Следовательно, найдется такая точка , что .

,

где  зависит от x*. Тогда

.

.

Найдем максимальную погрешность на [a; b]:

. (4.6)

4.5. Линейная аппроксимация

Будем аппроксимировать функцию стягивающей хордой на отрезке (рис. 4.1). Получим полином Лагранжа первой степени: . Пусть , тогда , при этом - фаза интерполяции.

Рис. 4.1. Линейная аппроксимация

Рассмотрим погрешность аппроксимации:

,

где .

Разбивая отрезок с шагом h и заменяя на каждом из отрезков разбиения стягивающей хордой, получим кусочно-линейную аппроксимацию (рис. 4.2):

Рис. 4.2. Кусочно-линейная аппроксимация

При этом погрешность на всем отрезке составит:

, где .

4.6. Минимизация оценки погрешности путем выбора узлов интерполяции

В общем случае погрешность аппроксимации зависит, в первую очередь, от самой аппроксимирующей функции, а также от степени аппроксимирующего многочлена и от узлов разбиения. Покажем, как можно добиться уменьшения погрешности за счет выбора положения узлов интерполяции.

Многочленом Чебышева степени n на отрезке [-1;1] называется многочлен следующего вида:

. (4.7)

Очевидно, что T₀ = 1; T₁ = x. Пусть , тогда:

Получили рекурсивную формулу для определения полинома Чебышева степени n+1:

. (4.8)

Таким образом, ;

и т.д.

Из определения (4.7) и формулы (4.8) вытекают следующие свойства многочлена Чебышева.

1. Многочлен содержит только четные степени при четных значениях n и только нечетные - при нечетных значениях n .

2. Коэффициент при старшей степени x равен .

3. На интервале (-1; 1) многочлен Чебышева T_n(x) имеет n различных действительных корней:

, i = 0, 1, .., n-1.

Действительно,

4. Наибольшее по модулю значение многочлена Чебышева T_n(x) равно 1:

,

и в точках x_m он будет принимать значения (-1)^m:

, где .

Теорема 4.2. Рассмотрим нормированный многочлен Чебышева . Из всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 он является многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1; 1].

Доказательство.

Предположим, что нашелся некий многочлен степени n со старшим коэффициентом 1 такой, что .

Рассмотрим их значения в точках x_m (для это точки максимума):

.

Таким образом, разность этих многочленов в в точках x_m не равна нулю:

,

причем в точках максимума эта разность положительна, а в точках минимума – отрицательна. Так как произойдет n+1 смена знака, то имеет п корней, что противоречит основной теореме алгебры. Полученное противоречие доказывает теорему.

Рассмотрим интерполяционный полином Лагранжа степени n на отрезке [-1; 1]. В качестве узлов интерполяции выберем нули многочлена Чебышева степени n+1:

.

Найдем оценку погрешности при указанном выборе узлов. От узлов зависит функция _n(x) - многочлен степени n+1 со старшим коэффициентом 1. Поскольку его корнями являются узлы интерполяции, совпадающие с корнями приведенного полинома Чебышева, то . Следовательно, на отрезке [-1;1] имеет место равенство:

.

Подставляя полученный результат в (4.6), находим погрешность аппроксимации:

.

Пусть функция задана на произвольном отрезке . Сделаем линейное преобразование отрезка:

.

Таким образом, функция на отрезке превращается в некоторую функцию на отрезке [-1; 1], о которой говорилось выше. Тогда в качестве узлов аппроксимации берем точки

,

соответствующие нулям многочлена Чебышева и обеспечивающие наилучшую аппроксимацию.

Оценим погрешность данной аппроксимации. Поскольку

то

. (4.9)

Проведем сравнительный анализ аппроксимации многочленом Тейлора и многочленом Лагранжа.

Для многочлена Тейлора Р_n(x) погрешность будет составлять (см. (4.3)):

.

Если в качестве x₀ взять середину отрезка , то , и, следовательно:

.

Сравнивая полученный результат с (4.9), видим, что погрешность аппроксимации полиномом Лагранжа при соответствующем выборе узлов меньше в 2ⁿ раз:

.

Таким образом, многочлен Лагранжа обеспечивает более равномерное приближение функции на отрезке с меньшей степенью погрешности.