2. Схема Горнера.

Для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена   на линейный двучлен x-s очень удобно использоватьсхему Горнера (иногда называют метод Горнера).

Заполняется таблица:

Полученные числа   являются коэффициентами частного от деления многочлена   на двучлен x-s, а   - остатком. То есть,

Билет 18

1.Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

Для перпендикулярности прямой a и плоскости   необходимо и достаточно, чтобынаправляющий вектор прямой a и нормальный вектор плоскости   были коллинеарны.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть   - направляющий вектор прямой a, а   - нормальный вектор плоскости  . Для перпендикулярности прямой a и плоскости   необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие коллинеарности векторов   и  :  , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

2. Теорема Виета Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена   равна его второму коэффициенту  с противоположным знаком, а произведение - свободному члену  .

В случае неприведенного квадратного уравнения   формулы Виета имеют вид:

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных     и     . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Общая формулировка теоремы Виета

Если   - корни многочлена   (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты   выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря, произведение   равно сумме всех возможных произведений из   корней.

Формулы Виета - формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни. Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603).

Если старший коэффициент многочлена  , то есть многочлен не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на   (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Билет 19

1.Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Прямоугольная система координат позволяет задавать различные линии на плоскости их уравнениями.  Уравнением линии на плоскости в прямоугольной системе координат хОу называется уравнение f(х,у)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки плоскости, не лежащей на этой линии. Пусть прямая l не параллельна оси Оу (рис.1). Обозначим точку пересечения прямой l с осью Оу буквой В(О;в), а угол между положительным направлением оси Ох и прямой l обозначим угол, отсчитываемый от оси Ох против часовой стрелки ( ), называется углом наклона прямой l к оси Ох. Выведем уравнение прямой l.  Пусть М(х,у) – произвольная точка прямой l с текущими координатами х,у. Из прямоугольного треугольника ВМN (рис.1) имеем:   (1)  Отсюда y-в=xtgφ, или у=xtgφ+в и окончательно  y=kx+в  (2)  где k=tgφ  - Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.  Уравнение (2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.  Число в – это величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. 2. Уравнение 2-й степени x2 + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной формуле   Для уравнения 3-й степени вида x3 + px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) решение даётся т. н. формулой Кардано:    Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида: f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e=0, a<>0 В уравнение четвёртой степени: Сделаем подстановку и получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»): где Корни y1, y2, y3, y4 такого уравнения равны одному из следующих выражений: в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение: Причём z1, z2, z3 — это корни кубического уравнения

Билет 20