4. Аппроксимация функций

4.1. Постановка задачи

Во многих случаях встает проблема замены функции одной или многих переменных близкой ей функцией, чаще всего многочленом. Подобная задача может возникнуть в следующих ситуациях:

1. Решение задачи требует многократного вычисления значения функции в различных точках. Если задана громоздким аналитическим выражением, то для ускорения времени вычислений естественно заменить (аппроксимировать) исходную функцию близкой к ней функцией так, чтобы

,

где  - точность аппроксимации. При этом вычисление должно быть более быстрой процедурой, чем вычисление . Во многих случаях в качестве выбирается полином некоторой степени.

2. Предположим, что функция задается своими значениями в узлах . В памяти эти значения хранятся в виде двумерного массива . При большом п хранение и обработка этой таблицы могут оказаться слишком обременительными. В этом случае проще подобрать близкую функцию , зависящую от небольшого числа параметров, и работать не с табличными данными, а с аналитическим выражением.

3. Описанная выше таблица значений функции может представлять результаты какого-либо эксперимента. В этом случае перед экспериментатором стоит задача поиска эмпирической закономерности, наилучшим образом описывающей полученные результаты.

Во всех перечисленных случаях точность приближения зависит от введенной в качестве меры близости нормы. В зависимости от того, какая норма рассматривается, различают различные задачи аппроксимации.

Если в пространстве функций введена равномерная непрерывная норма

,

то задача называется задачей равномерного приближения.

Если рассматривается среднеквадратичная интегральная норма

или согласованная с ней дискретная норма

,

то задача называется задачей среднеквадратичного приближения.

4.2. Многочлен Тейлора

Пусть функция . Тогда в качестве аппроксимирующей функции берем многочлен Тейлора в некоторой точке х₀:

,

при этом в точке х₀ совпадают значения не только самой функции и многочлена тейлора, но и их производных:

.

Оценка погрешности приближения следует из формулы остаточного члена формулы Тейлора:

.

Тогда погрешность в точке х равна:

(4.1)

Так как , то непрерывна на этом отрезке и, следовательно, достигает своего максимума. Обозначим

.

Тогда

. (4.2)

В целом на отрезке [a; b] погрешность аппроксимации не превосходит:

. (4.3)

Приближение многочленом Тейлора обладает существенными недостатками. Во-первых, для его вычисления необходимо знать не только саму функцию, но и ее производные, что не всегда возможно. Во-вторых, многочлен Тейлора гарантированно совпадает с только в одной точке х₀. И, наконец, из (4.2) следует, что погрешность сильно зависит от точки, в которой мы ищем приближение: чем ближе к концам отрезка, тем погрешность аппроксимации больше.

4.3. Интерполяционный полином Лагранжа

Указанных недостатков лишен интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть известны значения функции в точках x_i: . Интерполяционным полиномом называется многочлен степени не выше n такой, что его значения в точках x_i совпадают со значениями функции в этих точках:

. (4.4)

точки x_i называются узлами интерполяции.

Вычисление значения функции в точке х, лежащей между узлами интерполяции, называется интерполяцией функции . Если точка x лежит вне пределов отрезка, содержащего все узлы, тогда процесс вычисления называется экстраполяцией.

Теорема 4.1. Многочлен L_n, удовлетворяющий условию (4.4), существует и единственен.

Доказательство.

Рассмотрим многочлен следующего вида:

, (4.5)

где .

Покажем, что он интерполяционный. Нетрудно видеть, что ; . Следовательно, если в L_n подставить x_i, то ненулевым будет только многочлен P_ni, т.е. .

Таким образом, существование интерполяционного полинома доказано.

Пусть существует два таких многочлена: и . Рассмотрим их разность: - также многочлен степени не выше n .

;

т.е. обращается в 0 по крайней мере в n+1 точке, т.е. имеет n+1 корень.

По основной теореме алгебры многочлен степени n имеет не больше n вещественных корней, а Q_n имеет n+1 корень, следовательно, , а значит, , т.е. интерполяционный полином единственен.

называется интерполяционным полиномом Лагранжа, а многочлены - лагранжевыми коэффициентами.

Из теоремы 4.1 следуют три утверждения.

Следствие 4.1.1. Если является многочленом степени не выше п ( ), то ее интерполяционный полином совпадает с ней самой: .

Следствие 4.1.2. Пусть все f_i=1, i=0,1,...,n. Тогда , а следовательно, . Таким образом, вычисление лагранжевых коэффициентов можно контролировать.

Следствие 4.1.3. Если функция является линейной комбинацией некоторых функций, то ее интерполяционный полином равен сумме интерполяционных полиномов, т.к. зависит линейно от значений в узлах.