Запис чисел однаковими цифрами
Задача 6. Використовуючи дужки і знаки арифметичних дій, за допомогою найменшої кількості однакових цифр (для кожної цифри зокрема) запишіть числа: 20; 25; 36; 48; 100.
Розв’язання. Як зразок подамо можливе розв’язання для числа 48.
48 = (11 + 1)(1 + 1 + 1 +1) – використано сім цифр 1;
48 = (22 + 2) ∙ 2 – використано чотири цифри 2;
48 = 3 ∙ 33 – 33 – використано п’ять цифр 3;
48 = 44 + 4 – використано три цифри 4;
48 = 5 ∙ 5 – 5 – (5 + 5): 5 – використано шість цифр 5;
48 = 6 ∙ 6 + 6 + 6 – використано чотири цифри 6;
48 = 7 ∙ 7 – 7 : 7 – використано чотири цифри 7;
48 = 8 ∙ 8 – 8 – 8 – використано чотири цифри 8;
48 = (9 ∙ 9 - 9)(9 + 9 + 9) – використано вісім цифр 9.
Задача 7. Використовуючи дужки, знаки арифметичних дій і дію піднесення до степеня, запишіть підряд якомога більше натуральних чисел за допомогою вказаної кількості певних цифр.
1, 2, 3, …, 26 за допомогою п’яти двійок.
1, 2, 3, …, 39 за допомогою п’яти трійок.
1, 2, 3, …, 22 за допомогою п’яти четвірок.
1, 2, 3, …, 17 за допомогою п’яти п’ятірок.
1, 2, 3, …, 14 за допомогою п’яти шестірок.
1, 2, 3, …, 22 за допомогою п’яти сімок.
1, 2, 3, …, 20 за допомогою п’яти вісімок.
1, 2, 3, …, 13 за допомогою п’яти дев’яток.
Розв’язання. Як зразок подамо можливе розв’язання завдання 2).
1 = 3 – 3 : 3 – 3 : 3; 2 = 3 – 33 : 33;
3 = 3 + 3 + 3 – 3 – 3; 4 = 3 + 33 : 33;
5 = 3 + 3 : 3 + 3 : 3; 6 = (3 ∙ 3 + 3 ∙ 3) : 3;
7 = (33 - 3) : 3 – 3; 8 = 3 + 3 + 3 – 3 : 3;
9 = 3 + 3 + 3 + 3 – 3; 10 = 3 + 3 + 3 + 3 : 3;
11 = 3 ∙3 + (3 + 3) : 3; 12 = 33: 3 + 3 : 3;
13 = (33 +3 +3) : 3; 14 = (33 + 3 ∙ 3) : 3;
15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3; 16 = 33 – 33 : 3;
17 = 33 : 3 + 3 + 3; 18 = 3 ∙ 3 + 3 + 3;
19 = (3 + 3) ∙ 3 + 3 : 3; 20 = 33 : 3 + 3 ∙3;
21 = 3 ∙ 3 ∙ 3 – 3 – 3; 22 = (33 + 33) : 3;
23 = 33 - 3 – 3 : 3; 24 = 33 – 3 – 3 – 3;
25 = 33 – (3 + 3) : 3; 26 = 3 ∙ 3 ∙ 3 – 3 : 3;
27 = 3 ∙ 3 ∙ 3 + 3 – 3; 28 = 3 ∙ 3 ∙ 3 + 3 : 3;
29 = 33 – 3 – 3 : 3; 30 = 33 + 3 – 3 – 3;
31 = 33 – (3 + 3) : 3; 32 = 33 – (3 : 3)3;
33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 + 3 +3; 34 = 33 + (3 : 3)3;
35 = 33 + (3 + 3) : 3; 36 = 3 ∙ 3 ∙ 3 + 3 ∙ 3;
37 = 33 + 3 + 3 : 3; 38 = 33 + 33 : 3;
39 = 33 + 3 ∙ 3 – 3.
Можливі й інші варіанти представлення даних чисел за допомогою п’яти трійок.
Задача 7. Запишіть якомога більше послідовних чисел, починаючи з числа 0, за допомогою:
трьох однакових цифр (одиниць, двійок, трійок і т. д.);
чотирьох однакових цифр;
шести однакових цифр.
Зауваження. Завдання такого виду можна пропонувати й учням старших класів під час вивчення арифметичного кореня та його властивостей, цілої частини числа, факторіала, логарифма числа.
Наведемо деякі розв’язки, які можуть запропонувати учні 5 – 6-х класів та старшокласники.
Розв’язання. 1) Використовуючи три п’ятірки, отримаємо:
0
= (5 - 5) : 5 або
1
= (5 : 5)5
або 1 = 55
– 5
або
2
= (5 + 5) : 5 або
де
-
ціла частина числа а;
3
=
4
= 5 – (5 : 5) або
5
= 5 + 5 – 5 або
6
= 5 + 5 : 5 або 6 =
8
=
9
= 5 +
10
=
або
55 : 5 або 11 =
.
2)Використовуючи чотири двійки, отримаємо:
0 = 22 – 22 або 0 = 2 + 2 – 2 – 2 або 0 = 2 ∙ 2 - 2∙2 або 0 = 2 : 2 – 2 : 2;
1 = 22 : 22 або 1 = (2 + 2)(2 + 2) або 1 = (2 + 2) : (2 + 2) або 1 = (2 ∙2) (2 ∙2) або 1 = 222-2 або 1 = 22 : 22;
2 = (2 : 2) + (2 : 2);
3 = (2 + 2) – (2 : 2) або 3 = 22 – (2 : 2);
4 = 2 ∙ 2 + 2 – 2 або 4 = 2 + 2 + 2 – 2;
5 = 2 ∙ 2 + 2 : 2 або 5 = 2 + 2 + 2 : 2;
6 = (2 + 2) ∙ 2 – 2 або 6 = (2 + 2)! : (2 ∙ 2) або 6 = (2 +2 – 2 : 2)! і т. д
Задача 8. Використовуючи у кожному випадку по одному разу цифри 1, 3, 5, 7, 9, за допомогою знаків арифметичних дій, дужок і дії піднесення до степеня запишіть натуральні числа від 1 до 100.
Розв’язання. 1 = (9 - 7) : (5 - 3) : 1 = (9 – (3 + 5))17;
2 = (9 + 7) : (5 + 3) : 1і т. д. Можливі й інші варіанти.
Задача 9. Використовуючи в кожному випадку по одному разу цифри 0, 2, 4, 6, 8, за допомогою знаків арифметичних дій, дужок та дії піднесення до степеня запишіть натуральні числа від 1 до 100.
Розв’язання. 1 = (2 + 8) : (4 + 6) + 0 = (8 – 6): (4 - 2) +0;
2 = 6 : (24 : 8) – 0; 3 = 20 : 4 – (8 - 6) і т. д. Можливі й інші варіанти.
Задача 10. Використовуючи всі цифри по одному разу, складіть п’ять чисел, що відносяться, як 1 : 2 : 3 : 4 : 5.
Розв’язання. 18 : 36 : 54 : 72 : 90 = 1 : 2 : 3 : 4 : 5.
Задача 11. Використовуючи всі цифри по одному разу, складіть три числа, що відносяться, як 1 : 2 : 3.
Розв’язання. 192 : 384 : 576 = 219 : 438 : 657 = 273 : 546 : 819 = 327 : 654 : 981 = 1 : 2 : 3.
Задача 12. Використовуючи всі значущі цифри по одному разу, складіть три числа, кожне з яких є точним квадратом натурального числа.
Розв’язання. 361, 529, 784 або 81, 576, 3249. Можливі й інші варіанти.