Алгебраїчний метод розв'язування задач

Теоретичні відомості. Між довжинами відрізків, які утворюють ту чи іншу фігуру, можна встановити деякі числові залежності. Ті з них, що не залежать від вибору одиниці довжини, називають метричними співвідношеннями. Кожне з таких співвідношень можна записати як , де а, b, с, ... — довжини деяких відрізків, х — шуканий відрізок.

Суть алгебраїчного методу розв’язування задач на побудову полягає в тому, що розв’язання задачі зводять до побудови відрізка (чи кількох відрізків), заданого формулою.

За допомогою циркуля та лінійки можна побудувати тільки такі відрізки, довжини яких можна виразити через довжини даних відрізків за допомогою скінченної кількості дій додавання, віднімання, множення, ділення та добування квадратного кореня.

Розглянемо, які найпростіші побудови відрізків, заданих формулами можна виконати.

Нехай а, b і с дані відрізки. За допомогою циркуля та лінійки можна виконати такі найпростіші побудови:

1) х = а + b; х = а - b, а>b;

2) х = па; х = -а , п — натуральне число;

3) - побудова четвертого відрізка, пропорційного трьом даним відрізкам;

4) — побудова середнього геометричного двох даних відрізків;

5)

Побудова суми та різниці двох відрізків очевидна, як і побудова відрізка, який у п разів (п — натуральне число) більший за даний.

Побудова відрізка , п — натуральне число, виконується за допомогою теореми Фалеса. Покажемо виконання побудови на конкретномy прикладі.

Приклад 1. Поділіть заданий відрізок на 5 частин.

Отже, необхідно побудувати відрізок х, де а — заданий відрізок.

Побудова зображена на рис. 120.

Побудова четвертого відрізка пропорційного трьом даним відрізкам також виконується за допомогою теореми Фалеса. Її можна виконати двома способами (рис. 121,122).

Побудова середнього геометричного двох даних відрізків - - виконується на основі властивості висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, і властивості вписаного кута, що спирається на діаметр кола (рис. 123)

Побудова останніх двох відрізків відбувається на основі теореми Піфагора. У випадку необхідно побудувати прямокутний трикутник за двома катетами а та b, гіпотенуза якого і буде шуканим відрізком. У випадку будуємо прямокутний трикутник за гіпотенузою а і катетом b. Другий катет цього трикутника і буде шуканим відрізком.

Розглянемо приклади, в розв’язаннях яких акцентуватимемо увагу лише на можливість виконання побудови.

Приклад 2. Побудуйте квадрат за сумою його діагоналі та сторони.

Для побудови необхідно визначити сторону квадрата х, коли відома сума

а = d + х ,d — діагональ.

Оскільки у квадраті зі стороною х діагональ d = х², то маємо рівняння

.

Звідси,

Побудову зображено на рис. 124.

Розв’язування задач.

Задача 1. Побудуйте квадрат, площа якого вдвічі більша за площу даного прямокутника.

Розв’язання. Оскільки прямокутник задано, то відомі його сторони — відрізки а і b. Для побудови квадрата необхідно визначити його сторону - відрізок х.

З умови задачі випливає співвідношення х²= 2ab.

Звідси . Отже задача зводиться до побудови середнього геометричного відрізків 2а та b (або а та 2b).

Задача 2. Побудуйте пряму, паралельну до сторони даного рівностороннього трикутника, що поділяє його площу навпіл.

Розв’язання. Припустимо, що побудова виконана (рис. 125).

Задача зводиться до відшукання точки А на стороні трикутника, через яку слід провести пряму, паралельну до його основи.

Для цього слід визначити відрізок х — частину сторони трикутника, через кінець якого слід провести вказану пряму.

Оскільки

де S — площа трикутника, то матимемо рівняння

Розв’яжемо це рівняння відносно X.

або

Оскільки то

Побудова відрізка х зображена на рис. 126.

Задача 3. Побудуйте прямокутний трикутник, якщо відомі суми гіпотенузи та одного з катетів і гіпотенузи та другого з катетів.

Розв’язання. Нехай а, b i с — катети та гіпотенуза шуканого трикутника;

п = а + с ,т = b + с, п і т — відомі відрізки.

За теоремою Піфагора с² = a² + b². Враховуючи умову задачі, матимемо рівняння с² = (n - с)² + (m - с)².

Звідси Далі знаходимо один з катетів і будуємо за катетом і гіпотенузою шуканий трикутник.

Задача 4. Побудуйте прямокутник, рівновеликий даному квадрату, якщо периметр прямокутника дорівнює 2р.

Розв’язання. Оскільки квадрат задано, то відома його сторона. Нехай вона дорівнює а. Для побудови прямокутника необхідно визначити одну з його сторін; позначимо її через х.

Матимемо рівняння:

Звідси,

Очевидно, що одне зі значень х — одна сторона прямокутника, друге - друга сторона.

Задачі для самостійного розв’язування.

1. Побудуйте квадрат, площа якого вдвічі менша за площу даного прямокутника.

2. Побудуйте пряму, паралельну стороні рівностороннього трикутника, що поділяє його площу у відношенні 1:2, починаючи від вершини.

3. Побудуйте прямокутний трикутник, площа якого дорівнює половині площі даного квадрата, якщо відома сума його катетів.

4. Перетворіть квадрат у рівновеликий прямокутник, якщо відома різниця сторін прямокутника.