Магічні квадрати з базовими числами
За трьома даними (базовими) числами, які вже розміщені в клітинках квадрата 3x3, заповнити решту клітинок квадрата так, щоб у рядках, стовпчиках і діагоналях утворилися однакові суми. Числа в клітинках квадрата можуть повторюватися, бути дробовими чи від’ємними.
Для учнів 5–6-х класів краще починати із заповнення квадратів натуральними числами. Крім того, варіанти розміщення базових чисел потрібно розбирати на заняттях гуртків у порядку зростання їх складності.
Найпростіший випадок – коли два з базових чисел розміщені у діагоналях і одне з них – у центрі квадрата (числа у клітинках квадрата можуть повторюватися).
Задача 13. Заповніть квадрати 1–8 (рис. 80–87).
ОСМ для квадрата 1. Крок 1. Звертаємо увагу, що число (позначимо його А), яке має стояти в нижній правій клітинці, входить до двох сум і вони мають бути рівними. Тоді С+ 1+А = 5 + 6 + А( С — число у лівій верхній клітинці). Отже, С = 4 (рис. 88).
Крок 2. Далі помічаємо, що 4 + К + В = 5 +1 + В. Звідси К - 8 (рис 89).
Крок 3. Знаючи суму середнього стовпця 6 + 7 + 8 = 21, заповнюємо решту клітинок.
Відповідь. Див рис. 90—97.
Круги ейлера. Розв'язування задач за допомогою кругів ейлера
Історичні відомості. Для наочного зображення множин, підмножин, відношень між множинами часто використовують геометричні фігури, зазвичай круги, які називають кругами Ейлера.
У математиці рисунки у вигляді кругів, що зображують множини, застосовуються здавна. Одним з перших, хто використовував такі рисунки, був видатний німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716).
У його чернетках були знайдені рисунки з такими кругами. Потім цей метод достатньо ґрунтовно розвинув німецький математик, механік і фізик Леонард Ейлер (1707— 1783). Він досить довго працював у Петербурзькій Академії наук і в той же час (з 1761 р. до 1768 р.) написав відомі «Листи до німецької принцеси». У деяких із них він розповідав про свій метод, зауважуючи, що «круги придатні для полегшення наших міркувань».
Після Ейлера цей метод розробляв чеський математик Бернард Больцано (1781—1848). Але на відміну від Ейлера він малював не круги, а прямокутники. Метод кругів Ейлера використав і німецький математик Ернест Шреде (1841—1902), зокрема, у праці «Алгебра логіки».
Проте найбільшого розквіту графічні методи досягай у творах англійського логіка Джона Венна (1843—1923), зокрема, в книжці «Символічна логіка (1881). Іноді замість назви «круги Ейлера» відповідні рисунки називають на честь Венна — діаграмами Венна, а в деякій літературі вживають діаграми (або круги) Ейлера — Венна.
Теоретичні відомості. Якщо А,В,С ,... — деякі множини, то для їх зображення та ілюстрації відношень між ними використовують круги (рис. 98—103).
За допомогою кругів Ейлера можна розв’язувати задачі на визначення кількості елементів множини.
Приклад 1. Множина А містить 5 елементів, множина В — 9, а їх об’єднання — 11 елементів. Скільки елементів містить переріз множин А і В?
Зобразимо множини А і В кругами Ейлера, позначивши кількість елементів їх перерізу через х (рис. 104). Очевидно, що елементів, які належатимуть тільки множині А, буде (5 - х), а тільки множині В — (9-х).
Матимемо рівняння: (5 - х) + х + (9 - х) = 11. Звідси х = 3.
Приклад 2. Множина Л містить 5 елементів, об’єднання множині і В — 11, а їх переріз — 3 елементи. Скільки елементів містить множина В?
Розв’язання наведено на рис..105. Отже, в множині В — 6 + 3 = 9 елементів.
Розв’язування задач.
Задача 1. У школі навчаються 52 семикласники. Усі вони люблять тістечка або морозиво. Половина з них полюбляє тістечка, а 20 учнів — тістечка і морозиво. Скільки учнів полюбляють морозиво?
Розв’язання. Позначимо множину учнів, які полюбляють тістечка, через Т, морозиво — М. Побудуємо круги Ейлера (рис. 106).
Відповідь. 27 учнів.
Задача 2. У класі 35 учнів, з них 20 займаються в математичному гуртку, 11 — у біологічному, 10 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюються математикою?
Розв’язання. Зобразимо великим кругом учнів класу, а в ньому двома меншими — учнів математичного (М) і біологічного (Б) гуртків. Очевидно, що менші круги перетинаються. їх перетин позначимо М + Б (рис. 107). Нехай у перетині буде х учнів. Тоді тільки математикою захоплюються (20-х) учнів, біологією — (11-х) учнів. Зобразимо це на кругах, пам’ятаючи, що 10 учнів не відвідують відповідні гуртки (рис. 108).
Матимемо рівняння: 2 0 - х + х + 11 - х = 35-10. Звідси х = 6.
Відповідь. 6 учнів.
Задача 3. На підлозі площею 12 м2 лежать три килими. Площа одного килима дорівнює 5 м2 , другого — 4 м2, третього — 3 м2. Кожні два килими перекриваються на площі 1,5 м2, до того ж 0,5 м2 з цих півтора квадратних метри припадає на ділянку підлоги, де перекриваються всі три килими. Яка площа підлоги: 1) невкрита килимами; 2) вкрита тільки першим килимом?
Розв’язання. Позначимо кругами підлогу і килими. Далі використаємо рис. 109.
Відповідь. 1) 4 м2; 2) 2,5 м2.
Задача 4. У школі 44 семикласники. Із них 16 грають у баскетбол, 17 — у волейбол, 18 — у футбол. Баскетболом і волейболом захоплюються 4 учні, баскетболом і футболом — 3, волейболом і футболом — 5 учнів. Троє учнів не грають у ці ігри. Скільки учнів захоплюються: 1) одночасно трьома видами спорту; 2) тільки одним із вказаних видів спорту?
Розв’язання. Міркуючи так само, як у розв’язанні задачі 2, виконуємо відповідне зображення за допомогою кругів Ейлера (рис. 110).
Ураховуючи, що баскетболом захоплюються 16 учнів, матимемо рівняння:
16 + 18 - ( 8 - х) + (5- х)+17 - ( 9 - х ) = 44-3.
Звідси х = 2.
Отже, одночасно захоплюються трьома видами спорту 2 учні. Тоді, тільки баскетболом захоплюються 11 учнів, волейболом — 10 і футболом — 12 учнів. Тому тільки одним видом спорту захоплюються 11 + 10 + 12 = 33 учні.
Відповідь. 1) 2 учні; 2) 33 учнів.
Задача 5. Скільки дітей у сім’ї, якщо 7 з них люблять тістечка, 6 — морозиво, 5 — цукерки, 4 — тістечка і морозиво, 3 — тістечка і цукерки, 2 — морозиво і цукерки, а 1 любить і тістечка, і морозиво і цукерки?
Розв’язання. Позначимо кругами дітей відповідно до їх уподобань: Т, М і Ц, як показано на рис. 111.
Залишається додати всі позначені числа.
Відповідь. 10 дітей.
Задача 6. На полиці стояло 26 магічних книжок, які було прочитано. З них 4 прочитав і Гаррі Поттер, і Рон. Герміона прочитала 7 книжок, які не читав ні Гаррі, ні Рон, і 2 книжки, які читав Гаррі, Всього Гаррі Поттер прочитав 11 книжок. Скільки книжок прочитав Рон?
Розв’язання. Враховуючи умову задачі, виконаємо графічну ілюстрацію (рис. 112).
Відповідь. 8 книжок.
