2. Основная теорема алгебры многочленов ее следствия

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Следствие 1. Любой многочлен   степени   с комплексными коэффициентами   можно представить в виде произведения линейных двучленов:

где   — корни многочлена кратности   соответственно, причем  . Другими словами, многочлен n-й степени имеет ровно   корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Следствие 2. Если многочлены   и  , степени которых не превосходят  , имеют равные значения более чем при п различных значениях переменной  , то эти многочлены равны:  .

В самом деле, по условию многочлен   имеет более, чем   корней, хотя его степень меньше или равна  , что противоречит следствию 1 из основной теоремы алгебры. Следовательно, это многочлен нулевой степени  . Так как он имеет корни, то  . Следовательно,  , то есть  .

Это следствие позволяет рассматривать многочлен   не как формальное выражение вида (В.8), а как функцию переменной  , поскольку равенство многочленов  , определенное выше как равенство коэффициентов при одинаковых степенях  , совпадает (в силу следствия 2) с понятием равенства   двух функций при всех значениях 

Рассмотрим многочлен   с действительными коэффициентами  . Разложение (В. 13) для этого многочлена имеет вид где   — корни многочлена (могут быть комплексные).

Если комплексное число   является корнем этого многочлена, то есть

то сопряженное число   также является его корнем, т.е.  . Это вытекает из равенства  . Поскольку числа   и   не являются корнями многочлена, то он делится (без остатка) на произведение

Так как сумма   и произведение   сопряженных чисел являются действительными числами, то правая часть последнего равенства есть квадратный трехчлен с действительными коэффициентами. Причем, если  , то дискриминант этого квадратного трехчлена отрицательный.

Следствие 3. Если комплексное (но не действительное) число   — корень многочлена   с действительными коэффициентами, то сопряженное число   является его корнем той же кратности.

В самом деле, если   — корень кратности  , то для него выполняются условия (В.12)

Из условий 

следует, что   — корень той же кратности  . Следствие 4. Всякий многочлен   с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов (с отрицательными дискриминантами):

где   — действительные корни кратности  , причем  .

Следствие 5. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Многочлен четной степени с действительными коэффициентами может не иметь действительных корней (при этом в разложении (В. 14) отсутствуют линейные двучлены  ).

Билет 17

1.Условия параллельности прямой и плоскости

Определение.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема.

Если прямая a, не лежащая в плоскости  , параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости  , то прямая a параллельна плоскости  .

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Для параллельности прямой a, не лежащей в плоскости  , и плоскости   необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости  .

Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.

Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида   или параметрические уравнения прямой в пространстве вида  , а плоскости   соответствует общее уравнение плоскости  . Тогда   - направляющий вектор прямой a, а   - нормальный вектор плоскости  . Для перпендикулярности векторов   и   необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение   равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости   (a не лежит в плоскости  ) примет вид  , где  - направляющий вектор прямой a,   - нормальный вектор плоскости  .