Задачі на зважування на шалькових терезах з гирями

Задача 24. У ящику 8 кг крупи. Потрібно зважити 1 кг 800 г крупи за допомогою шалькових терезів і двох гир масою по 400 г кожна. Чи можна це зробити двома зважуваннями?

ОСМ. На першу шальку покладемо обидві гирі (800 г), а 8 кг крупи насиплемо на першу і на другу шальки так, щоб терези були в рівновазі. Тоді на першій шальці крупи буде 3 кг 600 г. Розважимо цю крупу порівну під час другого зважування.

Зважування	Перша шалька	Друга шалька
1	2 гирі по 400 г і 3 кг 600 г крупи	4 кг 400 г крупи
2	1 кг 800 г крупи	1 кг 800 г крупи

Задача 25. Як за допомогою шалькових терезів і гирі масою 1 г зважити 1 кг цукру за найменшу кількість зважувань?

ОСМ. Позначимо буквами Ш1 і Ш2 – шальки терезів, Г – гирю масою 1 г.

Шальки	Зважування
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ш 1	1	2	4	8	16	31	63	125	250	500
Ш 2	Г	Г+1	Г+3	Г+7	Г+15	31	Г+62	125	250	500

Задача 26. Як зважити вантаж на талькових терезах, якщо є скільки завгодно правильних гир, але терези неправильні?

ОСМ. На одну шальку покладемо вантаж, а на іншу стільки гир, щоб шальки опинилися в рівновазі. Потім знімаємо вантаж і замість нього на шальку кладемо стільки гир, щоб знову терези опинилися в рівновазі. Останній набір гир і дасть шукану масу вантажу.

Задача 27. Як за допомогою двох зважувань на терезах, маючи одну гирю масою 5 г, можна виявити фальшиву монету (невідомо, легша вона чи важча від справжньої, маса якої 5 г), серед:

1) чотирьох монет;

2) п’яти монет?

ОСМ. 1) Позначимо монети буквами А, В, С, D. За основу міркувань беремо хід розв’язування задач 21 і 22. Спочатку на одну шальку терезів кладемо гирю масою 5 г і монету Я, а на іншу – монети В і С. Якщо шальки в рівновазі, то фальшивою є монета D. Якщо рівноваги немає, то продовжуємо зважування.

Задача 28. Якими мають бути маси чотирьох гир, щоб можна було зважити на талькових терезах будь-яке ціле число кілограмів від 1 до 40, якщо гирі можна класти на обидві шальки терезів?

ОСМ. Відповідь до задачі – це гирі масою 1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг. Умовно позначивши ці гирі буквами Г1, ГЗ, Г9, Г27 відповідно, наведемо деякі приклади зважувань.

Кількість, кг	Перша шалька	Друга шалька
2 кг	Г 3	Г 1 і 2 кг
5 кг	Г 9	Г 1 + Г 3 і 5 кг
6 кг	Г 9	Г 3 і 6 кг
11 кг	Г 9 + Г 3	Г1 і 11 кг
15 кг	Г 27	Г 9 + Г 3 і 15 кг
20 кг	Г 27 + Г 3	Г 1 + Г 9 і 20 кг
33 кг	Г 27 + Г 9	Г 3 і 33 кг

Розв’язуючи з учнями задачі на зважування, варто розглянути історичну задачу про найкращу систему мір. Ними цікавилися видатні математики різних часів – Леонардо Пізанський, Лука Пачіолі, Д.І. Менделєєв та ін.

Задача 29. При якому наборі гир, маючи їх по одній, можна зважувати різноманітні вантажі до певної найбільшої маси (маса вантажу виражається цілим числом основних одиниць маси)?

ОСМ. Задача має два варіанти розв’язання стосовно додаткових умов:

1) гирі можна класти лише на одну шальку терезів;

2) гирі можна класти на обидві шальки терезів.

Зрозуміло, що найбільший вантаж, який може бути зважений даним на­бором гир, має масу, що дорівнює сумі мас усіх гир цього набору.

Якщо розглядати першу додаткову умову, враховуючи, що гирі можна класти тільки на одну шальку терезів, то спосіб визначення найкращої системи гир ґрунтується на тому, що будь-яке ціле число можна подати у вигляді суми степенів числа 2 або степенів числа 2 і числа 1.

Справді, для деяких чисел таке подання можна знайти одразу: ,

, , 1, .

Нагадаємо таблицю степенів числа 2:

, , , , , , , , , , ,

Нехай потрібно знайти гирі для зважування вантажу масою 190 г. За таблицею визначаємо степінь числа 2, найближчий до 190 і такий, що не перевищує це число – маємо 128. Отже, перша гиря – 128 г. Знаходимо різницю . Шукаємо за таблицею найбільший степінь числа 2, що не перевищує числа 62 – це 32. Отже, наступна гиря – 32 г. Знаходимо наступну різницю і, повторюючи міркування, визначаємо, що наступною буде гиря – 16 г. Міркуючи аналогічно, далі отримуємо гирі – 8 г, 4 г і 2 г. Отже, .