9. Классификация регрессионных моделей.

Зависимость между экономическими переменными типа Y=f(X)+ԑ называется регрессионной зависимостью, эконометрические модели со спецификацией вида Y=f(X)+ԑ - регрессионными моделями. Регрессионная зависимость является обобщением функциональной зависимости между переменными и при ԑ=0 сводится к ней.

Независимые переменные в регрессионных моделях называются регрессорами. В зависимости от типа уравнения регрессии модели подразделяются на линейные ( и нелинейные. Уравнения регрессии в нелинейных моделях могут быть нелинейными как по переменным ( , так и по параметрам ( .

В зависимости от количества регрессоров, входящих в спецификацию, регрессионные модели подразделяются на модели парной (простой, двумерной – ) регрессии и модели множественной (многомерной - ) регрессии. В парной регрессионной модели эндогенная переменная зависит только от одного регрессора.

10. Спецификация парной линейной регрессионной модели.

Структура парной регрессионной модели: Y=f(X)+ԑ

Y – эндогенная переменная (зависимая)

Х – экзогенная переменная (регрессор)

f (X) – уравнение регрессии – детерминированная составляющая объясняемая экзогенной переменной

ԑ - некоторая случайная величина, необъясняемая экзогенной переменной – случайное возмущение

Спецификация парной линейной регрессионной модели: Y=a+bX+ԑ

a,b – параметры модели (постоянные неизвестные коэффициенты)

X – экзогенная переменная (независимая) – регрессор (детерминированная величина)

У – эндогенная переменная (зависимая переменная) – отклик (случайная величина)

ԑ- случайное возмущение (случайная величина), характеризующее отклонение от уравнения регрессии f(X)=a+bX (теоретической линейной зависимости) и возникающая из-за ошибок спецификации и ошибок измерения.

11. Предпосылки Гаусса-Маркова относительно случайного возмущения регрессионной модели.

Уравнения для отдельных наблюдений зависимой переменной Y записываются в виде (схема Гаусса-Маркова): , где , , t=1,…,n – выборочные данные (наблюдения), n –объем выборки (количество наблюдений)

Относительно возмущений Ԑt, t=1,..n, в регрессионных моделях принимаются следующие предположения (условия Гаусса-Маркова):

1. Математическое ожидание случайных возмущений равно нулю

E(Ԑt)=0, t=1,..n

2. Дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера (момента) наблюдений t

Var(Ԑt)=const=

Независимость дисперсии возмущения от номера наблюдения называется гомоскедантичностью – одинаковый разброс. При нарушении – гетероскендантичность.

3. Возмущения для различных наблюдений некоррелированы:

Cov (Ԑt, Ԑs)=0 при t s

Т.е. предполагается отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях tи s. При нарушении – автокорреляция возмущений.

4) Ковариация между регрессором и случайным возмущением равна 0. При парной регрессии можно не проверять.

Cov(Xt,Ԑt)=0

12. Теорема Гаусса - Маркова.

где , , t=1,…,n – выборочные данные (наблюдения), n –объем выборки (количество наблюдений)

Пусть матрица Х детерминирована и имеет полный ранг.

При выполнении условий Гаусса-Маркова МНК-оценки параметров относятся к классу оценок:

Линейных по Y, несмещенных и с минимальной дисперсией.

Относительно возмущений ε_t, t = 1 = 1,…,n в регрессионных моделях принимаются следующие предположения (условия Гаусса—Маркова):

1. Математическое ожидание случайных возмущений равно нулю

E{ε_t} =0, t = 1,…n

2. Дисперсия возмущений постоянна и не зависит от номера (момента) наблюдений t:

Var { ε_t } = const = .

3. Возмущения для различных наблюдений некоррелированы:

Cov { ε_t, ε_s }= 0 при t ≠s

т. е. предполагается отсутствие систематической связи между значениями случайного члена в любых двух наблюдениях t и s.

4. Ковариация между регрессором и случайной величиной равна нулю

Cov { Х_t, ε_s }= 0