3.3. Основные законы распределения случайных величин

В теории технической эксплуатации автомобилей применяются следующие законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин: экспоненциальный; нормальный; логарифмически-нормальный; закон Вейбулла-Гнеденко; гамма-распределение и др.

3.3.1. Экспоненциальное (показательное) распределение

Закон экспоненциального распределения нашел широкое применение, в особенно технике. Экспоненциальным законом распределения можно аппроксимировать данные машин, эксплуатируемых в период после окончания приработки и до периода существенного проявления постепенных отказов старения объекта (см. рис. 2.4.), экспоненциальный закон распределения применяется при описании внезапно возникающих событий, вызванных внешними причинами, например, прокол шины, разрушение ветрового стекла и т.д.

Плотность экспоненциального распределения определяется по формуле f(t) = λ (рис. 3.3 а), где λ = - интенсивность отказов, характеризующая число отказов в единицу времени; Т_ср – средняя наработка элемента до отказа; t – время.

В ероятность безотказной работы за время t определяет функция надежности:

P(t) = .

Рис. 3.2. Функция надежности при λ = 0,02 ч^-1

а б

в г

Рис. 3.3. Плотности различных законов распределения: а - экспоненциального; б – нормального; в – логарифмически-нормального; г - Вейбулла

Пример: Время безотказной работы элемента подчинено экспоненциальному распределению с параметром λ = 0,02 ч^-1. Найти вероятности того, что элемент проработает безотказно в течение 10 ч. и в течение 50 ч.

Решение:

λ = 0,02 ч^-1

t₁ = 10 ч.

t₂ = 50 ч.

P(10) = = = 0,8187

P(50) = = 0,3679

3.3.2. Нормальное распределение

Закон нормального распределения (распределение Гаусса) является основным в математической статистике. Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многочисленные примерно равнозначные факторы.

Нормальное распределение определяется плотностью:

f(t) =

и зависит от двух параметров: матожидания m и среднего квадратического отклонения σ. График плотности нормального распределение (кривая Гаусса) приведен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. График плотности нормального распределения

с параметрами m = 80 ч., σ = 20 ч.

Изменение вида кривой в зависимости от параметров распределения приведено на рис. 3.3 б. Матожидание определяет положение максимума по оси ординат, а среднее квадратическое отклонение – ширину петли.

Для нормального распределения функция надежности вычисляется по формуле:

P(t) = 0,5 – Ф₀ ( ) ,

где Ф₀ – функция Лапласа, значения которой приводятся в справочных таблицах.

Пример: Время безотказной работы элемента подчинено нормальному распределению с параметрами m = 80 ч. и σ = 20 ч. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно в течение 60 ч.

Решение:

P(t) = 0,5 – Ф₀ ( )

P(60) = 0,5 - Ф₀ ( ) = 0,5 - Ф₀ (-1) = 0,5 + Ф₀ (1) = 0,8413.