Билет 16

1.Угол между плоскостью и прямой в пространстве

Определение.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проекцией точки М на плоскость   называется либо сама точка М, если М лежит в плоскости  , либо точка пересечения плоскости   и прямой, перпендикулярной к плоскости   и проходящей через точку М, если точка М не лежит в плоскости  .

Проекцией прямой a на плоскость   называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость  .

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a, которая пересекает плоскость   в точке M и не перпендикулярна плоскости  , и требуется найти угол   между прямой a и плоскостью  .

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторыеуравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскости  - уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть   - направляющий вектор прямой a,   - нормальный вектор плоскости  . Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости   (если известны уравнения прямой aи плоскости  , то координаты векторов   и   определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы   и   от точки пересечения прямой a и плоскости  . В зависимости от координат векторов   и   возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости.  Очевидно, если угол между векторами   и   (обозначим его  ) острый, то он дополняет искомый угол   между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть,  . Если же  , то  . Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом: Формулы приведения приводят нас к равенствам  , которые после преобразований принимают вид

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула  .Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид  .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле  .

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.