Остання цифра числа

Задача 13. Якою цифрою закінчується сума всіх непарних чисел, які входять до першої тисячі? Знайдіть цю суму.

Розв’язання. Непарних чисел у першій тисячі – 500. Об’єднуємо їх у пари з однаковими сумами, що дорівнюють 1000. Отримаємо 250 пар. Отже, сума буде закінчуватися нулем.

1 + 3 + 5 + … + 995 + 997 + 999 = (1 + 999) + (3 + 997) + (5 + 995) + …+ (499 +501) =1000 ∙ 250 = 250000.

Задача 14. Якою цифрою закінчується сума всіх трицифрових чисел?

Розв’язання.

100 + 101 + 102 + 103 + … + 997 + 998 + 999 = (101 + 999) + (102 + 998) + (103 + 997) + … + (549 + 551) + (100 + 550).

Кожна сума у дужках закінчується нулем, тому сума усіх трицифрових чисел також закінчується нулем.

Задача 15. Якою цифрою закінчується кожна із сум:

1. 21 ∙ 22 ∙ 23 ∙24 + 26 ∙27 ∙28 ∙29;

2. 31 ∙ 32 ∙ 33 ∙ 34 ∙ 35 + 31 ∙ 33 ∙ 35 ∙37 ∙ 39;

3. 57 ∙ 75 + 65 ∙ 56 + 75 ∙ 57 + 85 ∙ 58 + 95 ∙ 59?

Розв’язання. 1) Помноживши тільки одиниці, отримуємо, що кожен з добутків закінчується цифрою 4, тому вся сума закінчується цифрою 8.

2. Перший добуток закінчується цифрою 0, а другий - 5, тому сума закінчуватиметься цифрою 5.

3. Перший, третій і п’ятий добутки закінчуються цифрою 5, а другий і четвертий - 0, тому сума закінчуватиметься цифрою 5.

Задача 16. Якою цифрою закінчується кожна з різниць:

1. 61 ∙ 63 ∙ 67 – 57 ∙ 59 ∙ 61 ∙ 62;

2. 91 ∙ 92 ∙ 93 ∙ 94 ∙ 95 – 91 ∙ 92 ∙ 93 ∙ 94 ∙95?

Розв’язання. 1) Помноживши тільки одиниці, отримуємо, що перший добуток закінчується цифрою 5, а другий - 6. Тому різниця закінчується цифрою 9.

2)Кожен із добутків закінчується цифрою 0, тому й їхня різниця теж закінчується цифрою 0.

Задача 17. Якою цифрою закінчується добуток усіх натуральних чисел від 1 до 41; від 1 до 53 тощо?

Розв’язання. Остання цифра кожного з добутків – 0, бо серед множників є числа, що закінчуються нулем (10, 20 та ін.).

Задача 18. Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел від 1 до 25?

Розв’язання. Визначимо пари множників. Добутки яких закінчуються нулями. Маємо: 20 ∙ 5 – два нулі, 4 ∙ 25 – два нулі, 10 – один нуль, 15 ∙ 6 – один нуль. Отже, всього 6 нулів.

Задача 19. Якою цифрою закінчується добуток чисел від - 10 до 10?

Розв’язання. Добуток дорівнює нулю, оскільки серед множників є цифра 0.

Задача 20. Якою цифрою закінчується сума квадратів усіх натуральних чисел від 1 до 99: 1² + 2² + 3² +…+99²?

Розв’язання. Сума квадратів чисел кожного десятка закінчується однією і тією самою цифрою. Усього таких десятків у сумі є 10, тому остання цифра буде 0.

Математичні ребуси. Відтворення запису арифметичних дій

Математичні ребуси – це завдання, в яких треба відновити записи окремих арифметичних дій або кількох послідовних дій.

Здебільшого цифри в ребусах позначені зірочками, геометричними фігурами або буквами. Кожна буква або фігура в умові означає одну цифру, а різні букви або фігури – різні цифри. У різних ребусах значення тієї чи іншої букви чи фігури можуть не збігатися.

Цифри замість зірочок

Задача 1. Відомо, що число 2*44* ділиться на 180. Знайдіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Остання зірочка – цифра 0 (інакше число 2*44* не буде ділитися на 10, а 180 на 10 ділиться). Оскільки число 180 можна подати у вигляді добутку двох взаємно простих чисел 9 і 20, то число 2*440 повинно ділитися на 9. Це можливо за умови, коли цифра тисяч дорівнює 8 (2 + 8 + 4 + 4 + 0 = 18).

Відповідь. 28 440.

Задача 2. Відомо, що число 361** ділиться на 9 і на 13. Знайдіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Оскільки числа 9 і 13 є взаємно простими, то число 361** ділиться на добуток 9 ∙ 13 = 117. Якщо поділити 361** на 117, то перші дві цифри частки будуть 3 і 0 (361 : 117 = 3 (остача 10) і 10* < 117. Отже, 10** ділиться на 117. 117 ∙ 9 = 1053.

Відповідь. 36 153.

Задача 3. Відомо, що число *7*8*9 ділиться на 7, 11 і 13. Знайдіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Числа 7, 11 і 13 попарно взаємно прості. Отже, шукане число *7*8*9 ділиться на 7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001. На 1001 діляться числа виду Тому шуканим числом буде число 879 879.

Відповідь. 879 879.

Задача 4. Знайдіть доданки і суму,

ОСМ. Крок 1. Перший доданок закінчується цифрою 9, оскільки 9 + 2 = 11, а за умовою остання цифра суми 1.

Крок 2. Друга цифра другого доданку 5.

Крок 3. Перша цифра другого доданку 9, оскільки після додавання до двоцифрового числа трицифрового утворилося чотирицифрове число.

Відповідь. 49 + 952 = 1001.

Задача 5. Відновіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Оскільки обидва проміжні доданки двоцифрові числа, то другий множник може дорівнювати тільки числу 11. Знаючи, що остання цифра добутку 6, визначаємо останню цифру першого множника і відновлюємо всі цифри.

Відповідь. 66 ∙ 11 = 726.

Задача 6. Відновіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Крок 1. Перша цифра частки - 5, оскільки тільки добуток чисел 7 та 5 закінчується цифрою 5. Аналогічно знаходимо, що друга цифра частки – 3.

Крок 2. Визначаємо першу цифру дільника. За умовою число, яке є результатом добутку чисел 53 і *7, має бути трицифровим, тому цифра 1 не підходить.

Якщо перша цифра дільника 1, то 17 ∙ 5 = 85. Число 85 не є трицифровим, тому цифра 1 не підходить.

Якщо перша цифра дільника 2, то 27 ∙ 5 = 135 – три цифрове, тому цифра 2 може підійти.

Якщо перша цифра дільника 3, то 37 ∙ 5 = 165. Це число трицифрове, але більше за 14*.

Отже, дільником є число 27. Відновлюємо решту цифр.

Відповідь.

Задача 7. Відновіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. У другого проміжного доданка перші дві цифри 1 і 2, тому цифра сотень першого множника – 3. Оскільки перша цифра першого проміжного доданка 3, то остання цифра другого множника – 1 і т. д.

Відповідь. або

Задача 8. Відновіть цифри, які позначено зірочками. (У цих завданнях можна запропонувати учням підказку та поставити їм завдання пояснити, на підставі яких міркувань було знайдено цифри у підказці.)

1. Підказка

2. Підказка

3. Підказка

ОСМ. 3) Оскільки остання цифра добутку 0 і остання цифра другого множника 2, то перший множник закінчується цифрою 5. Цифра десятків третього проміжного доданку – 4, бо 15∙ 3 = 45. Поділивши третій проміжний доданок на 3, знаходимо перший множник і т. д.

Відповідь.

1. 2) 3)

Задача 9. Відновіть цифри, позначені зірочками.

ОСМ. Проміжний результат отримаємо, врахувавши, що перша цифра у частці дорівнює 1. Крім того, у результаті другого множення числа 325 на деяке число отримали чотирицифрове число, у якого цифра сотень – 9. Це можливо лише, коли число 325 множили на 6: 325 ∙ 6 = 1950.

Далі відновлюємо решту цифр.

Відповідь.

Задача 10. Розшифруйте рівність * * ∙ * = * *, якщо всі п’ять цифр різні та непарні.

ОСМ. Крок 1. Другий множник не може бути 1 чи 5, бо у цьому випадку в добутку повторяться цифри першого множника чи цифра 5 (* * ∙ 5 = * 5). Аналогічно визначаємо, що перший множник не може закінчуватися цифрами 5 і 1.

Крок 2. Оскільки добутком є двоцифрове число, то перша цифра першого множника може бути лише 1 (якщо припустити, що перша цифра 3, то другий множник повинен дорівнювати 7 або 9 і у добутку матимемо трицифрове число).

Крок 3. Перший множник - це одне з чисел 13, 17 чи 19.

Якщо перший множник 13, то другий множник 7 чи 9. Перевіряємо: 17 ∙ 3 = 51 – не підходить, бо цифра 1 повторилася, 13 ∙ 9 > 100. Отже, перший множник не може дорівнювати 13.

Якщо перший множник 17, то другий множник 3 чи 9. Перевіряємо: 17 ∙ 3 = 57 – не підходить, бо цифра 1 повторилася; 17 ∙ 9 > 100. Отже, перший множник не може дорівнювати 17.

Якщо перший множник 19, то другий множник 3 чи 7. Перевіряємо: 19 ∙ 3 = 57 – підходить, а 19 ∙ 7 > 100.

Відповідь. 19 ∙ 3 = 57.

Задача 11. Розшифруйте рівність * * + * * * = * * * *, якщо відомо, що всі три числа не змінюють свого значення, якщо їх прочитати справа наліво.

ОСМ. Сума двоцифрового та трицифрового чисел є чотирицифровим числом, отже, перша його цифра 1 і число за умовою має вигляд 1**1 (середні цифри однакові). Другий доданок повинен починатися цифрою 9 і за умовою має вигляд 9*9. Врахувавши, що 1**1 – 9* 9 = *2, знаходимо, що перший доданок 22.

Відповідь. 22 + 979 = 1001.

Задача 12. Розшифруйте рівність:

1. *** : 9* = **, якщо відомо, що число 9* - непарне;

2. 6** : ** = 18, якщо дільник - просте число;

3. ***1* ∙11 = *9*.

Відповідь. 1) частка 10, а дільник – одне з чисел 91, 93, 95, 97 чи 99;

2) 666 : 37 = 18; 3) 10 912 : 11 = 992.