Расчет трехшарнирных арок. Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке
Рассмотрим арку загруженную вертикальной нагрузкой Найдем внутренние усилия в некотором сечении, положение которого определено координатами и y (рис. 5.6). Рассмотрим равновесие левой отсеченной части
Определим внутренние усилия в сечении с известными координатами x и y из следующих условий равновесия рассматриваемой отсеченной левой части арки:
Найдем изгибающий момент Mx:
,
откуда
.
Обратим внимание на то, что выражение
отвечает
изгибающему моменту в сечении x в
эквивалентной балке (рис. 5.7).
Окончательно
.
Из полученной формулы следует, что изгибающий момент в арке меньше, чем в эквивалентной балке.
Найдем
поперечную силу
:
,
откуда,
с учетом, что
– поперечная силав сечении x в эквивалентной
балке, получим:
.
Отметим, что поперечная сила в арке меньше, чем в аналогичной балке.
Нормальную
силу в сечении x определим из условия
равновесия в виде равенства нулю проекций
всех сил слева от сечения на ось
:
Как
видно из полученного выражения, в арке
нормальная сила сжимающая и хотя ее
величина возрастает по сравнению с
поперечной силой в аналогичной балке,
но большинство строительных материалов
хорошо работают на сжатие, чего не
скажешь о растяжении.
Расчет арки обычно ведется следующим образом:
– арка мысленно разбивается на ряд участков, чтобы в сечения обязательно попали сосредоточенные силы и дополнительные, так как эпюры внутренних сил в при любой нагрузке криволинейны. Следует предусмотреть достаточное количество сечений для достижения точности расчета;
– расчет ведется в табличной форме, форма таблицы будет показана на практических занятиях.
Понятие о рациональной оси арки
Рациональной осью арки называется такое ее очертание, когда изгибающий момент во всех сечениях равен нулю.
В силу определения рациональной оси арки положим, что
.
Проведем элементарные преобразования:
.
Полученное выражение утверждает, что для того, чтобы ось арки была рациональной, закон ее изменения должен отвечать закону изменения балочного изгибающего момента.
Примером рациональной оси арки является параболическая кривая, если на арку действует равномерно распределенная нагрузка:
.
По такой формуле следует принять закон изменения оси арки при расчете ее в контрольной работе.
Арки с рациональными осями. Преимущества и недостатки арок по сравнению с балками.
Для большинства строительных конструкций, таких как перекрытия зданий, пролетные строения мостов и т.п. основной нагрузкой является вертикальная нагрузка, направленная вниз. Легко убедиться, что для такой нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут направлены навстречу друг другу, т.е. значение распора Н будет положительнымОсновным достоинством арочных конструкций является то, что в этом случае, изгибающий момент в любом сечении арки всегда меньше, чем в том же сечении соответствующей балки. За счет этого, а также за счет действующих в арке продольных сжимающих усилий, растягивающие напряжения в сечениях арки малы или отсутствуют. Это очень важно для каменных и бетонных конструкций, которые, как известно, могут выдерживать высокие сжимающие напряжения, но практически не работают на растяжение. 2. Арочные конструкции отличаются большей эстетичностью. 3. Балочные конструкции значительно более технологичны с точки зрения изготовления, транспортировки и монтажа по сравнению с арочными. 4. Арки передают на опоры значительные горизонтальные усилия . В связи с этим, опоры арочных конструкций должны быть достаточно мощными, чтобы воспринять эти усилия и передать их на основание. Использование арок с затяжками позволяет значительно уменьшить горизонтальные опорные реакции. Металлическую затяжку применяют, например, для уменьшения нагрузок на пяту каменного свода . Арка рационального очертания - такая арка, в каждом сечении которой при вертикальной нагрузке определенного вида изгибающий момент равен нулю. Поскольку f не зависят от координаты x, следует, что y(x) должна быть пропорционально изгибающему моменту в балке, соответствующей рассматриваемой арке. Итак, для построения арки рационального очертания для нагрузки определенного вида достаточно построить эпюру изгибающего момента в балке, соответствующей данной арке, и, задавшись значением f, определить очертание арки по формуле (5.17). В частности, рациональным очертанием для арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, будет параболическое очертание, поскольку изгибающий момент в соответствующей балке меняется по закону параболы