- •Введение в математический анализ. По книге Лузина «Дифференциальное исчисление». Первые 5 глав.
- •1. Число.
- •1.1. Поле рациональных чисел.
- •1.2. Рациональные и иррациональные точки.
- •1.3. Несоизмеримые отрезки.
- •1.4. Определите, к какому свойству абсолютных величин относится данный пример.
- •1.5. На нуль делить запрещается.
- •2. Величина.
- •2.1. Классификация величин.
- •2.2. Найдите приращение величины:
- •3. Функция.
- •3.1. Определите, являются ли следующие переменные зависимыми или независимыми.
- •3.2. Найдите область определения функции.
- •3.3. Классификация функций.
- •4. Предел.
- •4.1. Определите, каким способом данная переменная величина приближается к своему пределу.
- •4.2. Определите, какие из данных величин бесконечно малые или могут быть таковыми, в тех случаях, когда это возможно.
- •4.3. Задачи на основные теоремы из теории пределов.
- •4.4.Определите, какие из величин являются положительно бесконечными большими, какие—отрицательно бесконечно большими, а какие—просто бесконечными.
- •5. Непрерывность.
- •5.1. Свойства функций, непрерывных в точке.
- •5.2. Испытать непрерывность функции, заданной описанием.
- •5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •5.4. Пределы функции. Пределы в бесконечности.
- •5.5. Типы разрывов функций. Неустранимый и устранимый разрывы.
- •5.6. Кажущийся разрыв и так называемая «истинная величина» функции.
- •5.7. Натуральные логарифмы.
Введение в математический анализ. По книге Лузина «Дифференциальное исчисление». Первые 5 глав.
1. Число.
1.1. Поле рациональных чисел.
№1. Условие: в прямоугольнике ABCD с рациональными сторонами проведена диагональ AC. Внутри прямоугольника взята точка E, так что расстояния её до сторон AB и BC—рациональны. Докажите, что отрезок DE делит проведённую диагональ в целом отношении.
№2. Условие: в окружности проведены хорды AC и BD, пересекаюшиеся в точке E, причём BC=CD и длины отрезков AE, CE и DE рациональны. Прямые AB и AD пересекают касательную к окружности в точке C в точках E и F соответственно. Докажите, что отношение AE:AF—целое.
№3. Условие: на двух соседних сторонах параллелограмма ABCD—BC и CD-- выбрано по одной точке (A1 и B1 соотв.), делящих их в целом отношении; они соединены с двумя противолежащими им вершинами –A и B соответственно.
Доказать, что точка пересечения делит каждый из получившихся отрезков также в целом отношении.
1.2. Рациональные и иррациональные точки.
№4. Укажите рациональные числа a,b,c,d чтобы между числами a и b встретились иррациональные числа \sqrt{c} и \sqrt{d}, а между числами c и d встретились иррациональные числа \sqrt{a} и \sqrt{b}.
№5. Укажите два иррациональных числа, сумма которых находится между двумя простыми числами, соответствующими их подкоренным выражениям.
1.3. Несоизмеримые отрезки.
№6. В пятиугольнике ABCDE три прямых угла (один из которых—угол A) и три равных стороны, из которых только две являются соседними. Доказать, что если все стороны пятиугольника соизмеримы, то диагональ BE несоизмерима со всеми сторонами пятиугольника.
№7. Во всех ли правильных многоугольниках с числом сторон больше 5 наибольшие диагонали несоизмеримы с наименьшими?
1.4. Определите, к какому свойству абсолютных величин относится данный пример.
№8. А)Два человека шли по двум перпендикулярным прямым. Независимор от направления, в котором они шли, площадь воображаемого прямоугольника, построенных на дорогах как на основаниях, оставалась одной и той же. Б)Если бы можно было идти вниз по движущемуся эскалатору вверх, то пройденный путь был бы больше пути по обычной лестнице такой же длины. В) Вечером на улице зажигался и погасал свет в окнах домов, а окон столько же.
1.5. На нуль делить запрещается.
№9. Найдите ошибку в рассуждении: a+b=c|:a, при этом a не равно 0.=>1=(c-b)/a=>a/(c-b)=(c-b)/a=>(c-b)^2-a^2=0=>(c-b-a)(c-b+a)=0=>c-b+a=0=>a+c=b=>a+c=c-a=>a=-a
№10. Найдите ошибку в рассуждении: (a+b/c)/(a-b/c)=(b-a/c)/(b+a/c)=>(c+b/a)/(c-b/a)=(cb/a-1)/(cb/a+1) (все числа действительные).
2. Величина.
2.1. Классификация величин.
№11. А) Что можно сказать о массе прочитанных человеком книг как величине? Б)Что можно сказать о количестве информации в тексте, написанном карандашом, как величине? В)Что можно сказать об отношении расстояния между словами в книге к расстоянию между некоторыми двумя строками?
№12. А) В кувшин наливают воду. Что можно сказать о её объёме как величине? Б) Что можно сказать об отношении объёма воды, пролитой два раза при переливании из одной банки в другую, к объёму всей переливаемой воды, как величине? В) Что можно сказать о величине объёма воды в ванной после погружения в неё нескольких больших предметов?