Задачі на переправу

Задачі на переправу часто зустрічаються в збірниках старовинних задач. Серед них чи не найпоширенішими є задачі про вовка, козу і капусту (вона зустрічається в рукописах VIII ст. і має казковий зміст) і про переправу військового загону.

Задача 13. Хтось повинен перевезти на своєму човні через річку козу, капусту та вовка. У човні може поміститися одна людина і чи вовк, чи коза, чи капуста. Але якщо залишити на березі річки вовка з козою самих, то вовк з’їсть козу. Якщо залишити козу з капустою, то коза з’їсть капусту. Проте все ж таки вдалося перевезти всіх через річку. Як це було зроблено?

Задача 14. Невеликий військовий загін підійшов до річки, через яку він має переправитися. Міст зруйновано, а річка глибока. Як бути? Раптом офіцер помітив поблизу берега двох хлопчиків, які бавилися в човні. Але човен був настільки малим, що в ньому міг переправитися тільки один солдат або тільки двоє хлопчиків. Проте всі солдати змогли переправитися через річку саме в цьому човні. Як вони це зробили.

Наведемо з розв’язанням (ОСМ) схожу задачу з трохи осучасненим змістом.

Задача 15. Двом дорослим і двом хлопчикам потрібно було переправитися через річку. На березі вони знайшли човен, але він був такий малий, що міг утримати на воді лише одного дорослого або двох хлопчиків. Як їм усе ж таки вдалося переправитися через річку?

ОСМ. Порядок переправи через річку можна зобразити за допомогою

таблиці, позначивши дорослу людину — , а хлопчика —  (див схему).

Задачі на зважування на шалькових терезах без гир

Задача 16. Із трьох монет одна фальшива. Як знайти її за допомогою одного зважування на шалькових терезах без гир, якщо вона легша від справжньої?

ОСМ. Позначимо монети літерами А, Б, і В. Покладемо на терези монети А і Б. Якщо терези зрівноважені, то фальшивою є монета В. Якщо ні, то легша з монет А або Б – фальшива.

Схема

Кроки	Лівий берег	Напрям руху човна	Правий берег
0	   
1	 	 
2	 		 
3	 		
4	  		
5	 		
6	 		 
7	 		
8	  		
9		 	
10			  
11			 
12	 		 
13			 
14			  
15			 
16	 		 
17		 	 
18			   

Задача 17. Як за допомогою шалькових терезів без гир зважити 14 кг цукру, якщо в торбині – 16 кг цукру?

ОСМ.

Зважування	Перша шалька	Друга шалька	Торбина
0	0 кг	0 кг	16 кг
1	8 кг	8 кг	0 кг
2	0 кг	8 кг	8 кг
3	4 кг	4 кг	8 кг
4	0 кг	4 кг	12 кг
5	12 кг	2 кг	2 кг
6	0 кг	2 кг	14 кг

Задача 18. Як за допомогою двох зважувань виявити:

1) із дев’яти однакових деталей одну, легшу за інші;

2) із восьми однакових деталей одну, легшу за інші?

ОСМ. 1) Розділимо деталі на три купки (по 3 деталі у кожній). Покладемо на одну шальку терезів першу купку деталей, а на іншу шальку — другу купку. Якщо шальки у рівновазі, то фальшива деталь знаходиться в третій купці. Якщо фальшива деталь в одній із купок, що на терезах, то вона на шальці, що має меншу вагу. Далі слід діяти, як в задачі 16.

Задача 19. Із 12 монет одна фальшива. Як знайти її лише за чотири зважування, якщо невідомо, легша вона чи важча за інші? Чи можна знайти фальшиву монету за три зважування? Чи можна при цьому встановити, легша вона чи важча у порівнянні зі справжньою монетою?

Задача 20. Із 27 монет одна фальшива. Як знайти її лише за три зважування, якщо відомо, що вона легша від справжньої?

ОСМ. Розділити монети на три рівні купки, а далі діяти, як у задачі 18.

Задача 21. Є шість однакових на вигляд монет, із яких дві фальшиві – однаково легші від справжніх. За три зважування визначте обидві фальшиві монети.

ОСМ. Позначимо монети буквами A, B, C, D, E і F, розділимо на дві купки по три монети і покладемо на шальки терезів. Можливі такі випадки.

Випадок І. Перше зважування: А+В+С=D+Е+F. Отже, фальшиві монети знаходяться по одній на кожній із шальок.

Друге зважування: якщо А=В, то монета С – фальшива; якщо А>В, то фальшива монета В; якщо А<В, то фальшива монета A.

Третє зважування: аналогічно порівнюємо монети D, E і F.

Випадок ІІ. Перше зважування: А+В+С<В+Е+Е. Отже, обидві фальшиві монети знаходяться серед монет A, В, С, а монети D, Е, F – справжні.

Друге зважування: якщо A=D, то монети В і С – фальшиві і зважування завершено; якщо A<D, то фальшивою є монета A і зважування продовжуємо.

Третє зважування: якщо А=В, то фальшивою є монета В; якщо А<В, то – монета С.

Задача 22. Із шести однакових на вигляд монет дві фальшиві, але їх маси різні. За три зважування визначте обидві фальшиві монети.

ОСМ. Позначимо монети буквами A, В, С, D, Е і F. Під час першого зважування порівнюємо монети A і В.

Випадок І. Виконуємо порівняння:

1) Якщо A=В, то ці монети справжні. 2) Зважуємо монети С і D. Якщо С=D, то фальшивими є монети Е і F. Якщо С<D то фальшивою є монета С (за умовою фальшиві монети легші від справжніх). Іншу фальшиву монету слід шукати, порівнюючи монети D і E,знаючи, що D – справжня монета.

Випадок II. Виконуємо порівняння:

1) Якщо A<B, то фальшива монета A.

2) Зважуємо монети В і С та монети D і Е (якщо маємо дві рівності, то фальшивою є монета F; якщо в одній із пар є нерівність, то легша із монет і є фальшивою).

Задача 23. На суді серед доказів було представлено 14 монет. Під час експерименту було виявлено, що монети 1 – 7 – фальшиві, а 8 – 14 –справжні. Суду відомо, що справжні монети важать однаково, фальшиві монети важать також однаково і вони легші від справжніх. Експерт має шалькові терези без гир. З’ясуйте: чи зможе експерт за три зважування довести суду, що:

1) монети 1 – 7 –фальшиві?

2) монети 1 – 7 – фальшиві, а монети 8 – 14 – справжні?

ОМС. Позначимо монети 1 – 7 буквами М1, М2, М3,..., М8 відповідно. Розглянемо розв’язання до завдання 1).

Зважування	Перша шалька	Друга шалька	Коментар
1	М1	М8	М1<М8, отже, монета МІ — фальшива, а монета М8 — справжня
2	М1+М8	М2+М3	М1+М8>М2+МЗ, отже, монети М2 і МЗ – фальшиві
3	М1+М2, М3+М8	М4+М5+ М6+М7	М1+ М2+ МЗ +М8 >М4+ М5+ + М6+М7, отже, монети М4, М5, М6 і М7 – фальшиві