Е) все фигуры можно составить

24. В треугольнике отмечены вершины и, кроме того, по одной точке на каждой из сторон. Сколько треугольников с вершинами в отмеченных точках можно построить?

А) 5; В) 10; С) 17; D) 20; Е) 21.

25. Разность двух четырехзначных чисел равна 7. Для каждого их этих чисел Вася вычислил сумму цифр, а потом из большей суммы вычел меньшую. Какой результат он не мог получить?

А) 2; В) 7; С) 11; D) 13; Е) 20.

Задания для олимпиады и подготовки к ней

1. Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 10 включительно?

Двумя нулями.

2. На какое число надо разделить разность наибольшего трехзначного числа и наибольшего двузначного числа, чтобы получить однозначное число?

(999 – 99) : 100 = 9.

3. Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей в 2 раза.

Если первая цифра 1, то вторая – 2 , а третья – 4, все число 124. если первая цифра 2, то вторая 4, а третья 8, все число 248. Тройка первой цифрой быть не может, так как в этом случае третья цифра должна выражаться двузначным числом, чего быть не может.

4. Запишите трехзначное число, у которого каждая последующая цифра больше предыдущей в 3 раза.

Единственным числом, удовлетворяющим условию задачи, является число 139.

5. Можно ли число 10 представить в виде суммы двух таких слагаемых, одно из которых будет в несколько раз больше другого. Сколькими способами это можно сделать?

Двумя способами: 1 и 9, 2 и 8.

6. Два десятка умножили на три десятка. Сколько десятков получилось?

20 х 30 = 600 = 60 десятков.

7. К однозначному числу приписали такую же цифру. Во сколько раз увеличилось число?

Пусть 7 однозначное число. Припишем к нему такую же цифру (7). Получим – 77. 77 : 7 = 11.

Пусть а – однозначное число. Если приписать такую же цифру, то получится двузначное число аа или 10а + а = 11а. Число увеличилось в 11 раз.

8. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 5 и 0?

500, 505, 550, 555.

6. Выписаны подряд все числа от 1 до 99. Сколько раз написана цифра 3?

В разряде единиц цифра 3 встречается 10 раз: 3, 13, … , 93. В разряде десятков цифра 3 также встречается 10 раз: 30, 31, … , 39. Всего цифра 3 встречается 20 раз.

6. Цифра десятков в обозначении двузначного числа втрое больше цифры единиц. Если эти цифры переставить, то получится число меньше данного на 36. Найдите данное число.

Рассмотрим все двузначные числа, в которых число десятков втрое больше числа единиц. Это числа 31, 62 и 93. Других чисел нет. Остается переставить цифры и найти разность чисел. Она равна 36 только в случае 62 – 26. Таким образом, данное число равно 62.

6. Сумма двух чисел равна 135. Одно из чисел оканчивается цифрой 3. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Неизвестные цифры числа обозначим как а и в. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:

а в 3

а в

1 3 5

Получаем а = 1, тогда, в = 2, значит, были задуманы числа 123 и 12.

6. Какое двузначное число уменьшится в 15 раз от зачеркивания последней цифры?

Если после зачеркивания получилось число 1, то число, в 15 раз его больше, равно 15; число десятков двузначного числа совпадает с получившимся однозначным числом. Если бы после зачеркивания получилось число 2, то число, в 15 раз его больше, равно 30, эта пара чисел не подходит. Так же не получится и в случаях, когда после зачеркивания останется любая другая цифра, отличная от 1.Можно было рассуждать и иначе. Выпишем все двузначные числа, которые делятся на 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90. Разделим каждое из них на 15 и посмотрим, в каком случае частное будет равно числу десятков. В итоге получаем, что единственным таким числом является число 15.

6. Внимательно посмотрите, как построен каждый ряд чисел. Назовите еще по 3 числа: а) 3, 4, 7, 12, 19, 28, … ; б) 1, 3, 7, 13, 21, 31, … ; в) 1, 4, 9, 16, … ; г) 25, 24, 22, 19, 15, … ; д) 6, 11, 10, 15, 14, … .

а) Разности между соседними числами образуют ряд нечетных чисел 1, 3, 5, … ; б) разности между соседними числами образуют рад четных чисел 2, 4, 6, …; в) 1 · 1, 2 · 2, 3 · 3, …; г) числа уменьшаются на 1, на 2, на 3 и т.д.; д) число увеличивается на 5, затем уменьшается на 1.

14. Число яблок в корзине – двузначное. Яблоки можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?

30 яблок.

15. Из следующих неверных равенств надо сделать верные равенства, переставляя только одну палочку: а) VI – IV = IX; б) VI – IV = XI; в) VI + IV = XII; г) X – IV = 1; д) VII = V – I.

а) V + IV = IX; б) VI + V = XI; в) VII + V = XII; VI + VI = XII; г) X – IX = I; д) VI = V + I.

16. Что это за число, на которое можно умножать и делить, но при этом множитель и делимое не изменяются?

1.

17. Что больше: сумма всех цифр или их произведение?

Сумма всех цифр больше, так как произведение всех цифр равно 0.

18. Что больше: сумма 9 слагаемых, каждое из которых равно 12 или сумма 12 слагаемых, каждое из которых равно 9?

Суммы одинаковые.

19. Степа Смекалкин задумал число. Потом он умножил это число на 19 и к произведению прибавил 19. У него получилось 19. Какое число он задумал?

Число 0.

20. Какое число при делении на 6, 9, 13 дает в частном нуль?

Это число 0.

21. Какие три равных числа при умножении дают единицу?

1 · 1 · 1 = 1.

22. В следующих равенствах поставьте скобки, чтобы получить верные равенства: а) 10 · 2 + 3 = 50; б) 19 · 2 + 3 = 95.

а) 10 · (2 + 3) = 50; б) 19 · (2 + 3) = 95.

23. Между цифрами 1, 2, 3, 4, 5 поставь знаки действий и скобки так, чтобы получилось: а) число 40; б) число 1; в) число 5; г) число 54; д) число 41; е) число 168.

а) (12 : 3 + 4) · 5 = 40; б) (1 + 23) : 4 – 5 = 1, (12 – 3) : (4 + 5) = 1; в) 1 + 2 + 3 + 4 – 5 = 5; г) 12 – 3 + 45 = 54; д) 12 + 34 – 5 = 41; е) 123 + 45 = 168.

24. Между цифрами 1 2 3 4 5 6 7 8 9 поставь знаки сложения так, чтобы получилось 99. Найди три способа решения.

1) 12 + 3 + 4 + 56 + 7 + 8 + 9 = 99; 2) 1 + 23 + 45 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99; 3) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 99.

25. Учитель записал на доске 7 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 – и попросил учеников, используя все данные цифры, записать четырьмя слагаемыми сумму, равную 100, причем каждую цифру употреблять только один раз. Например: 6 + 12 + 35 + 47 = 100.

45 + 16 + 37 + 2 = 100; 17 + 35 + 46 + 2 = 100; 47 + 36 + 15 + 2 = 100 и др.

26. Сумма трех чисел равна их произведению. Эти числа различные и однозначные. Найди эти числа.

1 + 2 + 3 = 1 · 2 · 3.

27. Сумма и произведение четырех чисел (не обязательно различных) равны 8. Что это за числа?

1 + 1 + 2 + 4 = 1 · 1 · 2 · 4.

28. Как можно записать число 1000: а) тремя десятками; б) пятью девятками; в) восьмью восьмерками; г) шестью тройками; д) семью единицами?

а) 10 · 10 · 10 = 1000; б) 9 : 9 + 999 = 1000; в) 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000; г) 3 : 3 + 333 ·3 = 1000.); д) 1111 – 111 = 1000.

29. Имеется 6 палочек длиной по 1 см, 3 палочки – по 2 см, 6 палочек – по 3 см, 5 палочек – по 4 см. Можно ли из этого набора составить квадрат, используя все палочки, не ломая их и не накладывая одну на другую?

Нет. Сумма длин всех палочек равна 50, а у квадрата все стороны равны, поэтому периметр квадрата должен делиться на 4.

30. Как с помощью гирь в 1, 3, и 9 кг определить массу любого груза в пределах от 1 до 13 кг?

13 = 1 + 2 + 9; 12 = 3 + 9; 11 = 9 + 3 – 1; 10 = 9 + 1; 8 = 9 – 1; 7 = 9 + 1 - 3; 6 = 9 – 3; 5 = 9 – 1 – 3; 4 = 1 + 3; 2 = 3 – 1.

31. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?

1) Взвешиваем 100 г крупы; 2) гиря + 100 г крупы = 200 г; 3) гиря + 100 г крупы + 200 г крупы = 400 г; 100 + 200 + 400 = 700 г.

32. Имеются 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 200 г и 50 г. Как отвесить 2 кг крупы за 3 взвешивания?

1) развешиваем 9 кг по 4 кг 500 г; 2) развешиваем 4 кг 500 г по 2 кг 250 г; 3) убираем 250 г из 2 кг 250 г.

33. Имеется 16 кг муки и несколько одинаковых по массе пустых мешков. Имеются весы, но нет гирь. Как, не имея гирь, взвесить 8 кг, 4 кг, 12 кг, 14 кг?

Так как гирь у нас нет, то мы можем развешивать муку на две равные части.

16

8 8

4 4

2 2

8 + 4 = 12 кг;

12 + 2 = 14 кг.

34. Как при помощи весов без гирь разделить 24 кг пряников на две части – 9 кг и 15 кг?

24

12. 12

6 6

3 3

12 + 3 = 15 кг;

6 + 3 = 9 кг.

35. – Который сейчас час? – спросил Саша у отца.

– А ты узнай сам; если пройдет столько часов, сколько прошло от начала суток и еще 2 часа, то кончатся сутки. Который час был тогда? 2

П ри решении задачи будем использовать графическую модель:

Запишем решение в виде выражения: (24 – 2) : 2 = 11 часов.

36. Сколько полных оборотов делает часовая стрелка: а) за неделю; б) за сентябрь месяц?

а) За неделю часовая стрелка сделает 14 полных оборотов; б) за сентябрь, т.е. за 30 дней – 60 оборотов.

37. Сколько времени пройдет, когда: а) часовая стрелка сделает 100 полных оборотов по циферблату; б) минутная стрелка сделает 96 полных оборотов?

а) 100 : 2 = 50 суток; б) 96 : 24 = 4 суток.

38. Может ли в одном месяце быть 5 воскресений?

Да, может. Если в месяце 31 день, то в нем 4 полных недели и еще 3 дня. Одним из этих дней может быть воскресенье.

38. Сколько всего воскресений может быть в году?

В году 365 дней. Узнаем, сколько это полных недель: 365 : 7 = 52 (ост. 1). Получаем, что в году 52 полные недели, и еще остается один день или два (если год високосный) дня. Этим днем может быть воскресенье, тогда в году будет 53 воскресенья.

38. У ежика было 3 целых яблока, 10 половинок, 8 четвертинок. Сколько это яблок?

10 яблок.

38. Один мальчик беседовал в парке со старушкой:

- Бабушка, сколько лет вашему внуку?

- Ему, милый, столько месяцев, сколько мне лет.

- Сколько же вам лет?

- Мне с внуком вместе 91 год. А уж, сколько лет внуку, сосчитай сам.

Сколько лет внуку?

Так как внуку столько месяцев, сколько лет бабушке, то делаем вывод, что бабушка старше внука в 12 раз. Примем за одну часть возраст внука, тогда возраст бабушки составит 12 таких частей. Представим решение задачи по действиям: 1) 1 + 12 = 13 (частей) – составляет возраст бабушки и внука; 2) 91 : 13 = 7 (лет) – внуку; 3) 7 · 12 = 84 (года) – бабушке. При решении можно воспользоваться и схематическим моделированием условия задачи.

42. У Пети две коробочки. В одну из них он спрятал новогодний подарок для папы. На первой коробке он написал: «Подарок здесь», на второй – «В этой коробке нет подарка». Папе он объяснил, что в одной из коробок лежит подарок, а надписи либо обе истинные, либо обе ложные. В какой коробке подарок?

Надписи не могут быть обе верными, так как это бы означало, что в коробках подарка нет, что противоречило бы условию. Значит, надписи ложные; тогда делаем вывод, что подарка в первой коробке нет, а значит, он во второй коробке.

43. У Маши разорвалась цепочка на 4 части, которые состояли из 8, 6, 2 и 18 звеньев. Желая ее восстановить, она обратилась в мастерскую. Мастер согласился отремонтировать цепочку, но предупредил, что за разъем и соединение одного звена мастерская берет 5 руб. У Маши было только 12 руб. Однако она подумала и попросила мастера соединить все 4 куска цепочки, но так, чтобы у Маши хватило денег расплатиться за работу. Как соединил звенья мастер?

Надо разъединить кусок из 2 звеньев и этими звеньями соединить остальные 3 кусочка цепочки.

44. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить в одну цепь. Кузнец выполнил заказ, раскрыв только 3 звена. Как он это сделал?

Надо раскрыть 3 звена одного обрывка цепи и этими тремя звеньями соединить оставшиеся 4 обрывка.

45. Я задумал число, прибавил к нему 2, умножил сумму на 2, произведение разделил на 3 и отнял от результата 4. Получилось 8. Какое число я задумал?

Задумано число 16. Необходимо выполнить действия в обратном порядке: (8 + 4) · 3 : 2 – 2 = 16 то есть решить уравнение (х + 2) · 2 : 3 – 4 = 8 методом решения с конца.

46. На расстоянии 5 м друг от друга в один ряд посажено 10 молодых деревьев. Найдите расстояние между крайними деревьями.

Так как деревьев 10, то промежутков между ними будет 9. Один промежуток составляет 5 м, значит между крайними деревьями будет 45 м.

47.Весной на пришкольном участке одна группа юннатов, измеряя длину своего участка, поставили 7 колышков через каждые 2 м, а другая, измеряя свой участок, поставили 13 колышков через каждый метр. У какой группы юннатов участок оказался длиннее?

Между семью колышками первой группы будет 6 промежутков, каждый из которых равен 2 м, т.е. расстояние от первого до последнего колышка будет равно 12 м. Между 13 колышками второй группы будет 12 промежутков, а так как расстояние между соседними колышками равно одному метру, то между крайними колышками будет также 12 м т.е. у обеих групп участки одинаковой длины.

48. Шнур длиной 24 м разрезали на равные части, сделав 3 разреза. Какова длина каждой части?

Если сделаем 3 разреза, то получим 4 части, каждая из которых равна 24 : 4 = 6 (м).

49. Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на третьем этаже. На каком этаже живет Петя?

Коля живет на третьем этаже, значит, ему, поднимаясь к себе, надо пройти 2 пролета, тогда Пете надо пройти 2 · 4 = 8 пролетов. Петя живет на 9 этаже.

50. Во сколько раз лестница на 4-й этаж школы длиннее лестницы на 2-й этаж?

В 3 раза.

51. Ваня с папой были в тире. Ваня выстрелил 5 раз. Затем папа разрешил за каждые 2 попадания в цель произвести еще 1 выстрел. Всего Ваня сделал 8 выстрелов. Сколько раз он попал в цель?

Ваня сделал 8 – 5 = 3 дополнительных выстрела. Так как дополнительный выстрел можно было сделать за 2 попадания, то это означает, что попаданий было всего 6.

52. Два брата собирали грибы. У них не было корзинки, и они нанизали на одну веточку 15 грибов, на другую – 27, на третью 18 и на четвертую – 12. По дороге домой они повстречали сестру, которая попросила их поделиться грибами, и тогда у каждого из братьев осталось по одинаковому числу грибов. Как они поделили грибы, не снимая их с веточек?

Всего братья собрали 15 + 27 + 18 + 12 = 72 гриба. Если сестре отдать 15 или 27 грибов, то останется нечетное число грибов, и разделить их поровну между братьями мы не сможем. Если они отдали сестре 18 грибов. То у них останется 72 – 18 = 54 гриба, т.е. по 27 грибов каждому. Если бы они отдали сестре 12 грибов, то останется 60 грибов, и их братья не смогли бы разделить поровну, не снимая их с веточек.

53. В книжном магазине надо упаковать несколько книг. Их меньше ста. Если их связывать по 3, по 4 или по 5, то всякий раз будет оставаться 1 книга. Сколько книг надо упаковать?

Если одну книгу убрать, то число книг будет делиться на 3, на 4 и на 5. Наименьшее число, обладающее таким свойством – это число 60. Значит, надо упаковать 61 книгу, 61 = 3 · 4 · 5 + 1.

54. Червяк ползет по стволу липы. Ночью он поднимается на 4 м вверх, а днем спускается на 2 м вниз. На восьмую ночь червяк достиг вершины дерева. Как высока липа?

За первые 7 суток червяк поднимается на 14 м, а за восьмую ночь – еще на 4 м. Всего он поднимается на 18 м.

55. Некто делал 3 шага вперед и 2 шага назад: так он продвинулся вперед на 20 шагов. Сколько всего шагов он сделал?

Не считая последние три шага, он должен продвинуться на 17 шагов. Но, чтобы ему продвинуться на 1 шаг вперед, ему необходимо сделать 5 шагов. Получается, что всего он сделал 5 · 17 + 3 = 88 (шагов).

56. Было 5 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 3 части. Получилось 11 кусочков. Сколько листов бумаги разрезали?

Прежде всего, заметим, что при разрезании кусочка бумаги на 3 части число листочков увеличивается на 2, так как был 1 листок, а стало 3. Узнаем, на сколько листочков стало больше: 11 – 5 = 6 (листочков). Узнаем, сколько листочков разрезали: 6 : 2 = 3 (листочка). Задачу также можно решить, выполнив рисунок: надо нарисовать 5 листочков и постепенно разрезать каждый на 3 части, считая каждый раз, сколько листочков получилось.

57. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 мин, а Карлсон – в два раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?

1) 600 : 6 = 100 (г) – варенья съедает Малыш за 1 минуту; 2) 100 · 2 = 200 (г) – варенья съедает Карлсон за 1 мин; 3) 100 + 200 = 300 (г) – варенья съедает за минуту Малыш и Карлсон вместе; 4) 600 : 300 = 2 (мин) – за такое время они съедят варенье вместе.

58. На площадке играли 7 девочек и 2 мальчика. Сумма лет всех играющих составила 80. Все девочки были одногодки. Одного возраста были и мальчики. Когда в одну группу объединились 5 девочек, а в другую все остальные, то оказалось, что суммы числа лет играющих в одной и другой группах стали равными. Какого возраста были играющие?

1) 80 : 2 = 40 (лет) – сумма лет пяти девочек;

2) 40 : 5 = 8 (лет) – возраст одной девочки;

3) 8 · 7 = 56 (лет) – сумма лет всех девочек;

4) 80 – 56 = 24 (года) – сумма лет всех мальчиков;

5) 24 : 2 = 12 (лет) – возраст каждого мальчика.

59. Группа туристов из 80 человек отправилась в путешествие за границу. Из них 12 человек не владели иностранными языками, 34 человека умели говорить по-английски, а 49 знали французский язык. Сколько человек из этих туристов знали 2 иностранных языка?

Узнаем вначале, сколько человек владели иностранными языками: 80 – 12 = 68 (человек). Если мы сложим число человек, умеющих говорить по-английски и умеющих говорить по-французски, то людей, владеющих сразу двумя языками, мы посчитаем два раза. Поэтому, чтобы найти число человек, владеющих двумя языками, надо из получившегося числа вычесть число людей, владеющих языками: (34 + 49) – 68 = 15. Таким образом, двумя языками владели 15 человек.

60. Нужно рассадить 14 кустов роз вокруг квадратной клумбы так, чтобы на каждой стороне их было поровну.

Два куста из 14 сажаем по углам, а остальные 12 рассаживаем по три с каждой стороны.

61. Как расставить 9 стульев у четырех стен комнаты, чтобы у каждой стены стояло стульев поровну?

Ближайшее число, которое делится на 4, – это 12. Следовательно, не хватает трех стульев. Три стула ставим по углам комнаты.

62. К Незнайке на день рождения пришли Винтик, Шпунтик, доктор Пилюлькин, Пончик и Знайка. На десерт Незнайка вынес 10 пирожных. Как разделить пирожные поровну между друзьями, никого не обидев?

Каждый получит по 1 пирожное и еще 2/3 пирожного.

63. Как можно разрезать равносторонний треугольник: а) на 2 равных треугольника; б) на 3 равных треугольника; в) на 4 равных треугольника; г) на 6 равных треугольников.

а) б) в) г)

64. Мать для своих детей оставила дома конфеты. Первым пришел из школы брат, взял свою половину конфет и ушел гулять. Затем пришла сестра. Думая, что брат еще не брал конфет, она съела только половину оставшихся, после чего осталось еще три конфеты. Сколько конфет было вначале?

Запишем решение задачи в виде выражения: 3 · 2 · 2 = 12 (конфет.)

65. В ящике лежат несколько одинаковых по цвету лент следующих размеров: 50 см, 1 м, 3 м. Из ящика взяли 4 ленты. Есть ли среди взятых лент хотя бы две ленты одного размера?

Есть

65. Чтобы смонтировать новый забор, вкопали 20 столбов через каждые 2 метра. Определите длину забора.

38 м.

65. Рита, Юля и Нина выращивали на грядках: две капусту, одна морковь. Рита и Нина, Рита и Юля выращивали разные овощи. Кто из них выращивал морковь?

Рита

65. Мои часы отстают на 10 мин, но я считал, что они спешат на 5 мин. Часы моего друга Вани спешат на 5 мин, но он думает, что они отстают на 10 мин. Мы с Ваней договорились встретиться в 16 часов. Кто из нас придет к месту встречи первым?

Одновременно

65. На классной доске написано:

а) 1 2 3 = 1; б) 1 2 3 4 = 1.

Слева от знака равенства все знаки действий и скобки оказались стертыми. Восстановите скобки и знаки действий.

а) (1 + 2) : 3 = 1; б) 12 : (3 · 4) = 1.

65. Произведение двух чисел больше одного из них в 4 раза и больше другого в 5 раз. Чему равны множители и произведение?

4 · 5 = 20.

65. Чтобы подняться на каждый этаж дома надо пройти 30 ступенек лестницы. Сколько ступенек нужно пройти, чтобы подняться на 3 этаж?

60 ступенек.

65. Геологам надо разложить поровну в 4 рюкзака 8 камней, которые весят 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг, 8 кг. Как это можно сделать?

1 рюк.: 1 кг + 8 кг = 9 кг; 2 рюк.: 2 кг + 7 кг = 9 кг; 3 рюк.: 3 кг + 6 кг = 9 кг; 4 рюк.: 4 кг + 5 кг = 9 кг.

65. Чтобы смонтировать забор, вкопали 30 столбов через каждые 2 м. Половина забора была из дерева, а остальная часть из сетки. Сколько метров сетки потребуется для забора?

1) 29 · 2 = 58 (м) – длина забора; 2) 58 : 2 = 29 (м) – сетки.

65. Сколько всего трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в записи числа повторяться не будут? Перечислите все эти числа и найдите их сумму.

123, 132, 213, 231, 312, 321, сумма – 1332.

65. Какие три числа, в сумме и в произведении дают один и тот же результат? 1, 2, 3.

66. Ваня живет выше Пети, но ниже Саши, а Коля живет ниже Пети. На каком этаже 4-х этажного дома живет каждый из них?

Коля – 1 эт; Петя – 2 эт; Ваня – 3 эт; Саша – 4 эт.

65. Канат длиннее, чем веревка и чище, чем тесемка, но канат короче, чем тесемка и грязнее, чем веревка. Что самое короткое и что самое чистое?

Верёвка самая короткая и самая чистая.

65. Лиза, Галя и Нина жили в разных домах. Дом № 1 – высокий каменный, № 2 – высокий деревянный, № 3 – невысокий каменный. В каких домах жили девочки, если Галя и Нина жили в высоком, а Нина и Лиза в каменном.

Лиза – № 3 невысокий каменный; Галя – № 2 высокий деревянный; Нина – № 1 высокий каменный.

65. Сколько всего необходимо цифровых знаков, чтобы пронумеровать книгу, в которой 100 страниц?

192 цифровых знаков.

65. На вопрос учителя о том, кто разбил окно, ученики ответили так – Петя: «Окно разбил Толя, а не Дима», Дима: «Окно разбил Петя или Толя», Толя: «Окно разбил Дима». Учитель знал, что один из учеников солгал, а двое сказали правду. Кто разбил окно?

Толя

65. В кафе встретились 3 друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», – заметил черноволосый. «Ты прав», – сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

Чёрный

65. Найти 3 последовательных натуральных числа зная, что если к 9 прибавить их среднее арифметическое, то получится 720.

710, 711, 712.

65. К вадрат разрезали на 4 равные части (рис. 4) и составили из них 2 квадрата. Как это сделали?

Ответ: ( )

Рис. 4

65. Из куска проволоки согнули квадрат со стороной 6 см, затем разогнули. Какова длина сторон треугольника?

8 см.

65. Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и выстроили их в ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины получилась полоса?

100 м.

65. Шнур длиной 32 м складывали пополам, разрезали в месте сгиба до тех пор, пока не получили отрезки шнура, длиной 2 м. Сколько всего раз повторили эту операцию?

4 раза.

65. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок весил уже 4 кг. Сколько кг меда было первоначально в бочонке?

6 кг.

65. Сергей ехал в школу на велосипеде. Занятия в школе начинаются в 9 часов. В 8 часов 40 мин он уже проехал половину пути. Если Сергей будет продолжать ехать с такой же скоростью, то он приедет в школу за 10 мин до начала занятий. Сколько минут он ехал в школу?

20 мин.

65. Вычислите удобным способом: 27+28+29+30+31+32+33

(27 + 33) + (28 + 32) + (29 + 31) + 30 = 210.

65. Замените буквы цифрами: 1 в в в – 1 = с с с.

в – о, с – 9.

65. На доске написано 99 чисел: 1, 2, 3, …, 98, 99. Сколько раз в записи встречается цифр­а 5?

20 раз.

65. Было 9 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 4 части. Всего стало 18 листов. Сколько листов бумаги разрезали?

3 листа.

65. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые 4 места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили так:

1) Коля занял не первое и не четвертое место;

2) Боря занял второе место;

3) Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Вова – 1 место, Боря – 2 место, Коля – 3 место, Юра – 4 место.

65. В семье четверо детей. Им по 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

Свете – 5 лет, Тане – 13 лет, Юре – 8 лет, Лене – 15 лет.

65. Маша, Даша и Таня читали вслух разные сказки: «Три Медведя», «Три поросенка», «Красная шапочка», Догадайтесь, кто какую сказку читал, если:

1) В Дашиной сказке нет волка;

2) В названии Машиной сказки нет цифр.

Маша – «Красная шапочка», Даша – «Три медведя», Таня – «Три поросёнка».

65. Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл 2 партии. Сколько всего партий было сыграно?

3 партии.

97. Малярам нужно покрасить 6 дачных домиков для малышей детского сада (красят крышу, стены, дверь). У них есть синяя, голубая и белая краски. Могут ли маляры покрасить все дома по-разному, чтобы малыши по цвету узнали свой дом?

Да.

98. На прием к доктору Айболиту пришли Мартышка, Филин, Щука и Цапля. Доктор записал в карточку возраст каждого из них. Оказалось, что Цапля моложе Филина, Щука того же возраста что и Филин, а Мартышка старше Щуки. Кто моложе: Цапля или Щука? Кто старше всех?

Цапля моложе Щуки, Мартышка старше всех.

99. Расставьте в 4-х угольной комнате 4 стула так, чтобы у каждой стены стояло по 2 стула. Расставьте 7 или 8 стульев так, чтобы у каждой стены их было поровну.

Ответ:

100. В примерах на вычитание Незнайка перепутал знаки четырех арифметических действий, записав: 6 · 4 + 5 = 26

42 : 7 + 3 = 21

Запишите правильно примеры, используя те же числа.

6 + 4 · 5 = 26; 42 – 7 · 3 = 21.

101. Расположите в магическом квадрате пять чисел таким образом, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.

102. Какое число обозначает каждая буква, если известно, что:

Т = О : 40;

К = А · 3;

О = К + А;

А = 280 : 7.

Т + О + Ч + К + А = 350;

Ответ:

103. Четыре брата Юра, Петя, Вова и Коля учатся в 1, 2, 3 и 4 классах. Петя учится только на «4» и «5», а младшие братья с него берут пример. Вова уже изучает историю, а Юра помогает решать задачи брату. В каком классе учится каждый из них?

Вова – 4 кл.; Петя – 3 кл.; Юра – 2 кл.; Коля – 1 кл.

104. Какие числа были заданы?

х = 7; у = 9.

105. Галя, Инна и Лиза приближаются к финишу в забеге на 60 метров. Сколько можно при этом составить вариантов завершения соревнования. Укажите возможность пересечения финишной линии в каждом случае, используя имена девочек.

а) Девочки пересекли финишную линию одновременно все трое; б) девочки пересекли финишную линию две одновременно и одна потом: ГИ-Л, ГЛ-И; ИГ-Л; ИЛ-Г, либо Л-ГИ, И-ГЛ, Л-ИГ,Г-ИЛ; в) девочки пересекли финишную линию все три в разное время: Г-И-Л, Г-Л-И, И-Л-Г, И-Г-Л, И-Г-Л, Л-Г-И, Л-И-Г.

106. Периметр четырехугольника составляет 18 см. Какой длины могут быть стороны четырехугольника, если они выражаются целыми последовательными числами?

3 + 4 + 5 + 6 = 18.

107. Таня живет на 2 этаже. Ваня в том же подъезде, но ему приходится подниматься по лестнице, на которой в 3 раза больше ступенек. Ступенек до подъезда и до 1 этажа нет. На каком этаже живет Ваня?

На 4 этаже.

108. Группа туристов состоит из 8 иностранцев. 6 человек говорят по-французски и 4 человека говорят по-английски, а несколько человек владеют обоими языками. Сколько человек говорят на двух языках?

2 человека.

109. Две сотни умножили на три десятка. Сколько десятков получилось?

60 десятков.

110. Инопланетяне сообщили жителям планеты Земля о том, что в их звездной системе существуют три планеты А, Б и В. Они живут на второй планете. Далее сообщение прервалось из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые как установили ученые, оба были неверные:

А – не третья планета;

Б – вторая планета.

На какой планете (А, Б или В) живут инопланетяне?

На планете В.

111. Сколько всего двузначных чисел? Трехзначных чисел?

Двузначных – 90 чисел; трёхзначных – 900 чисел.

112. Сколько домом на одной стороне улицы от № 16 до №78 включительно?

32 дома.

113. Как число 4 можно записать тремя четверками, соединив их знаками действий?

4 + 4 – 4 = 4; 4 · 4 : 4 = 4.

114. Четыре фигурки: круг, треугольник, квадрат и полукруг жили по одному в четырех разных домиках. Первый домик был с круглым окном и без трубы, второй с квадратным окном и с трубой, третий – с круглым окном и с трубой, четвертый – с квадратным окном, но без трубы. Круг и треугольник жили в домиках с трубой, треугольник и полукруг жили в домиках с квадратным окном. В каком домике жила каждая фигура?

Квадрат жил в первом домике (с круглым окном, но без трубы). Треугольник жил во втором доме (с квадратным окном и с трубой). Круг жил в третьем доме (с круглым окном и с трубой). Полукруг – в четвертом доме (с квадратным окном и без трубы).

115. Найти трехзначное число, зная, что сумма цифр равняется 15, а разница между числом, записанным в разряде сотен и в разряде десятков равна разнице чисел записанных в разряде десятков и единиц. Найди все варианты.

951, 852, 753, 654, 555.

116. Умер отец. Приехали его двое сыновей и принялись делить наследство. В завещании значилось: «Старшему сыну – половину всех коней, младшему – третью часть, доброму человеку – один конь». Но коней то всего 5. Получается деление с остатком: старшему 2 коня и еще полконя, а младшему и того хуже – больше одного коня. Что-то напутал старик! Ссорятся братья. Каждый требует уступить свою долю в его пользу. Совсем уже было подрались братья. Но в это время на коне проезжал Штефан Мудрый:

• Мир вам, о, юные и благонравные! Поведайте мне, что за жаркий спор затеяли вы?

Перебивая друг друга, братья рассказали в чем дело. Штефан Мудрый внимательно выслушал их. Затем он задумался и, наконец, произнес:

• Что ж, попытаемся вам помочь… И он нашел выход, совершив дележ строго по завещанию.

Братья получили целых коней, причем в количествах больших, чем предполагали ранее. Долго благодарили они Штефана Мудрого, кланяясь ему. А Штефан Мудрый сел на своего коня и продолжил путь, прерванный спором братьев.

Ребята, разберитесь, в чем дело? Каким образом был совершен дележ согласно завещанию?

Штефан Мудрый сообразил, что коней должно быть не 5, а 6. По-видимому, в период между составлением завещания и приездом братьев один из коней сдох. Тогда Штефан Мудрый помог братьям, следующим образом: он подарил братьям своего коня – его присоединили к наследству. Старший брат получил половину наследства: (5 + 1) : 2 = 3 коня. Младший – третью часть: (5 + 1) : 3 = 2 коня. Остался один конь: 6 – (3 + 2) = 1. Этот конь и перешел обратно к Штефану Мудрому согласно завещанию.

117. Два рыбака решили сварить на костре уху вместе. Первый дал 2 окуня, а второй –1. Вес каждого окуня 400 г. На уху подоспел охотник, которой внес свою долю деньгами – дал 60 рублей. Как эти деньги должны поделить между собой рыбаки?

Деньги должен забрать первый рыбак, так как на каждого приходилось по одной рыбе, а второй рыбак съел своего окуня.

118. – Какой улов был вчера?, спросил один рыбак другого.

– 9 линей и окуней. Причем линей в два раза больше! А у тебя?

– А у меня улов почти такой же, только окуней в два раза больше.

Попробуйте ответить на вопрос, сколько окуней у этих рыбаков?

3 окуня, 5 окуня.

119. Семь рыбаков ловили рыбу на озере. Первый рыбачил каждый день, второй – через день, третий – через два дня и т. д. Седьмой же рыбачил через шесть дней. Сегодня все рыбаки на озере. Через сколько дней все семь рыбаков соберутся на озере снова?

Через 420 дней.

120. Три приятеля увлекались плаванием. Первый тренировался регулярно через 3 дня, второй – через 4, а третий – через 5 дней. В те дни, когда не было тренировок, они вместе выходили на прогулку. Какое наибольшее число дней подряд они гуляли вместе?

3 дня.

121. На вопрос, сколько ему лет один любитель занимательных задач ответил: «Возьми три раза мои годы вместе с тремя и вычтите из них три раза мой возраст без трех лет – получите мой возраст». Сколько лет этому человеку?

Задачу можно решить, моделируя условие задачи:

3

3

3

Ответ:

(3 + 3) ·3 = 18 (лет) 3

3

3

122. В одной бочке сок, а в другой – столько же воды. Из первой бочки взяли 1 л сока и перелили в бочку с водой. После этого 1 л образовавшейся смеси перелили обратно в бочку с соком. Чего больше воды в первой бочке или сока во второй?

После двух переливаний в бочках жидкости будет поровну. В результате переливаний сок, который оказался во второй бочке, заменяет такое же количество воды, которая перелита в первую бочку. Значит, сока во второй бочке столько, сколько воды в первой.

123. На сколько: а) наибольшее четырехзначное число больше наименьшего четырехзначного; б) наибольшее пятизначное число больше наименьшего пятизначного; в) наибольшее шестизначное больше наименьшего пятизначного?

а) 9 999 – 1 000 = 8 999; б) 99 999 – 10 000 = 89 999; в) 999 999 – 10 000 = 989 999.

124. Сложили 111 тысяч, 111 сотен и 111 единиц. Что за число получилось?

122 211.

124. Взяли четырехзначное число, прибавили к нему 1 и получили пятизначное. Какое число взяли?

9 999.

126. Сколько получится, если сложить числа: наименьшее двузначное, наименьшее трехзначное и наименьшее четырехзначное?

10 + 100 + 1 000 = 1 110.

127. а) На сколько единиц наименьшее четырехзначное число больше наименьшего трехзначного числа?

б) Во сколько раз первое из них больше, чем второе?

в) На сколько единиц больше число, записанное пятью единицами шестого разряда, чем число, записанное пятью единицами четвертого разряда?

а) 1 000 – 100 = 900; б) 1 000 : 100 = 10; в) 500 000 – 5 000 = 495 000.

128. В числе 62 317 зачеркните одну цифру так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим из возможных; б) наибольшим из возможных. Переставлять цифры нельзя.

а) 2 317; б) 6 317.

129. В числе 5 236 845 зачеркните три цифры так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим.

а) 2 345; б)6 845.

130.Напишите наибольшее десятизначное число, у которого все цифры различны.

9 876 543 210.

131. Напишите наименьшее десятизначное число, у которого все цифры различны.

1 023 456 789.

132. Что произойдет с числом, если к нему: а) приписать 3 нуля справа; б) три нуля слева; в) прибавить три нуля?

а) Увеличится в 1000 раз; б) не изменит своей величины, а изменит только форму; нули слева ставят, например, в номерах лотерейных билетов; в) не изменится.

133. Сколько в десятичной системе счисления однозначных, двузначных, трехзначных, четырехзначных чисел?

Однозначных чисел 9, двузначных – 90. Чтобы это узнать, надо из однозначных и двузначных чисел удалить однозначные числа: 99 – 9 = 90. Трехзначных чисел: 900 = 999 – 99. Четырехзначных чисел: 9 000 = 9 999 – 999.

134. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 99.

В этом ряду будет 49 пар чисел, сумма которых равна 100. Это 1 + 99, 2 + 98 и т.д. И еще остается без пары число 50. Получаем: 100 · 49 + 50 = 4950.

135. Все натуральные числа записаны подряд, начиная с единицы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …. Не выписывая чисел, сделайте нужные расчеты и ответьте на следующие вопросы:

а) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все числа от 1 до 99 включительно?

б) Сколько понадобится цифр, чтобы записать все однозначные, двухзначные и трехзначные числа?

а) 9 + 2 · 90 = 189; б) 9 + 2 · 90 + 3 · 900 = 2 889.

136. Сколько потребуется цифр для нумерации 18 листов тетради, начиная с первой?

9 + 2 · 9 = 27 цифр.

137. Сколько потребуется цифр для нумерации 150 страниц книги?

Для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных – 2 · 90 = 180 цифр, для записи трехзначных чисел до 150 включительно – 3 · 51 = 153 цифры. Таким образом, всего потребуется 342 цифры.

138. Для нумерации страниц книги понадобилось 315 цифр. Сколько страниц в книге?

Решение: для записи однозначных чисел потребуется 9 цифр, для записи двузначных – 2 · 90 = 180 цифр, т.е. для записи однозначных и двузначных чисел потребовалось всего 189 цифр. Остается 315 – 180 = 135 цифр, которыми можно записать 45 трехзначных чисел. Сорок пятое трехзначное число – это число 144, значит, в книге 144 страницы.

139. Какая цифра стоит в натуральном ряду на 7-м месте; на 13-м месте; на 35-м месте; на 120-м месте?

На 7-м месте стоит цифра 7. Узнаем, какая цифра будет стоять на 13-м месте. Для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, значит, на 13-м месте будет стоять двузначное число. Будет записано 13 – 9 = 4 двузначных числа, это числа 10 и 11, следовательно, на 13-м месте будет стоять цифра 1. На 120-м месте будет также стоять цифра двузначного числа, так как для записи всех двузначных чисел потребуется 189 цифр. Как мы уже выяснили, для записи однозначных чисел требуется 9 цифр, тогда оставшиеся 111 цифр будут использованы для записи двузначных чисел. Этими цифрами можно записать 55 двузначных чисел и первую цифру 56-го двузначного числа. Таким числом будет число 65, поэтому на 120-м месте будет стоять цифра 6.

140. Замени звездочки цифрами: * * * * – 1 = * * *.

1 000 – 1 = 999.

141. 30 учащихся школы ездили на автобусе на экскурсию. Анне достался первый автобусный билет, номер которого 189990. Есть ли еще среди учащихся те, кому достался билет, в номере которого сумма трех первых цифр тоже равна сумме трех последних цифр?

Да, среди учащихся найдется еще один человек, которому достанется такой билет. Следующий билет, обладающий таким же свойством, имеет номер 190 019; 190 019 – 189 990 = 29. Тридцатый учащийся станет обладателем этого билета.

142. Из книги выпало несколько листов. Первая выпавшая страница имеет номер 213, а номер последней страницы изображается теми же цифрами, но в обратном порядке. Сколько листов выпало из книги?

312 это номер последней выпавшей страницы. Среди 312 страниц первые 212 остались в книге, т.е. выпало 312 – 212 = 100 страниц, что составляет 50 листов.

143. Мальчик говорит своему приятелю: «Я подсчитал, что для того, чтобы пронумеровать все страницы вот этой маленькой книжки, начиная с первой ее страницы, потребовалось ровно 100 цифр». Не можете ли вы, не видя самой книжки, проверить, правильно ли подсчитал мальчик число цифр? Известно, что все страницы в книге пронумерованы.

Для записи однозначных чисел потребовалось 9 цифр, остается 91 цифра. Остальные числа для нумерации страниц будут двузначными, но 91 на 2 не делится, поэтому мальчик ошибся.

144. В четырехзначном числе вторая цифра 0. Если записать цифры в обратном порядке, то получится другое четырехзначное число, которое в 9 раз больше первого числа. Найдите первое число.

Данное число в 9 раз меньше некоторого четырехзначного числа. Следовательно, первая цифра 1. отсюда последняя цифра 9. Подбором можно убедиться, что предпоследняя цифра 8. получаем число 1089.

145. Во сколько раз число, содержащее 7 единиц пятого разряда, больше числа, содержащего 7 единиц второго разряда?

70 000 : 70 = 1 000 (раз).

146. И сказал Кощей Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром появишься пред мои очи, задумаю я цифры а, в, с. Назовешь ты мне три числа х, у, z. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно значение выражения ах + ву + сz. Тогда отгадай, какие числа а, в, с я задумал. Не отгадаешь – голову с плеч долой».

Запечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Попробуйте ему помочь.

Ивану-царевичу надо назвать числа 100, 10, 1, тогда значением выражения ах + ву + сz = а · 100 + в · 10 + с будет трехзначное число с цифрами а, в, с. Задуманные Кощеем числа будет легко отгадать.

147. В следующих числовых рядах числа записаны в определенной закономерности, в каждом ряду – своя закономерность. Установите ее и запишите еще по три числа: а) 19, 20,22, 25, 29, …; б) 5, 8, 14, 26,50, …; в) 901, 802, 703, …; г) 101, 1002, 10003, …; д) 7, 67, 567, …

а) Число увеличивается на 1, затем на 2, на 3 и т.д.; б) каждое следующее число получается так: предыдущее число увеличивается в 2 раза и из результата вычитается 2; в) цифра разряда сотен уменьшается на 1, а цифра разряда единиц увеличивается на 1; г) добавляется один ноль и последняя цифра увеличивается на 1; д) увеличивается число разрядов, причем каждый раз слева приписывается цифра, на 1 меньше самой левой цифры предыдущего числа.

148. Расшифруйте:

* 2 *

* 7

* * *

* * * *

* * * * 8

Последняя цифра первого неполного произведения 8, поэтому последняя цифра первого множителя равна 4. Произведение первого множителя на 7 – число трехзначное, следовательно, первая цифра первого множителя 1 (224 х 7 = 1 568 – число четырехзначное). При умножении этого же числа на цифру десятков второго множителя – число четырехзначное, значит, эта цифра должна быть больше 7 – это 8, или 9. проверяем: 124 х 9 = 1 116, а 124 х 8 = 992, поэтому первая цифра второго множителя может быть равна только 9. Выполнив столбиком, умножение числа 124 на 97, найдем значение оставшихся цифр.

149. Расшифруйте:

ТРИ + ТРИ + ТРИ = ДЫРА

(при условии, что (Ы + Ы) : Ы = Ы.

Рассмотрим вначале условие; получим: 2Ы : Ы = 2, следовательно, Ы = 2. Запишем пример столбиком.

ТРИ

ТРИ

ТРИ

ДЫРА

Так как складывали три числа, то Д может быть равно 1 или 2, но Ы = 2, поэтому Д = 1. Получаем, что Т · 3 = 12, а значит Т может быть равно только 4. Тогда Р + Р + Р меньше 10 и 3 · Р= Р, следовательно, Р = 0. И · 3 < 10, а это значит, что И ≤ 3, но цифры 1 и 2 уже заняты. Получается, что И = 3, А = 9. Ребус разгадан: 403 + 403 + 403 = 1209.

1 50. Определите числовые значения букв в примере: РЛОРЕ

РККРК

ЛКЕККЕ

Расставив буквы в порядке возрастания соответствующих им цифр (начиная с нуля), вы получите фамилию известного французского математика, который в возрасте 10 лет уже знал высшую математику, в 12 лет сделал свое первое открытие, а в 18 лет стал научным работником Парижской академии наук.

Буквы разгадываем в такой последовательности: Л = 1, К = 0, Р = 5, 0 = 9, Е = 2. Расставив буквы в порядке возрастания соответствующих цифр, получим фамилию Клеро.

151. Расшифруйте:

МАСЛО Л

МЛ САЛО

УС

УЛ

ЭЛ

ЭЛ

0

По записи видно, что О = 0. С · Л = МЛ, А · Л = УЛ, Л · Л = ЭЛ, т.е. при умножении на Л трех различных цифр произведение каждый раз оканчивается цифрой, зашифрованной буквой Л. Это может быть лишь в случае, если Л = 5. Так как Л · Л = ЭЛ, то Э = 2. С – 5 = 2, значит, С = 7. С · Л = МЛ (7 · 5 = 35), поэтому М = 3. А > 5, так как А – 5 = У, А – нечетное, так как произведение А · 5 оканчивается на 5, остается, что А = 9.

Ответ:

3 9750 5

35 7950

47

45

25

25

0

152. Расшифровав следующий ребус и расставив буквы в порядке возрастания цифр, можно разгадать фамилию древнего ученого, жившего более двух тысяч лет назад и внесшего значительный вклад в развитие геометрии.

ПО + Г = ИП

+ + +

Р + Р = ПА

ИФ + ПИ = ФГ

1) Р + Р = ПА = > П = 1; 2) ПО + Р = ИФ = > 10 + Р = ИФ = > И = 2; 3) Ф = 3, так как ИФ + ПИ = ФГ, если Ф = 4, то Ф + И должно быть > 10, но 4 + 2 меньше 10, = > Ф = 3; 4) ИФ + ПИ = ФГ = > 23 + 12 = 3Г = > Г = 5; 5) ИП + ПА = ФГ = > 21 + 1А = 35 = > А = 4; 6) Р + Р = ПА = > Р + Р = 14 = > Р = 7; 7) ПО + Р = ИФ = > 10 + 7 = 23, значит, О = 6. Расставив буквы в порядке возрастания цифр, получим фамилию Пифагор.

16 + 5 = 21

+ + +

7 + 7 = 14

23 + 12 = 35

153. Шестизначное число начинается цифрой 1 и кончается цифрой 7. Если эту цифру 7 перенести на первое место, то получится число в 5 раз больше первого. Найдите число.

142 857.

154. Шестизначное число начинается цифрой 5. Если переставить эту цифру на последнее место шестизначного числа, то получится число в 4 раза меньше первоначального. Найдите это число.

512 820.

155. На какое число надо умножить 285 714, чтобы получить шестизначное число, записанное теми же цифрами, при условии, что вторая цифра этого числа равна 5.

Поскольку в результате должно получиться также шестизначное число, то это значит, что можно умножить на 2, 3 или 4; в противном случае получим число семизначное. При умножении на 4 последняя цифра произведения должна быть равна 6, но такой цифры в данном числе нет. Умножая на 2 и на 3, получим соответственно 571 428 и 857 142. Как видим, оба эти числа записаны теми же цифрами, что и само число. Но только число 857 142 удовлетворяет условию, что вторая цифра равна 5, поэтому данное число надо умножить на 3.

156. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное число будет в 9 раз больше первоначального. Найдите двузначное число.

45 · 9 = 405.

157. Расшифруйте равенство * * + * * * = * * * *, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяется, если все три числа прочитать справа налево.

22 + 979 = 1 001.

158. Петя сказал однажды друзьям: «Позавчера мне было 9 лет, а в будущем году мне исполнится 12 лет». Какого числа родился Петя?

Петя родился 31 декабря, а говорит он эту фразу 1 января. 31 декабря Пете исполнилось 10 лет, а 31 декабря того года, когда Петя говорит эту фразу, исполнится 11 лет, а на будущий год ему исполнится 12 лет.

159. В феврале 2004 г. было 5 воскресений, а всего 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 г.?

В феврале 29 дней, т.е. 4 полных недели и еще 1 день. А так как по условию задачи в этом месяце 5 воскресений, то первое февраля будет воскресеньем. Легко сосчитать, что 23 февраля будет понедельником.

160. Дедушка Коли празднует каждый свой день рождения. В 2000 г. он отпраздновал 15-й раз день своего рождения. Определи число и год рождения дедушки.

Дедушка Коли родился 29 февраля, который бывает раз в 4 года. В 2000 г. ему исполнилось 4 · 15 = 60 лет, т.е. он родился в 2000 – 60 = 1940 г.

161. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 20-го числа этого месяца?

Единственный возможный случай: воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа, тогда 20 число месяца будет четвергом.

162. Может ли в каком-либо месяце быть 5 понедельников и 5 четвергов одновременно?

Если даже в месяце 31 день, то это составляет 4 полных недели и еще 3 дня. Если месяц начинается с понедельника, то он закончится в среду. А если месяц начинается в четверг, то он закончится в субботу. Получается, что 5 понедельников и 5 четвергов одновременно быть не может.

163. Расстояние между двумя машинами, движущимися по шоссе, 100 км. Скорости машин 80 км/ч и 60 км/ч. Чему может быть равно расстояние между ними через час?

Рассмотрим различные способы движения машин. 1) Машины двигаются в противоположные стороны. В этом случае за час расстояние между ними увеличится на 140 км и будет равно 240 км. 2) Машины двигаются навстречу друг другу. За час они вместе проедут 140 км, а это значит, что они встретятся и разъедутся в разные стороны. Расстояние между ними через час будет равно 40 км. 3) Машины движутся в одном направлении и машина, скорость которой 60 км/ч, едет впереди. Машины будут сближаться, через час расстояние между ними сократится на 20 км и будет составлять 80 км. 4) Машины движутся в одном направлении и машина, скорость которой 80 км/ч, едет впереди. Машины будут удаляться, через час расстояние между ними увеличится на 20 км и будет составлять 120 км.

164. Счетчик автомобиля показывал 12 921 км. Через 2 ч на счетчике опять появилось число, которое читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

Следующее число, которое одинаково читается в обоих направлениях, это – 13 031. Получается, что автомобиль за 2 часа проехал 13 031 – 12 921 = 110 (км), т.е. его скорость равна 55 (км/ч).

165. Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль со скоростью 50 км/ч. Через час после него в том же направлении вылетает вертолет, скорость которого 280 км/ч. Вертолет догоняет автомобиль, поворачивает и летит назад в пункт А, а затем снова догоняет автомобиль и снова возвращается в пункт А, т.е. непрерывно летает от А до движущегося автомобиля и обратно. Сколько километров пролетит вертолет, пока автомобиль приедет в пункт В, если расстояние между пунктами 300 км?

Автомобиль был в пути 300 : 50 = 6 (ч), а так как вертолет вылетел на 1 ч позднее, то он был в пути 5 ч. Все это время он двигался со скоростью 280 км/ч и пролетел 280 · 5 = 1 400 (км).

166. Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном и том же направлении. Первый находится на 8 км впереди другого и идет со скоростью 4 км/ч, второй делает по 6 км/ч. У одного путешественника есть собака, которая именно в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала от своего хозяина к другому путешественнику, затем она вернулась к хозяину и опять побежала к другому путешественнику. Так она бегала от одного к другому до тех пор, пока путешественники не встретились. Какой путь пробежала собака, если она бегала со скоростью 10 км/ч?

Второй путешественник догонит первого через: 8 : (6 – 4 ) = 4 (ч). Собака бегала 4 ч со скоростью 10 км/ч, значит, она пробежала 40 км.

167. Из зоопарка на пристань, расстояние между которыми 1 км, повели слона. В этот же момент от пристани навстречу слону выбежала Моська. Она добежала до слона, тявкнула на него и побежала обратно на пристань, затем повернула обратно и т.д., пока слон не пришел на пристань. Моська двигалась в 10 раз быстрее слона. Сколько всего километров пробежала Моська?

Время движения у Моськи и слона одинаковое; Моська двигалась в 10 раз быстрее, значит и расстояние она преодолела в 10 раз больше, т.е. 1 · 10 = 10 (км).

168. Муравьишка был в соседнем муравейнике. Туда он шел пешком, а обратно ехал. Первую половину пути он ехал на Гусенице – ехал в 2 раза медленнее, чем шел пешком, а вторую половину пути ехал на Кузнечике – в 5 раз быстрее, чем шел пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше: в гости или обратно?

Меньше времени Муравьишка затратил, когда шел пешком, так как за то время, пока он на Гусенице проедет половину пути, пешком он уже дойдет до соседнего муравейника. Будет понятнее, если мы представим, что двигается не один, а два Муравьишки, причем в одном направлении.

169. Как трем путешественникам при помощи двухместного мотоцикла преодолеть расстояние в 60 км за 3 ч? Скорость мотоцикла 50 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.

Два человека на мотоцикле и третий пешком начинают одновременно свой путь. Проехав 55 км, один человек слезает с мотоцикла и далее идет пешком оставшиеся 5 км. Другой человек на мотоцикле едет обратно 45 км. Всего мотоцикл проехал 55 + 45 = 100 (км) за 100 : 50 = 2 (ч). К этому моменту третий уже пройдет 10 км (5 · 2). Вдвоем они едут обратно и проезжают 50 км за один час. В конце пути их ждет еще один человек.

170. Муравьишка проехал на Гусенице некоторое расстояние за 28 мин. За сколько мин он проедет на Жуке расстояние, в 4 раза большее, если скорость Жука в 7 раз больше скорости Гусеницы?

Так как расстояние в 4 раза больше, то и времени потребуется в 4 раза больше. Скорость Жука в 7 раз больше, то времени потребуется в 7 раз меньше. Получаем: 28 · 4 : 7 = 16 (мин).

171. Миша был на рыбалке. До реки он шел пешком, а обратно ехал на велосипеде. На весь путь он затратил 40 мин. В следующий раз он до реки и обратно ехал на велосипеде и затратил всего 20 мин. Сколько времени понадобится Мише, чтобы пройти весь путь в оба конца пешком?

Так как на дорогу до реки и обратно, двигаясь на велосипеде, Миша затратил 20 мин, то это значит, что на дорогу в один конец он затратил 10 мин. Получается, что на дорогу в одну сторону пешком ему требуется 30 мин, а значит, на дорогу в оба конца – 1 ч.

172. Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы. Старт дан у первого столба. Через 12 мин бегун был у четвертого столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у седьмого столба, если его скорость постоянная?

К тому времени, как бегун находился у четвертого столба, он пробежал 3 промежутка между столбами, это значит, что один промежуток он преодолевал за 4 мин. Для того, чтобы добежать до седьмого столба, ему надо преодолеть 6 промежутков, для этого ему потребуется 4 · 6 = 24 (мин).

173. Машина проехала от одного населенного пункта до другого столько километров, сколько минут она ехала. Какова скорость этой машины?

60 км/ч.

174. В 8 ч утра из города на турбазу, расстояние между которыми 18 км, вышла группа туристов со скоростью 5 км/ч. В это же время с турбазы в город вышла другая группа туристов со скоростью 4 км/ч. Какая группа туристов при встрече будет находиться ближе к турбазе?

При встрече обе группы будут находиться от турбазы на одинаковом расстоянии.

175. Два летчика вылетели одновременно из одного города в районные пункты. Кто из них долетит до места своего назначения быстрее, если первому нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в 2 раза быстрее, чем второй?

Обоим потребуется одинаковое время.

176. В 3 ч настенные часы отбивают 3 удара за 6 с. За сколько секунд эти часы отобьют 6 ударов в 6 часов; 8 ударов в 8 часов?

Время затрачивается не на сам удар, а на промежутки между ударами. Между 3 ударами 2 промежутка, следовательно, на 1 промежуток затрачивается 3 с. Между 6 ударами 5 промежутков, следовательно, 6 ударов часы отобьют за 3 · 5 = 15 (с), а в 8 часов 8 ударов отобьют за 3 · 7 = 21 (с).

177. Ваня и Гриша с восхищением наблюдали за четкой работой кузнеца. Взглянув на часы, они заметили, что кузнец делает 4 удара за 12 с. «Как ты думаешь, - спросил Ваня у друга, - сколько времени нужно, чтобы сделать 8 ударов?». Помогите Грише ответить на этот вопрос.

4 удара – 3 промежутка – 12 с, следовательно, 1 промежуток – 4 с. Тогда 8 ударов – 7 промежутков – 4 · 7 = 28 (с).

178.Имеются бревна длиной 4 м и 5 м, одинаковой толщины. Бревно перепиливается за 1 мин. Надо напилить 20 бревен длиной 1 м. Можно пилить только 4-метровые или только 5-метровые бревна. Какие бревна надо пилить?

Чтобы распилить четырехметровое бревно, придется сделать 3 распила. Чтобы получить 20 метровых бревен надо взять 5 бревен и сделать 15 распилов. Для этого потребуется 15 мин. Чтобы распилить пятиметровое бревно, необходимо сделать 4 распила. Одно бревно дает 5 метровых бревен, значит необходимо распилить 4 бревна, для чего придется сделать всего 16 распилов. Потребуется 16 мин. Значит, надо пилить четырехметровые бревна.

179. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней, если они будут нести такое же и одинаковое количество яиц за один и тот же промежуток времени?

Кур стало в 4 раза больше, значит, и яиц они снесут в 4 раза больше. А так как продолжительность времени увеличилась в 4 раза, то количество яиц должно еще увеличиться в 4 раза. Получаем: 3 · 4 · 4 = 48 (яиц).

180. Имеется 60 трехметровых бревен, которые надо распилить на полуметровые части. Сколько распилов придется сделать?

При распиливании трехметрового бревна на полуметровые получится 6 частей, т.е. придется сделать 5 распилов, а так как бревен 60, то всего распилов будет 5 · 60 = 300.

181. Один насос за одну минуту выкачивает 1 т воды. За сколько мин 5 таких насосов выкачают 5 т воды?

За 1 мин воды требуется выкачать в 5 раз больше, но и насосов работают в 5 раз больше, поэтому времени потребуется столько же.

182. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц?

240 страниц – это 120 листов. Листов в 2 раза больше, значит, и толщина книги будет тоже в 2 раза больше, т.е. 2 см.

183. Известно, что 50 одинаковых листов бумаги стоят больше 17 руб., но меньше 18 руб. Сколько стоит 1 лист бумаги?

Сто листов бумаги стоят больше 34 руб., т.е. 3400 коп., но меньше 36 руб., т.е. 3600 коп. Следовательно, лист бумаги стоит больше 34 коп., но меньше 36 коп., т.е. 35 коп.

184. Маугли попросил пятерых обезьян принести ему орехи. Обезьяны набрали орехов поровну и понесли Маугли. По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате они принесли орехов вдвое меньше, чем собрали. Сколько орехов получил Маугли?

Каждая из пятерых обезьян бросила по 4 ореха, т.е. всего обезьяны бросили 20 орехов. По условию задачи они принесли только половину собранных орехов, т.е. столько же, сколько выбросили. Получается, что обезьяны принесли Маугли 20 орехов.

185. У белочки есть несколько орехов, их меньше 15. Если их разделить между двумя бельчатами, то один орех останется; если разделить между тремя, тоже один орех останется, если разделить между четырьмя, опять один орех будет в остатке. Сколько у белочки орехов?

Если отложить один орех, то остальные должны делиться на 2, на 3 и на 4. Наименьшим таким числом будет число 12. Следующее число, обладающее таким свойством, – это число 24, но оно уже больше 15. Прибавим отложенный в сторону один орех и получим, что у белочки было 13 орехов.

186. Из одной отливки получается шесть деталей. Отходы от шести отливок дают возможность получить из них одну отливку. Сколько деталей можно сделать из 36 отливок?

Из 36 отливок можно сделать 6 · 36 = 216 (деталей), при этом из отходов можно получить 6 новых отливок, из которых получится 6 · 6 = 36 (деталей) и еще одну новую отливку. Из этой отливки получаем еще 6 деталей. Всего получится 216 + 36 + 6 = 258 (деталей).

187. Полина рисовала геометрические фигуры: круги, квадраты и треугольники – всего 20 штук. Квадратов было в 6 раз больше, чем треугольников. Кругов меньше, чем квадратов. Сколько кругов нарисовала Полина?

Если Полина нарисовала 1 треугольник, то тогда квадратов будет 6, а кругов 13, что не соответствует условию задачи. Если треугольников было нарисовано 2, то квадратов было 12, а кругов 6, что условию задачи соответствует. Получается, что было нарисовано 6 кругов, 12 квадратов и 2 треугольника.

Эту задачу можно решить не только методом подбора. Моделируя схематически условие замечаем, что сумма чисел квадратов и треугольников делится на 7 и меньше чем 20. Это может быть либо число 7, либо 14. Число 7 не подходит, т.к. тогда кругов будет больше, чем квадратов. Значит это число 14, что позволяет отметить, что треугольников нарисовано 2, а квадратов 12. Кругов нарисовано: 20 – (2 + 12) = 6.

Треугольники

Квадраты 20

Круги

188. Доктор Айболит всегда помогал лесным жителям. В этот раз заболел слоненок. Доктор подсчитал, что для его лечения потребуется 6 л микстуры. Как, имея две пустые посудины 9 л и 4 л, отлить из бочки 6 л микстуры?

Решение:

189. Таня, Коля и папа отправились в поход. К вечеру они вышли к реке, тихой и неглубокой. У берега был плот, выдерживающий груз до 100 кг. Масса папы 80 кг, Тани – 50 кг, Коли – 40 кг, рюкзака – 15 кг. Коля на противоположном берегу прежде всего должен набрать хворосту и приготовить место для костра, Таня – почистить рыбу и картошку для ухи, папа – поставить палатку для ночлега. Для выполнения каждого из трех дел требуется 20 мин. Через реку можно переправиться за 10 мин. Как менее чем за час всем троим переправиться через реку и заодно выполнить все свои обязанности? Через час будет темно и надо будет разжечь костер.

Пр ^Т.К.

Таня Пр ^Т _К Коля собирает хворост

на этом берегу Т ^Пр _К и готовит место

чистит рыбу для костра

и картошку Т ^К _Пр Папа ставит

^ТК Пр палатку

190. Из 8 одинаковых по виду колец одно немного легче остальных. Требуется найти его не более чем за два взвешивания на чашечных весах без гирь.

Решение:

191. Имеется 10 монет, из них 9 настоящих, одинаковой массы, одна фальшива, легче остальных. Как определить фальшивую монету не более чем за три взвешивания?

Решение:

192. Лиса Алиса и Кот Базилио – фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алисе – легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна – фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету?

Решение:

193. Имеются чашечные весы, любые гири и 10 мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковые по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит 15 г, а в остальных 9 мешках настоящие и весят по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Занумеруем мешки и возьмем из каждого мешка по такому количеству монет, каков номер мешка. Всего будет 45 монет (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10). Взвесим их. Если бы они были все настоящие, весили бы 900 г, если фальшивая монета одна – будет не хватать 5 г, если две – 10 г и т.д. Таким образом, разделив количество недостающих граммов на 5, мы найдем количество фальшивых монет, а значит, и номер мешка с фальшивыми монетами.

194. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем ходить по кругу и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами этого купца. Как были расставлены тюки и с какого тюка был начат отсчет?

Поставим по кругу 30 точек – 29 светлых и одну темную (начало отсчета). Будем вычеркивать (начиная с темной точки) каждую девятую точку до тех пор, пока не останется 15 точек. По такой схеме расставили тюки матросы по просьбе хитрого купца.

195. В трактире стояло 4 стола, по одному вдоль каждой стены. Возвращающиеся с маневров проголодавшиеся солдаты в количестве 21 человека, остановились там пообедать и пригласили к обеду хозяина. Расселись так: за тремя из столов сели солдаты по 7 человек за каждый стол, а за четвертый – сам хозяин. Солдаты договорились, что платить будет тот, кто останется последним при следующем условии: считая по кругу (по часовой стрелке) всех, в том числе и хозяина, освобождать от уплаты каждого седьмого. Каждый седьмой тотчас уходил из трактира и в дальнейшем счете не участвовал. Последним остался хозяин. С кого начали счет?

Расставляем по кругу точки и вычеркиваем каждую седьмую точку. Оставшаяся точка – место хозяина. Получаем, что надо начинать счет с шестого солдата, сидящего по левую руку от хозяина.

196. Портной имеет кусок материи в 14 м и отрезает от него ежедневно по 2 м. Через сколько дней он отрежет последний кусок?

Через 6, так как, отрезая шестой кусок, он одновременно получает и седьмой.

197. Трое играли в шашки и сыграли три партии. Сколько партий сыграл каждый?

Две.

198. Брат через два года будет вдвое старше, чем он был два года назад. Сестра через три года будет старше втрое, чем три года назад. Кто из них старше?

Они близнецы.

199. В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, в банке – не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жидкость.

Условия, что вода – не в бутылке, лимонад – не в банке, вода – не в банке занесем в таблицу. Из условия, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, делаем вывод, что лимонад – не в кувшине и квас не в кувшине. А так как стакан стоит около банки и сосуда с молоком, то можно сделать вывод, что молоко – не в банке и не в стакане. Расставив «+», в итоге получаем, что молоко находится в кувшине, лимонад – в бутылке, квас – в банке и вода – в стакане (таб.1).

Таблица 1

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	-	-	+	-
Лимонад	+	-	-	-
Квас	-	-	-	+
Вода	-	-	-	-

200. В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и Попугай заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Заяц – 2, Попугай не стал победителем, но в призеры попал, а Удав уступил Мартышке.

Занесем условие задачи в таблицу 2, и, где возможно, расставим плюсы и минусы:

Таблица 2

	1 место	2 место	3 место	4 место
Заяц	-	+ (по усл.)	-	-
Мартышка		-	-
Удав		-	-
Попугай	- (по усл.)	-	+	- (по усл.)

Получилось, что Мартышка и Удав на первом и четвертом месте, но так как по условию Удав уступил Мартышке, то получается, что на первом месте – Мартышка, на втором – Заяц, на третьем – Попугай и на четвертом – Удав.

201. На новогоднем утреннике три подруги, Аня, Вера и Даша, были активными участниками, одна из них была Снегурочкой. Когда их подруги спросили, кто же из них был Снегурочкой, то Аня им сказала: «На ваш вопрос каждая из нас даст свой ответ. По этим ответам вы должны догадаться сами, кто из нас в действительности был Снегурочкой. Но знайте, что Даша всегда говорит правду». – «Хорошо, – ответили подруги, - послушаем ваши ответы. Это даже интересно».

Аня: «Снегурочкой была я».

Вера: «Я не была Снегурочкой».

Даша: «Одна из них говорит правду, а другая неправду».

Так кто же из подруг на новогоднем утреннике была снегурочкой?

Из утверждения Даши получаем, что среди высказываний Ани и Веры одно истинное, а другое – ложное. Если ложным будет высказывание Веры, то получим, что и Аня, и Вера были Снегурочками, чего быть не может. Значит, ложным должно быть высказывание Ани. В этом случае получаем, что Аня Снегурочкой не была, не была Снегурочкой и Вера. Остается, что Снегурочкой была Даша.

202. Три ученицы, Алла, Вера и Даша, на новогодний бал пришли одна в красном платье, другая в белом, третья в синем платье. Среди высказываний: Алла была в красном; Вера не в красном; Даша не в синем плате; – одно верно, а два других неверны. В каком платье была каждая из учениц?

Рассмотрим три случая, когда верным было первое высказывание, второе и третье (таб.3).

Таблица 3

По условию задачи	Случай 1	Случай 2	Случай 3
Алла в красном	И в красном	Л не в красном	Л не в красном
Вера не в красном	Л в красном	И не в красном	Л в красном
Даша не в синем	Л в синем	Л в синем	И не в синем
	Противоречие	Противоречие	Вера в красном Даша в белом Алла в синем

Вера – в красном, Даша – в белом, Алла – в синем.

203. Вике на день рождения подарили книгу Дж. Родари «Приключения Чипполино», а Симе – «Приключения Буратино». Прочитав эти книги, девочки дали их своим друзьям. Вика дала книгу Поле, Катя взяла у Симы, Оля читала книгу «Приключения Чипполино» после Димы, а Дима брал ее у Поли. Миша читал книгу после Кати, и, прочитав, отдал ее Гале. После Гали книгу читала Аня и отдала ее Яне. Сколько человек прочитали книгу «Приключения Чипполино» и сколько – «Приключения Буратино»?

Рассмотрим отношение «прочитать книгу раньше». Поскольку по условию задачи дети читали две книги – «Приключения Чипполино» и «Приключения Буратино», то мы получим сразу два графа. Все условия задачи представим графически, после чего один из графов для наглядности выделим другим цветом. Поскольку Симе подарили «Приключения Буратино», то, судя по графу (пунктирной линии), эту же книгу прочитали еще 5 человек, а «Приключения Буратино» вместе с Викой прочитали еще 3 человека.

К С

М

О

В П Я

Д

Г А

204. На карточке нарисованы отрезок, круг, треугольник, звезда и квадрат. В каком порядке они нарисованы, если известно, что: отрезок не рядом с треугольником; треугольник не рядом с кругом; круг не рядом со звездой, а звезда не рядом с отрезком; треугольник не рядом с квадратом, а квадрат не рядом с кругом; звезда располагается рядом с квадратом и находится справа от него?

Начнем с условия, что звезда располагается рядом с квадратом и находится справа от него. По условию рядом с квадратом не треугольник и не круг, остается, что рядом с квадратом (слева от него) находится отрезок. Рядом с отрезком – не треугольник; остается, что слева от отрезка находится круг, а справа от звезды – треугольник. В итоге получили, что геометрические фигуры расположены в следующем порядке: круг, отрезок, квадрат, звезда, треугольник.

205. Есть краски зеленого, красного, синего, желтого, оранжевого цветов. Сколькими способами можно раскрасить трехэтажные домики в три цвета, при условии, что цвета не должны повторяться?

Проведем рассуждения для домика, верхний этаж которого покрасили зеленой краской. Итак, если верхний этаж зеленый, то второй этаж можно покрасить в любой из оставшихся четырех цветов, т.е. от верхней точки проводим четыре отрезка. Если верхний этаж зеленый, а второй, например, красный, то третий этаж может быть одним из оставшихся трех цветов, т.е. от точки «к» второго этажа вниз проводим три отрезка. Таким образом, если верхний этаж дома покрашен в зеленый цвет, то имеющимися красками его этажи можно покрасить 12 способами. Если же верхний этаж дома покрасили, например, красным цветом, то все дальнейшие рассуждения будут такими же, как и в предыдущем случае, т.е. дом так же можно будет покрасить 12 способами. Поэтому можно ограничиться построением графа только для случая покраски верхнего этажа дома каким-либо одним цветом. Если при покраске верхнего этажа определенным цветом получается 12 вариантов, а верхний этаж, в свою очередь, можно покрасить 5 способами, то всего имеющимися красками дом можно раскрасить 60 способами.

з

к с ж о

к ж с о

ж с о к с о к ж о к ж с

206. На одной планете люди ходят только парами, причем один человек всегда говорит только правду, а другой всегда лжет. Случайно залетевший на эту планету путешественник спросил одного человека из пары: «Куда я попал?» – «Вы на планете, где все говорят правду», – был ответ. Тогда путешественник спросил его спутника: «Как тебя зовут?». – «Джон», – ответил тот. Правда ли это?

Да, это правда, так как первый человек сказал неправду. Это значит, что второй человек из пары должен сказать правду.

207. Принесли 5 чемоданов и 5 ключей от этих чемоданов, но неизвестно, какой ключ от какого чемодана. Сколько проб придется сделать в самом худшем случае, чтобы подобрать к каждому чемодану свой ключ?

Чтобы подобрать первый ключ к чемодану, требуется 4 пробы, второй ключ – 3 пробы, третий ключ – 2 пробы и четвертый ключ – 1 проба. Всего потребуется 4 + 3 + 2 + 1 = 10 проб.

208. В коробке лежат одинаковые по форме конфеты двух сортов: 10 конфет с мармеладной начинкой и 6 конфет с шоколадной. Карлсон съел 8 конфет. Была ли среди них конфета с шоколадной начинкой? Какое наименьшее число конфет надо съесть, чтобы среди них была хоть одна конфета с шоколадной начинкой?

Ответ: Конфеты с шоколадной начинкой среди съеденных могло и не быть, так как Карлсон мог съесть все 8 конфет с мармеладной начинкой. Надо съесть 11 конфет, чтобы среди них была обязательно хотя бы одна конфета с шоколадной начинкой.

209. В классе 30 человек. В диктанте Витя Малеев сделал 12 ошибок, а каждый из остальных – не больше. Докажите, что, по крайней мере, трое учеников сделали одинаковое количество (быть может, и ноль) ошибок.

Решение: Разделим учеников на группы следующим образом: в одну группу войдут ученики, сделавшие одинаковое число ошибок. Таких групп будет 13. Если бы в каждой группе было только по 2 ученика, то всего было бы 26 учеников, а у нас их 30. Тогда 27-й ученик сделает столько же ошибок, как и два других их любой группы.

210. В ящике лежали цветные карандаши: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. В темноте берем из ящика карандаши. Какое наименьшее число карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо было: а) не менее 4-х карандашей одного цвета; б) не менее 6-ти карандашей одного цвета; в) хотя бы 1 карандаш каждого цвета; г) не менее 6-ти синих карандашей?

а) 10 карандашей; б) 15 карандашей; в) 19 карандашей; г) 20 карандашей.

211. У одного путешественника не было денег, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин гостиницы, к которому обратился путешественник с просьбой о ночлеге, согласился держать постояльца неделю, если тот будет отдавать ему ежедневно в виде платы одно из звеньев цепочки. Какое одно звено надо распилить, чтобы путешественник мог ежедневно в течение семи дней расплачиваться с хозяином гостиницы?

(При расчете хозяин может возвращать постояльцу полученные у него раньше звенья.)

Надо распилить третье звено, тогда получится одно звено и два обрывка длиной 2 звена и 4 звена. В первый день путешественник может расплачиваться одним звеном; во второй день хозяин возвращает постояльцу это звено, а путешественник отдает ему 2 звена; за третий день 2 + 1 звено, за четвертый день 3 звена возвращаются, и постоялец отдает 4 звена и т.д.

212. В семье трое детей: два мальчика и девочка. Их имена начинаются с букв А, В, Г. Среди А и В есть начальная буква имени одного мальчика. Среди В и Г есть начальная буква имени одного мальчика. С какой буквы начинается имя девочки?

Имя девочки начинается с буквы В.

213. Вдоль дороги расположено 5 домов. Расстояние между двумя соседними домами равно 10 км. Возле какого дома надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от колодца до домов была как можно меньше? Чему равно это расстояние?

Колодец выгоднее вырыть возле среднего дома. Проверим это, сделав необходимые вычисления. Если вырыть колодец около крайнего дома, то сумма всех расстояний до остальных домов равна 10 + 20 + 30 + 40 = 100 (м). Если вырыть колодец возле второго с краю дома, то сумма всех расстояний до остальных домов равна 10 + 10 + 20 + 30 = 70 (м). Если вырыть колодец возле среднего дома, то сумма всех расстояний до остальных домов равна 10 + 20 + 10 + 20 = 60 (м) – наименьшая сумма расстояний.

214. С хозяйством попа справляются 10 работников. Каждый работник в день съедает каравай хлеба и другие продукты.

Поп принял на работу Балду.

Живет Балда в поповом доме,

Спит себе на соломе, ест за четверых,

Работает за семерых.

Поп прогнал лишних работников.

Сколько караваев хлеба экономил поп ежедневно?

3 каравая.

215. Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят (если бы они стояли на месте) 4 мин. Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6мин. Волк бежит в два раза быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Наф-Нафа?

Успеют.

216. Сколько всего можно составить 4-х значных чисел, сумма цифр которых равна 3? Перечислите эти числа.

3000, 2100,2001, 2010, 1200, 1002, 1020, 1110, 1011, 1101.

217. Полтрети числа – число 100. Найдите это число.

600.

218. Расшифруйте запись, если известно, что оба слагаемых и сумма не изменяется, если прочитать их справа налево.

аа + всв = кллк

Ответ: 22 + 979 = 1001.

219. Собака усмотрела зайца в 150 саженях от себя. Заяц пробегает за 2 мин 500 саженей, а собака за 5 мин 1300 саженей. За какое время собака догонит зайца?

За 15 мин.

220. Бидон с молоком весит 18 кг, а бидон без молока – 2 кг. Сколько весит бидон, заполненный молоком на четверть?

6 кг.

221. Журавли обычно летают так, что образуют треугольник: впереди один журавль (вожак). За ним два, потом три журавля и т.д. Сколько летело журавлей, если в последнем ряду их было 15?

15 + 14 + 13 + 12+11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 120.

222. Как поставить скобки, чтобы получить верное равенство:

9664 : 32 – 2 ^. 195 – 37 ^. 5 = 3000?

(9664 : 32 – 2) · (195 – 37 · 5) = 3000.

223. Для окраски кубика с ребром 2 см требуется 1 г краски. Сколько краски потребуется для окраски кубика с ребром 6 см?

На одной грани большого кубика можно уложить 9 граней меньшего кубика, поэтому для окраски одной грани большого кубика краски надо в 9 раз больше, чем для окраски меньшего кубика, а следовательно, для окраски всего большого куба надо краски в 9 раз больше, т.е. 9 грамм.

224. При делении некоторого числа на 180 в остатке получилось 120. Разделится ли данное число на 60?

Да.

225. Как изменится четырехзначное число, написанное различными цифрами, среди которых нет нуля, если поменять местами его цифры в разряде тысяч и разряде сотен?

Если число сотен больше числа тысяч, тогда увеличится. Если же число сотен меньше числа тысяч, тогда уменьшится.

226. К двузначному числу прибавили 3, оказалось, что сумма делится на 3. К этому же двузначному числу прибавили 7, полученная сумма разделилась на 7. Когда от него отняли 4, то оказалось, что полученная разность делится на 4. Найдите это двузначное число.

3 · 4 · 7 = 84.

227. В ящике 10 пар черных перчаток и 10 пар красных. Сколько перчаток необходимо вынуть из ящика наугад, чтобы наверняка среди них были две перчатки одного цвета? (Две черных, безразлично на какую руку).

22 перчатки.

228. Белая мышка бежала от сарая к дому, а серая – от дома к сараю. Они выбежали (одна из дома, другая из сарая) одновременно. Через 5 мин белая мышка была ближе к дому, чем серая к сараю. Какая мышка бежала медленнее?

Серая мышка.

229. Сколько всего 4-х значных чисел можно составить из цифр 0 и 1, если каждая цифра повторяется два раза? Перечислите эти числа.

1001; 1100; 1010.

230. В вершинах квадратной клумбы растут кусты – всего 4 куста. Площадь клумбы увеличили в 2 раза, не выкапывая кустов. Расширенная клумба тоже квадратная и внутри нее кустов нет. Как это сделали? Выполни рисунок.

Ответ:

231. На какое однозначное число, не равное 0, надо умножить 142857, чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?

142 857 · 7 = 999 999.

232. Замените буквы в фигуре числами, если известно, что А – в 2 раза больше С, В – 1/4 от А + С, С – произведение 3 и 4, D – сумма А, В, С.

	А
В		С
	Д

С = 12; А = 24; В = 9; Д = 45.

233. В трех ящиках 22, 14 и 12 яблок. Требуется путем трех перекладываний уравнять число яблок в этих ящиках, но из одного ящика можно перекладывать в другой ящик столько, сколько яблок имеется во втором ящике. Как это можно сделать?

234. Нарисуйте прямоугольник с наибольшей площадью, периметр которого равен 12 см.

Квадрат со стороной 3 см.

235. Как надо расположить 16 палочек длиной 1 дм таким образом, чтобы они образовали прямоугольник наименьшей площади? Чему равна эта площадь?

7 · 1 = 7 (кв. дм.)

236. Начертите прямоугольники, периметры которых равны 12 см. Длины сторон могут быть выражены только целыми числами в см. Определите площадь начерченных прямоугольников.

2 · 4 = 8 см²; 1 · 5 = 5 см².

237. Турист проходит 6 км за 1 час. Сколько метров он проходит за 1 мин?

100 м.

238. Квадратный лист бумаги со стороной 8 см разрезали следующим образом: через середины каждой пары соседних сторон провели карандашом отрезки и по ним выполнили разрезы. Какова площадь получившегося квадрата?

32 см².

239. Нарисуйте прямоугольник, площадь которого 12 см², а сумма длин сторон 26 см.

Это прямоугольник со сторонами 1 см и 12 см.

240. Какой цифрой оканчивается произведение 13 ·14 ·15 ·16 ·17?

0.

241. На какое однозначное число нужно умножить 123 456 789, чтобы в результате получилось новое число, записанное одними единицами?

123 456 789 · 9 = 111 111 111.

242. В каждом из четырех полков выбрано по 4 офицера разных званий (a, b, c, d). Требуется разместить этих шестнадцать офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждом горизонтальном и вертикальном ряду был офицер каждого звания и представитель каждого полка. Как это сделать?

Ответ:

а ₁

в₂

с₃

d₄

с₄

d₃

а₂

в₁

в₃

а₄

d₁

с₂

d₂

с₁

в₄

а₃

243. Запишите шесть однозначных чисел при помощи четырех четверок, знаков действий и скобок.

4 · 4 + 4 : 4 = 1; 4 : 4 + 4 : 4 = 2; (4 · 4 – 4) : 4 = 3.

244. Маленький Мук и королевский скороход соревновались в беге по дорожке длиной – 30 км, которая шла вокруг леса. По условию соревнования выигрывает тот, кто обгонит другого, пробежав на круг больше. Скороход делает круг за 10 минут, а маленький Мук – за 6 минут. Оба бегут равномерно. Через сколько минут маленький Мук обгонит скорохода?

15 минут.

245. Школьная медсестра измерила рост Кати, Раи, Миши, Антона, Лизы и Гриши, но уронила свои записи и перепутала их. Помогите ей определить рост ребят, если известны числа, которые она написала (150, 152, 153, 155, 158, 159), и следующие факты:

1. Гриша выше Антона на 1 см;

2) Рая выше Миши на 2 см;

3) Лиза выше остальных девочек и Миши, но ниже, чем Гриша и Антон.

Катя – 153 см; Рая – 152 см; Миша – 150 см; Антон – 158 см; Лиза – 155 см; Гриша – 159 см.

246. Дима, Боря и Света любят разные цвета – красный, синий и белый, но кто какой, неизвестно. Возраст ребят тоже неизвестен, мы знаем только, что кому-то из них 9 лет, кому-то 10 лет, а кому-то 11. Известно также следующее:

1. Дима старше Светы, но моложе того, кто любит красный цвет;

2) Самый молодой любит белый цвет.

Определите возраст каждого ребенка, и кто из них какой цвет любит.

Света (белый) – 9 лет; Дима (синий) – 10 лет; Боря (красный) – 11 лет.

247.Три мамы, которым 32, 38 и 41 год, варили варенье. Одна – из яблок, другая из слив, третья – из вишен. Их фамилии мы знаем: Белова, Краснова и Чернова. Определите возраст каждой, и что за варенье каждая из них варила, исходя и следующего:

1) Белова старше Красновой, но моложе той мамы, которая варила варенье из яблок;

2) Самая молодая из них приготовила варенье из слив.

Белова – 38 лет, варила варенье из вишни;

Краснова – 32 года, варила варенье из слив;

Чернова – 41 год, варила варенье из яблок.

248. Родители Тани, Славы и Томы рассказывали в классе о своих профессиях, для того, чтобы помочь ребятам сделать выбор. Их фамилии Дьяков, Ершова и Громов. Они рассказали о профессии инженера, юриста и ученого. Определите, кто, о чем рассказывал, с учетом следующих сведений:

1) Танина мама выступала на 1 неделю позже инженера и на 4 недели позже Громова;

2) Лекция о профессии юриста была последней;

3) Томин папа – ученый.

Танина мама рассказала о профессии юриста; родители Славы – о профессии инженера;

Томин папа – о работе ученого.

249. Три девочки (Вера, Зоя и Наташа) едят мороженое. Одна из них взяла себе порцию, другая – две порции, а третья сразу три. При этом у одной из них мороженое красного цвета, у другой – белого, а у третьей – желтого. Определите, какого цвета мороженое было у них и какое количество порций взяла себе каждая из девочек, по следующим условиям:

1. Двойная порция имеет красный цвет;

2) Зоя ест белое мороженое;

3) У Веры порция больше, чем у той девочки, которая ест желтое мороженое, но меньше Зоиной порции.

Вера съела 2 порции красного мороженого, Зоя 3 порции белого мороженого, Наташа – 1 порцию желтого мороженого.

250. Борис, Андрей, Миша и Слава гуляли по парку с родителями и попросили их купить каждому по стакану сока. Все ребята разного возраста (8, 9, 10, 11 лет) и любят разные соки – грушевый, яблочный, вишневый и томатный. Определите их возраст и вкус, исходя из следующего:

1. Андрей, старше Миши и мальчика, который любит яблочный сок, но младше того, кто любит томатный сок;

2. Мальчик, который любит яблочный сок, – самый младший;

3. Борис и Андрей не любят грушевый сок;

4. Борис не самый старший из мальчиков.

Борису 8 лет и любит яблочный сок, Андрею – 10 лет – вишневый сок, Славе – 11 лет – томатный сок, Мише – 9 лет – грушевый сок.

251. Бригада трактористов вспахала в первый день третью часть площади одного участка, во второй день – четверть остатка, а в третий день вспахала оставшиеся 21 га. Определите общую площадь участка.

42 га.

252. Петя купил себе книгу, потратив на нее четверть из денег, которые имел, а на четверть из остатка он купил конфеты. Сколько денег было у него, если осталось

9 рублей?

16 рублей.

253. Всем знакома известная сказка «Репка», где дед, бабушка, внучка, собачка Жучка, кошка и мышка тянули репку и вытянули. Известно, что дед в 2 раза сильнее бабки, а бабка в 2 раза сильнее внучки, внучка в 2 раза сильнее Жучки, Жучка в 2 раза сильнее кошки, кошка в 2 раза сильнее мышки. Сколько мышек потребуется, чтобы вытянуть репку (если заменить остальных мышками)?

63 мышки.

254. В кассе Одесского театра продавались билеты на спектакль. 1/5 часть билетов была продана по 10 гривен за билет, половина из остатка по 20 гривен, а остальные билеты в количестве 1200 штук по 30 гривен каждый. Сколько денег собрал кассир после продажи билетов?

66 000 гривен.

255. Половина одного числа, увеличенная на 8 была умножена на 6. Полученное произведение уменьшено на 18, а результат разделен на 6 и получили 10. Найдите число?

При нахождении числа, воспользуемся методом решения с конца ((8 · 6 + 18) : 6 – 8)·2 = 6.

256. Найдите значение x, используя метод решения с конца:

1) 12000 -(2x+50):1000+2800=10000;

2) ((5x+178) ·15+90):45=63;

3) ((x:7+108):4.10 -192):4=87;

4) 2520 : (480-3000:x)+48)·8=576;

5) (((134·x -3179)+856).81):333=315;

6) ((8600-325· (576:x))·42):165 - 220=480.

1) 275; 2) 1; 3)756; 4) 8; 5) 27; 6) 32.

257.Трое мужчин пришли в парикмахерскую. Побрив первого, парикмахер сказал: «Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи еще столько и возьми сдачи 2 рубля». То же самое сказал парикмахер и второму, и третьему. После того как трое ушли, оказалось, что в кассе нет денег. Сколько денег было в кассе перед тем, как заплатил первый мужчина?

1 руб. 75 коп.

258. Два дровосека Николай и Павел работали в лесу и сели обедать. У Николая было четыре ломтика хлеба, у Павла – семь. К ним подошел охотник и попросил: «Братцы, я заблудился в лесу, до деревни далеко, а я голоден. Поделитесь вашим хлебом». «Давай пообедаем вместе», – ответили лесорубы. 11 ломтиков хлеба были поровну разделены между тремя, для этого каждый ломтик был разделен на три части. Пообедав, охотник дал лесорубам 11 рублей за хлеб, которым его накормили. После ухода охотника Николай сказал: «По-моему, деньги нужно разделить поровну». Павел возразил: «За 11 ломтиков имеем 11 рублей. У тебя было 4 ломтика, тебе и полагается 4 рубля, а за мои 7 ломтиков мне полагается 7 рублей». Кто из них правильно рассуждал?

Оба дровосека ошибались. Николай должен получить 1 руб., а Павел 10 руб.

259. Одного старика спросили, в скольких войнах он участвовал. Старик ответил: «В стольких войнах, сколько будет, если взять 1/27 от моих лет или 1/8 от возраста моего внука, или столько, сколько лет его сыну. А мой возраст ближе к 80, чем к 90». В скольких войнах участвовал старик?

В трех войнах.

260. Мальчик и овчарка весят столько, сколько 5 ящиков. Овчарка весит столько, сколько четыре кошки. 2 кошки и овчарка весят сколько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?

6 кошек.

261. Гусеница бабочки – капустницы съедает за день до 10 г капусты. Синица съедает ежедневно до 100 гусениц. Посчитайте, сколько капусты «экономит» за один месяц «работы» (30 дней) семья синиц, состоящая из самца, самки и пяти птенцов, если считать, что птенец съедает в два раза меньше взрослой синицы?

135 кг.

262. Петя купил 2 ручки и 4 карандаша и заплатил 8 рублей. Зная, что одна ручка в 2 раза дороже карандаша, определите стоимость ручки.

2руб.

263. Для школы купили 3 больших мяча и 2 маленьких на сумму 33 гривны. Найти сколько стоит один мяч каждого вида, если большие мячи в 3 раза дороже, чем маленькие.

3 гривны; 9 гривен.

264. Окопали 4 ряда черной смородины и 10 рядов красной смородины. Всего окопали 120 кустов смородины. Сколько кустов красной смородины в одном ряду, если их в 2 раза больше, чем черной?

10 кустов.

265. 57 л молока разлили в 4 бидона и 3 банки. Сколько литров молока в 1 бидоне и в 1 банке, если емкость банки в 4 раза меньше, чем бидона?

12 л; 3 л.

266. На 6 кофт и на 4 пальто пришито 64 пуговицы. Сколько пуговиц пришили на одно пальто и на одну кофту, если на 1 кофту понадобилось в 2 раза больше пуговиц, чем на одно пальто?

4 пуговицы; 8 пуговиц.

267. Найти числа a, b, c, d, зная, что:

а) a = b · 3; c = b + 10; d = a + 6; a + b + c + d = 80;

б) b + c = 399; c – d = 325; d · 2 = 108; a + b + c + d = 1000.

а) а = 24; b = 8; с = 18; d = 30;

б) а = 547; b = 20; с = 379; d = 54.

268. 594 литра вина было разлито в сосуды емкостью по 1 л, 5 л и 50 л. Число сосудов емкостью 1 л в 6 раз больше, чем число сосудов емкостью 50 л, а число сосудов емкостью 5 л в 3 раза меньше, чем число сосудов емкостью 1 л. Сколько сосудов каждой емкости было использовано?

54 сосуда ёмкостью 1 л; 18 сосудов ёмкостью 5 л; 9 сосудов емкостью 50 л.

269. (Старинная). 5 волов и 3 барана стоят 13 золотых монет, а 2 вола и 8 баранов стоят 12 золотых монет. Сколько стоит 1 вол и 1 баран?

Решение: Решим эту задачу методом уравнивания данных (или методом сравнения). Для этого запишем условие задачи в следующем виде:

5в; 3б; 13 золотых монет.

2в; 8б; 12 золотых монет.

Нужно приравнять количество волов и баранов. Сравним количество волов, для этого 1 строку данных умножим на 2, а вторую на 5. Получим:

10в; 6б; 26 золотых монет.

10в; 40б; 60 золотых монет.

Отсюда, 40 – 6 = 34 (барана) будут стоить 60 – 26 = 34 (золотые монеты), а один баран стоить: 34 : 34 = 1 (золотую монету). Подставляя этот результат в первую строку данных, получим, что 3 барана стоят 3 золотые монеты, а 5 волов будут стоить 13 – 3 = 10 (золотых монет).

Откуда 1 вол стоит 10 : 5 = 2 (золотые монеты)

270. На товарную станцию прибыли вагоны с зерном и овощами. 4 вагона с зерном и 3 вагона с овощами имеют груз массой 2568 ц, а 2 вагона с зерном и 2 вагона с овощами имеют груз массой 1382 ц. Сколько центнеров зерна было в одном вагоне?

495 ц зерна.

271. На одном складе было 10 мешков гороха и 6 мешков фасоли общим весом 900 кг. А на другом складе было 4 мешка фасоли и 5 мешков гороха общим весом 500 кг. Сколько весит мешок фасоли и мешок гороха в отдельности?

1 мешок гороха – 60 кг; 1 мешок фасоли – 50 кг.

272. На 4 детских платья и на 3 платья для взрослых израсходовали 13 м ткани, а на 3 детских и 5 взрослых платьев израсходовали 18 м ткани. Сколько метров ткани нужно для одного детского платья? А для взрослого?

1 м; 3 м.

273. Для 4-х коз и 2-х телят было израсходовано 40 кг сена. А если было бы 3 козы и 4 теленка, то они бы съедали 50 кг сена. Сколько кг сена съедает за один день 1 коза и 1 теленок в отдельности?

Коза – 6 кг; телёнок – 8 кг.

274. 6 мотоциклов и 4 легковых автомобиля израсходовали 62 л бензина на 100 км, а 7 мотоциклов и 8 легковых автомобилей израсходовали 99 л бензина на 100 км. Сколько литров бензина израсходовал один мотоцикл на 100 км? А легковой автомобиль?

Мотоцикл – 5 л, лёгковой автомобиль – 8 л.

275. Для пошивки … простыней и … наволочек израсходовано … метров бельевого материала, а для пошива … простыней и … наволочек израсходовано … … метров бельевого материала. Определите расход материала на одну простыню и на одну наволочку. (Подберите данные и решите задачу).

276. В магазине для продажи картофель разложили в пакеты по 3 кг и 5 кг, всего 24 пакета. Масса всех пакетов по 5 кг равна массе всех пакетов по 3 кг. Сколько пакетов по 3 кг?

Предположим, что 3 пакета по 5 кг и 5 пакетов по 3 кг. Тогда 5 · 3 = 3 · 5, а пакетов будет 3 + 5 = 8. Но пакетов 24, что в 3 раза больше чем 8. Значит в 3 раза нужно увеличить предполагаемые числа: 5 · 3 = 15 (пакетов) по 3 кг.

277. Для туристической поездки на теплоходе по Черному морю было продано 124 билета I и II класса на сумму 4944 гривны. Один билет I класса стоит 56 гривен, а один билет II класса – 36 гривен. Сколько билетов каждого класса было продано?

Предположим, что все 124 билета были 1 класса, тогда 56 · 124 = 6 944 (гривны) заплатили за них. Это на 2000 гривен больше (6 944 – 4 944 = 2 000), чем настоящая выручка. Билет I класса дороже, чем билет II класса на 20 гривен. 2 000 : 20 = 100 (билетов) – II класса были проданы. 124 – 100 = 24 (билета) – I класса были проданы.

278. Велосипедист поднимается на горку со скоростью 6 км/час, а возвращается со скоростью 20 км/час. Зная, что на дорогу туда и обратно он потратил 3 ч 15 мин., найти длину пути.

15 км. Эту задачу можно решить также методом предположения.

279. Товарный состав из паровоза с тендером и 50 груженых вагонов имеет общий вес 1472 т, причем паровоз с тендером весит 84 т. Груженые вагоны были весом по 22 т и по 34 т. Сколько было в составе вагонов по 22 т и по 34т?

24 вагона по 34 т и 26 вагонов по 22 т.

280. На платформу погрузили по 70 сосновых и еловых бревен, общим весом 165 ц. Сосновое бревно весило 210 кг, а еловое – на 40 кг больше, чем сосновое. Сколько было тех и других бревен?

45 брёвен еловых и 25 брёвен сосновых.

281. Из … м шерстяной материи сшито … мужских и женских костюмов. На один мужской костюм израсходовано … м материи, а на женский … м. Сколько сшито женских костюмов? (Подобрать данные и решить задачу).

282. Магазин получил а пакетов пшеничной и гречневой крупы общим весом b кг. Гречневая крупа расфасована по 2 кг в каждый пакет, а пшеничная – по 3 кг в каждый пакет. Сколько пакетов тех и других получил магазин?

(в - 2а) – пакетов пшеничной крупы; (3а – в) – пакетов гречневой крупы.

283. Чтобы открылись ворота Руслан должен был набрать шифр к замку, состоящий из десятизначных чисел чисел, в записи каждого из которых крайняя левая цифра обозначает количество единиц в этом числе; вторая – количество двоек, третья – количество троек, а последняя цифра 5 – количество нулей. Помогите Руслану набрать шифр.

Запишем последние цифры в таком виде: 000 005. К этому числу слева надо приписать цифры, среди которых имеются цифры 1, 2, 3. Двоек и троек должно быть по одной, тогда единиц две. В результате имеем одно число 2 113 000 005. Все остальные числа получим, меняя местами 3 и 0. Имеем: 2 110 300 005; 2 110 030 005; 2 110 003 005; 2 110 000 035 – требуемый шифр.

284. В битве с трехглавым и треххвостым змеем Иван-царевич одним ударом меча может срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если срубить одну голову – новая вырастет, если срубить один хвост – два новых вырастут, если срубить два хвоста – голова вырастет, если срубить две головы – не вырастет ничего. Посоветуйте Ивану-царевичу, как быть, чтобы он смог срубить змею все головы и хвосты.

Срубить одну голову нельзя – новая вырастает. Надо добиться такого положения, чтобы голов осталось чётное количество, хвостов – ни одного. Но для этого сначала надо добиться, чтобы хвостов было чётное количество. Получаем такое решение:

1 удар: срубить 2 хвоста – станет 4 головы и 1 хвост;

2 удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 2 хвоста;

3 удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 3 хвоста;

4 удар срубить 1 хвост – станет 4 головы и 1 хвост;

5 удар: срубить 2 хвоста – станет 5 голов и 2 хвоста;

6 удар: срубить 2 хвоста – станет 6 голов;

7, 8, 9 удары; срубить по 2 головы.

285. Периметр листа картона, имеющего форму квадрата, равен 28 дм. Сколько квадратных сантиметров содержит его площадь?

1) 28 : 4 = 7 (дм) – длина стороны квадрата;

2. 7 х 7 = 49 (дм²) – площадь квадрата;

3. 100 х 49 = 4 900 (см²).

Площадь квадрата равна 4 900 см².

286. Из металлической заготовки вытачивают деталь. Стружки, которые получились при вытачивании 8 деталей, можно переплавить в одну заготовку. Сколько можно сделать деталей из 64 заготовок?

1) 64 : 8 = 8 (заготовок) – можно изготовить из отходов при вытачивании 64 деталей;

2) 8 : 8 = 1 (деталь) – может быть изготовлена из отходов при вытачивании 8 деталей;

3) 64 + 8 + 1 = 73 (детали)

Из 64 заготовок можно изготовить 73 детали.

287. Сколько всего ударов в сутки делают часы, если они бьют каждые полчаса по одному разу, а каждый час соответственно 1, 2, 3, … 12 раз?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12) х 2 + 24 = 180 (ударов.)

288. Периметр квадрата равен 20 см. На сколько квадратных сантиметров увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 12 см?

Так как у квадрата все стороны равны, то:

1) 20 : 4 = 5 (см) – длина одной стороны;

2) 5 х 5 = 25 (см²) – площадь квадрата;

3) 12 : 4 = 3 (см) – на столько увеличилась сторона;

4. 5 + 3 = 8 (см) – сторона нового квадрата;

5. 8 х 8 = 64 (см²) – площадь нового квадрата;

6. 64 – 25 = 39 (см²).

Можно решить эту задачу иначе,

3 см

5 см

5 см 3 см

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, следует найти сумму площадей заштрихованных прямоугольников.

1) 20 : 4 = 5 (см) – длина стороны квадрата;

2) 5 + 3 = 8 (см) – длина верхнего прямоугольника;

3) 8 х 3 = 24 (см²) – площадь верхнего прямоугольника;

4) 5 х 3 = 15 (см²) – площадь правого прямоугольника;

5) 24 + 15 = 39 (см²) – увеличилась площадь квадрата.

289. Нарисуйте прямоугольник, площадь которого 12 см², а сумма длин сторон 26 см.

Так как площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, то нам нужно представить число 12 в виде произведения двух множителей. Это можно сделать следующим образом:

12 = 1 х 12 12 = 2 х 6 12 = 3 х 4

Стороны прямоугольника могут быть равны:

а = 1 а = 2 а = 3

b = 12 b = 6 b = 4

Выберем из них те, которые удовлетворяют второму условию. Для этого вычислим сумму их длин:

1 х 2 + 12 х 2 = 2 + 24 = 26 – удовлетворяет условию;

2 х 2 + 6 х 2 = 4 + 12 = 16 – не удовлетворяет;

3 х 2 + 4 х 2 = 14 – не удовлетворяет.

1 см

12 см

290. Сколько понадобится времени, чтобы записать подряд все числа от 5 до 105, если на запись каждой цифры расходуется секунда? Ответ вырази в минутах.

Узнаём сначала, сколько однозначных, двузначных и трёхзначных чисел находится в промежутке от 5 до 105.

Однозначных: 5 (от 5 до 9).

Двузначных: 90 (от 10 до 99).

Трёхзначных: 6 (от 100 до 105).

Теперь узнаём, сколько времени понадобится для записи всех чисел от 5 до 105.

1 х 5 + 2 х 90 + 3 х 6 = 5 + 180 + 18 = 203 (с).

203 с = 3 мин 23 сек.

291. Однажды в вагоне Таня стала зашифровывать слова, заменяя буквы их номерами в алфавите. Когда она зашифровала пункты прибытия и отправления поезда, то с удивлением обнаружила, что они записываются с помощью лишь двух цифр: 211221 – 21221. Откуда и куда идёт поезд?

Выпишем все буквы алфавита.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Первое слово может начинаться либо на вторую, либо на двадцать первую букву алфавита: Б или У. Вторая буква тогда может быть либо 1 или 11, либо 1 или 12 (А или Й, А или К). БА или БЙ, УА или УК.

Рассмотрим сначала первый вариант: БА.

Третьей буквой может быть либо А (1), либо К (12), то есть имеем буквосочетания БАА или БАК.

Тогда четвёртая буква для буквосочетания БАА будет либо Б (2), либо Ф (22), то есть получаем БААБ или БААФ. Заканчивая анализ этого варианта, имеем БААБУ, БААФА, БААББА. Очевидно, что полученные буквосочетания не являются названиями городов.

Четвёртой буквой буквосочетания БАК может быть либо У (21), либо Б (2). В первом случае имеем слово БАКУ, во втором – название города не получилось. Таким образом, город из которого идёт поезд, это БАКУ.

Второе слово может начинаться либо с буквы Б (2), либо с буквы У (21). Тогда за буквой Б может следовать либо А (1), либо К (12). В этом случае имеем буквосочетание БА или БК.

За буквой У может следовать либо буква Ф (22), либо Б (2). Тогда имеем буквосочетания УФ и УБ. Очевидно, что присоединяя к буквосочетанию УФ последнюю букву А (1), получаем город УФА. Таким образом, поезд следовал по маршруту БАКУ - УФА.

292. Вставьте пропущенное слово.

х – 1 = 1 февраль

18 – 2х = 10 апрель

48 = 5х + 3 ?

Решим первое уравнение.

х – 1 = 1

х = 2

Справа написан месяц февраль. Он является вторым месяцем в году. Проверим подмеченную закономерность на следующем примере. Для этого решим второе уравнение.

18 – 2х = 10

2х = 18 – 10

2х = 8

х = 4

Апрель является четвёртым месяцем в году. Значит, найденная закономерность правильная. Решаем третье уравнение.

48 = 5х + 3

5х = 48 – 3

5х = 45

х = 9

Следовательно, справа должен стоять девятый месяц. Им является сентябрь.

293. Определите неизвестное число.

Ответ: 21 = 8 · 3 – 3 либо 22 = (8 + 3) · 2

294. Найдите закономерность и впишите нужные числа.

а) б) в)

? 10 ? 8 ? 4

0 6 39 13 4 9

3 16

1 3

24 18 2 25

Ответ: а) 15; б) 6 или 54; в) 5 или 625.

295. Запишите пропущенное число.

1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

1; 2; ?; 7; ?; 14; ?; 56.

Ответ: 4; 8.

296. Запишите пропущенное число.

5 х – 3 17

х – 5 ?

Ответ: 1.

297. Вставьте пропущенное число.

МАТЕМАТИКА 3 ≤ Х ≤ 6 ТЕМА

ДЕЦИМЕТР 5 ≤ Х ≤ 8 …

Ответ: МЕТР.

297. Найдите закономерность и заполните пустую клетку.

Ответ: 5.

299. Вместо вопросительного знака найдите число или рисунок.

а) 25 · 3 – 9 · 6 7

б) 8 + 17 · 4 – 68 4

в) 3 · 15 – 3 · 3 ?

г) ? + 13 5

д) 27 + 30 : 15 – 11 ? 6

Ответ: в) 9; г) 27; д)

300. Определите пропущенное число.

2 55 56 143

218 ? 144

Ответ: 37.

301. Сравните множество точек геометрических фигур, множество букв, записанных слов и множество чисел. Определите сходство.

КОЛЕСО ПРЕЛЕСТЬ ?

3, 8, 5 9, 3, 1 ?

Ответ: ЛЕС; 3.

302. Какое наибольшее число суббот может быть в году?

Так как в году может быть 365 или 366 дней, то для расчета наибольшего количества суббот выберем большее из этих чисел – 366. Суббота встречается один раз в семь дней. Следовательно, чтобы узнать число суббот в году нужно 366 разделить на 7 с остатком.

3 66 7

35 52

16

14

2

Получается, что в году будет 52 субботы и ещё 2 дня, на один из которых тоже может выпасть суббота. Таким образом, наибольшее количество суббот будет 52 + 1 = 53.

303. Сумма цифр двузначного числа равна некоторому двузначному числу, а цифра, стоящая в разряде десятков, в четыре раза меньше цифры в разряде единиц. Найдите это число.

Первый способ решения. Выпишем те однозначные числа, для которых выполняется второе условие – одно из них в четыре раза меньше другого. Эти числа: 1 и 4, 2 и 8.

Из полученных пар выберем ту, которая удовлетворяет первому условию – сумма цифр должна равняться некоторому двузначному числу:

1 + 4 = 5 – не удовлетворяет;

2 + 8 = 10 – удовлетворяет.

Второй способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа.

х

?

Пусть х – число десятков. Тогда 4х – число единиц. Наименьшее двузначное число – 10. Составим уравнение:

х + 4х = 10

5х = 10

х = 2

Тогда 2 х 4 = 8.

Следовательно, число 28 удовлетворяет условию. Аналогично можно составить уравнение для других чисел от 11 до 18 и сделать вывод.

Третий способ решения.

Исходя из условия задачи, сумма цифр должна делиться на 5. Таких чисел два: 10 и 15.

10 : 5 = 2;

2 х 4 = 8.

Получим число 28.

15 : 5 = 3

3 х 4 = 12

В этом случае не получим двузначного числа.

304. Найдите сумму всех возможных различных двузначных чисел, все цифры которых нечётны.

Для того чтобы узнать, сколько, таких чисел, попробуем определить, какие цифры могут стоять в разряде десятков. Таких цифр пять:

1 3 5 7 9

Вторая цифра тоже должна быть нечётной, следовательно, ее тоже можно выбрать пятью способами.

1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9

Всего таких чисел будет 5 х 5 = 25. Выпишем эти числа и найдем их сумму.

11 + 13 + 15 + 17 + … + 93 + 95 + 97 + 99 = (11 + 99) х 12 + 55 = 1375.

305. На каком расстоянии от точки А на отрезке АВ надо поставить точку К так, чтобы сумма длин отрезков АК и КВ была наименьшей? Длина отрезка АВ равна 9 см.

На любом расстоянии от т. А на отрезке АВ можно поставить точку К. Так как всегда сумма длин отрезков АК и КВ равна длине отрезка АВ, таким образом точка К может быть любой точкой отрезка АВ.

3 06. На полке стояли тарелки. Сначала из всех тарелок без двух взяли 1/3 часть, а потом 1/2 оставшихся тарелок. После этого на полке осталось 9 тарелок. Сколько тарелок было на полке?

Представим условие задачи в виде чертежа.

2

1/3

9

1) 9 х 2 = 18 (тар.) – осталось после того, как в первый раз взяли тарелки;

2) 18 – 2 = 16 (тар.) – приходится на 2/3;

3) 16 : 2 = 8 (тар.) – приходится на 1/3;

4) 8 х 3 = 24 (тар.) – приходится на все тарелки без двух;

5) 24 + 2 = 26 (тар.) – было на полке.

307. Учитель проверил работы трёх учеников – Алексеева, Васильева и Сергеева, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: «Все вы написали работу, причём получили различные отметки («3», «4», «5»). У Сергеева не «5», у Васильева не «4», а вот у Алексеева, по-моему, «4». Впоследствии оказалось, что учитель ошибся: одному ученику сказал оценку верно, а другим двум неверно. Какие отметки получил каждый из ребят?

Так как в данной задаче неясно, какое из утверждений истинно, то нужно рассмотреть три случая.

Случай 1. Пусть учитель сказал верно, Сергееву. Тогда исходя из условия задачи, заполним таблицу 4. «У Сергеева не «5». Поставим в соответствующей клетке « – ». У Васильева не «4» - это утверждение неверно. Следовательно, Васильев получил «4». Поставим «+» в соответствующей клетке. «У Алексеева «4» – это утверждение неверно. Следовательно, Алексеев получил не «4». Поставим « – » в соответствующую клетку.

Так как Васильев получил «4», то он не мог получить «3» или «5», а Сергеев не мог получить «4». Отразим это в таблице.

Анализ таблицы позволяет сделать вывод, что Сергеев получил «3», а Алексеев «5».

Таблица 4

Случай 2. Пусть учитель сказал правду Васильеву, а двум другим ученикам назвал неверную отметку. Тогда, исходя из условия, заполним таблицу 5. «У Васильева не «4». Поставим «–» в соответствующей клетке. «У Сергеева не «5» – это ложное утверждение. Значит, Сергеев получил «5». Поставим «+» в соответствующей клетке. «У Алексеева «4» – это ложное утверждение. Следовательно, у Алексеева не «4». Поставим знак « – » в соответствующую клетку.

Таблица 5

Из таблицы 5 видно, что «4» не получил ни один из учеников. Это противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение было ошибочным.

Случай 3. Рассмотрим предположение, что верна третья часть ответа, а именно: «Алексеев получил «4» и неверны первые два утверждения: «У Сергеева не «5», у Васильева не «4». Заполним таблицу 6, исходя из этих условий.

Таблица 6

Видим, что двое ребят одновременно получили «4», что противоречит условию. Следовательно, это предположение также ошибочно.

Алексеев получил «5», Сергеев – «3», Васильев – «4».

308. Фигура состоит из 12 одинаковых квадратов (рис. 5). Сколько всего квадратов в этой фигуре? Перечертите её и разделите на четыре равные по площади и по форме части.

Рис. 5

Фигура содержит 12 маленьких и 5 больших квадратов. Таким образом, всего в фигуре 17 квадратов.

1) 4 + 4 + 4 = 12 (кв. ед.) – площадь исходной фигуры;

2) 12 : 4 = 3 (кв. ед.) – площадь искомой фигуры.

Так как площадь фигуры равна 3 кв. ед., то она может иметь следующую форму:

I II

При составлении исходной фигуры из фигур вида I остаются незаполненными клетки.

Используя фигуру II, получим решение задачи.

309. Как из куска материи в 2/3 метра отрезать полметра, не имея под руками метра?

Изобразим условно отрезок длиной в один метр и разделим его на три равные части.

2/3 м

Для того чтобы получить полметра, нам нужно от данного куска отрезать 1/4 его часть. Поэтому поступим следующим образом: перегнем кусок пополам так, чтобы его конец и начало совпали. Повторим эту операцию еще раз. Получим 1/4 часть данного куска материи, которую необходимо отрезать, чтобы получить кусок материи длиной в полметра.

310. Фотографию прямоугольной формы с размерами 30 см и 40 см увеличили во много раз для изготовления прямоугольного рекламного щита. Площадь щита 48 м². Какова его длина и ширина?

1) 30 х 40 = 1200 (см²⁾ – площадь фотографии;

2) 480 000 : 1200 = 400 (раз) – площадь щита больше площади фотографии.

Так как при увеличении каждой стороны прямоугольника в k раз его площадь увеличивается в k х k раз, то, следовательно, в нашем случае каждая сторона увеличивается в 20 раз: 20 х 20 = 400.

3) 30 х 20 = 600 (см) – ширина щита;

4) 40 х 20 = 800 (см) – длина щита.

311. Группа третьеклассников решила после математической олимпиады поехать на экскурсию в Москву. Ежемесячно каждый ученик вносил одинаковую сумму денег, и за 9 месяцев было собрано 22 725 рублей. Сколько было учеников в классе и какую сумму вносил каждый ученик ежемесячно?

За один месяц ребята сдали 22 725 : 9 = 2 525 (рублей). Для того чтобы определить, сколько каждый из ребят сдавал ежемесячно, нужно знать количество учеников в классе. Это в задаче неизвестно. Однако из условия задачи следует, что это натуральное число, являющееся делителем числа 2525.

Следовательно, в классе могло быть 5, 25 или 101 ученик. Так как в классе 101 человек быть не может, то учеников было 5 или 25.

1) 225 : 5 = 505 (руб.) – сдавали 5 учеников;

2) 2 525 : 25 = 101 (руб.) – сдавали 25 учеников.

5 учеников сдавали по 505 рублей или 25 учеников сдавали по 101рублю.

312. Вставьте пропущенное число.

7х + 3 = 12 6/7 8 – 7х = 5

5х – 7 = 15 4/5 2 + 5х = 20

11х – 2 = 10 ? 11х + 4 = 7

Попробуем сначала найти какую-то связь между записанными уравнениями и дробью.

Для этого преобразуем уравнения, стоящие в первой строке.

7х + 3 = 12 8 – 7х = 5

7х = 9 7х = 3

Сравним теперь полученные уравнения с числом 6/7. Заметим, что коэффициенты при х и знаменатель равны одному и тому же числу 7, а разность между девятью и тремя численно равна числителю дроби.

Проверим подмеченную закономерность на выражениях, записанных во второй строке.

5х – 7 = 15 2 + 5х = 20

5х = 22 5х = 18

Видим, что коэффициенты при х в обоих уравнениях равны знаменателю дроби, а разность между правыми частями первого и второго уравнения равна числителю дроби: 22 – 18 = 4. Следовательно, мы правильно подметили закономерность. Согласно найденной закономерности найдем недостающее число.

11х – 2 = 10 11х +4 = 7

11х = 12 11х = 3

Таким образом, знаменатель дроби равен 11, а числитель – 9 (12 – 3 = 9).

313. Сколько кафельных плиток размером 15 х 15 см необходимо иметь, чтобы облицевать кафелем стену, имеющую длину 3м 6 дм и ширину 27 дм?

Первый способ решения:

1) 15 х 15 = 225 (см²) – площадь одной плитки;

2) 360 х 270 = 97 200 (см²) – площадь стены;

3) 97 200 : 225 = 432 (плитки)

Второй способ решения:

1) 360 : 15 = 24 (плитки) – уложится в один ряд по длине стены;

2) 270 : 15 = 18 (плиток) – уложится в один ряд по ширине стены;

3) 24 х 8 = 432 (плитки) – потребуется.

314. Для начинок пирогов имеется: рис, мясо, яйца. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? (При этом не надо забывать, что начинку можно приготовить из различного числа продуктов.)

Для того чтобы узнать, сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов, мы сначала определим, из скольких компонентов может состоять начинка для пирога. Начинки из одного компонента можно приготовить тремя способами (рис, мясо, яйцо). Начинки из двух компонентов можно приготовить тремя способами (рис-яйцо, рис-мясо, мясо-яйцо); из трех – одним способом (рис-мясо-яйцо). Таким образом, всего можно приготовить семь начинок.

315. Известно, что периметр одного прямоугольника больше периметра другого прямоугольника. Сравните площади этих прямоугольников.

Решение данной задачи ученики могут получить в результате проведения вычислительного эксперимента с различными прямоугольниками, например:

а) а = 3 см, b = 4 см а = 4 см, b = 2 cм

P₁ = 14 cм P₂ = 12 см

S₁ = 12 см² S₂ = 8 см²

S₁> S₂

б) а = 6 см, b = 1 см а = 4 см, b = 2 см

P₁ = 14 см P₂ = 12 см

S₁ = 6 см² S₂ = 8 см²

S₁< S₂

в) а = 10 см, b = 2 см а = 5 см, b = 4 см

P₁ = 24 см P₂ = 18 см

S₁ = 20 см² S₂ = 20 cм²

S₁= S₂

Таким образом, имеем три варианта отношений между площадями прямоугольников.

Площадь одного прямоугольника может быть больше, меньше или равна площади другого прямоугольника.

316. Трем военным нужно добраться до штаба, находящегося на расстоянии 60 км от передовой, за три часа. Смогут ли они это сделать, если в их распоряжении есть мотоцикл, на котором можно ехать не более чем двоим со скоростью не больше 50 км/ч, а пешеход идет со скоростью 5 км/ч?

За один час двое военных проедут на мотоцикле 50 км, а один пешком пройдет 5 км. Далее один из двух, ехавших на мотоцикле, может оставшиеся 10 км пройти за два часа, то есть он за три часа доберется до штаба. Второй из ехавших на мотоцикле может вернуться за пешеходом, двигаясь со скоростью 40 км/ч. Пешеход за это время пройдет 10 км, оставшиеся 50 км они могут проехать на мотоцикле за один час. Таким образом, все трое военных доберутся до штаба за три часа.

317. Какой из следующих промежутков времени наибольший: 1500 минут; 10 часов; 1 сутки.

Для сравнения промежутков времени необходимо выразить их в единицах одного наименования, например в часах.

1500 : 60 = 25 часов

1 сутки = 24 часам

Таким образом, наибольший промежуток времени равен 1500 минутам.

318. Если в некотором слове заменить буквы на номера этих букв в алфавите, то получится число 222122111121. Какое это слово?

Фуфайка.

319. Плитка шоколада состоит из 5 х 8 квадратных долек. Плитка разламывается по прямым, разделяющим дольки, до тех пор, пока не получится 40 отдельных долек. Сколько раз придется ломать плитку?

Для того чтобы разделить плитку шоколада на 40 равных долек, необходимо сначала по длине разломить её на 8 полосок. Для этого должно быть сделано 7 разломов. Далее каждую из 8 полосок разделим на 5 долек, для чего каждую полоску необходимо разломить 4 раза. Всего плитку шоколада придется ломать 28 раз (7 х 4 = 28).

320. Дан квадрат со стороной 6 см. Каждая сторона квадрата разделена точкой на два отрезка, длины которых равны 2 см и 4 см. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются построенные точки.

Площадь искомого четырехугольника равна разности площади квадрата и суммы площадей четырех прямоугольных треугольников.

Площадь квадрата равна 6 х 6 = 36 (см²). Из двух прямоугольных треугольников можно составить прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см. Площадь его будет равна 2 х 4 = 8 (см²). Таких прямоугольников у нас будет два, и их площадь равна 16 см². Таким образом, площадь четырехугольника равна 20 см² (36 – 16 = 20).

4 см B 2 см

2 см 4 см

A

С

4 см 2 см

D

321. Деятельница русской культуры, уроженка Калужской губернии княгиня Е.Р.Воронцова - Дашкова прожила 66 лет. В XVIII веке она прожила на 46 лет больше, чем в XIX веке. В каком году родилась и в каком году умерла Е.Р.Воронцова-Дашкова?

Первый способ решения.

Представим условие задачи в виде чертежа.

X VIII век

46 лет 66 лет

XIX век

1) 66 – 46 = 20 (л.);

2) 20 : 2 = 10 (л.) прожила в XIX веке;

3) 46 + 10 = 56 (л.) прожила в XVIII веке;

4)1800 – 56 = 1744 – год рождения;

5)1800 + 10 = 1810 – год смерти.

Второй способ решения.

1) 66 + 46 = 112 (л.) – прожила бы Воронцова-Дашкова, если бы в XIX веке прожила столько же, сколько в XIX веке.

2) 112 : 2 = 56 (л.) – прожила в XVIII веке;

3) 56 – 46 = 10 (л.) – прожила в XIX веке;

4) 1800 – 56 = 1744 – год рождения;

5) 1800 + 10 = 1810 – год смерти.

1744 – 1810.

322. Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45 и две средние цифры у них 97?

Числа, удовлетворяющие условию задачи, имеют вид:

а 9 7 b

В условии задачи сказано, что эти числа делятся на 45, а значит, они делятся на 5 и на 9. Из первого утверждения можно сделать вывод, что b = 0 или 5 (а 970 или а 975). Наиболее вероятный путь нахождения цифры, стоящей в разряде тысяч, - это перебор всех возможных значений а (от 1 до 9). Таким образом, получаем, что чисел, удовлетворяющих условию задачи, два – 6 975, 2 970.

323. Во втором туре олимпиады участвуют 30 человек. Во время решения задач один из учеников сделал 12 ошибок, а остальные меньше. Попробуйте доказать, что на олимпиаде имеются, по крайней мере, три ученика, сделавшие одинаковое количество ошибок.

Если мы исключим ученика, который совершил 12 ошибок, то оставшиеся 29 человек можно разбить на группы по числу допущенных ошибок: в одну группу попадают ученики, сделавшие одну ошибку, в другую попадут те, кто совершил две ошибки, и так далее, в последнюю включим тех ребят, которые совершили 11 ошибок. Можно предположить, что 22 ученика образовали 11 групп, по 2 человека в каждой, но оставшиеся 7 человек попадут в те же группы. Следовательно, в какой-то из этих групп обязательно окажется три или более ученика, которые совершили одинаковое количество ошибок. Схематически это можно изобразить так:

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

11 10 9 8 7 6 5

Можно рассуждать так: случаев разных ошибок 12, учеников 30.

30 : 12 = 2 (ост.6).

Если из 24 учеников каждые двое делали одинаковое количество ошибок, то у нас остаются еще 6 учеников. Эти 6 учеников сделают ошибки, и у трех учеников обязательно будет одинаковое количество ошибок.

324. Вставьте пропущенные знаки.

БУРЬЯН БУРЯ

ВАЛЕНОК ВЕНОК

КИОСК ИСК

Анализируя слова, записанные слева и справа от таблицы, можно заметить, что слово «буря» получается из слова «бурьян» путем удаления четвертой и шестой букв. Как раз столько кружков и нарисовано в первой строке. Проверим подмеченную закономерность на словах второй строки. Слово «венок» получается из слова «валенок» путем удаления второй и третьей букв.

Таким образом, подмеченная закономерность оказалась правильной. Применим ее к словам третьей строки. Слово «иск» получается из слова «киоск» путем удаления первой и третьей букв. Следовательно, в первый квадрат нарисуем один кружок, а во второй – три.

325. Ослику пришлось делить корм (овес и сено) с лошадью и с коровой.

Если ослик ест овес, то лошадь ест то же, что и корова.

Если лошадь ест овес, то ослик ест то, что не ест корова.

Если корова ест сено, то ослик ест то же, что и лошадь.

Кто всегда ест из одной и той же кормушки?

Речь в задаче идет о трех животных – осле, лошади, и корове, которые ели овес и сено. Нарисуем таблицу 7, в которой отразим все возможные варианты еды животными овса (О) и сена (С).

Таблица 7

Из первого условия следует, что если осел ест овес, то лошадь ест то же, что и корова. Поэтому исключаем варианты (столбики) 2 и 3.

Согласно второму условию, если лошадь ест овес, то осел ест то, что не ест корова. Это условие исключает варианты (столбики) 1 и 6.

В третьем условии говорится: если корова ест сено, то осел ест то же, что и лошадь. Это дает возможность исключить четвертый вариант (столбик).

Таким образом, получаем 5, 7 и 8 варианты, которые не противоречат всем трем условиям. Из них следует, что только ослик ест из кормушки с сеном.

Ослик ест всегда из кормушки с сеном.

326. Расставьте порядок действий в выражении 1891 – (1600 : а + 8040 : а) х с и вычислите его значения при а = 40 и с = 4. Покажите, как можно изменить выражение, не меняя его числового значения.

5 1 3 2 4

1891 – (1600 : 40 + 8040 : 40) х 4 = 1891 – (40 + 201) х 4 =

= 1891 – 241 х 4 = 1891 – 964 = 927.

Опираясь на свойства арифметических действий, можно записать:

1891 – (1600 : а + 8040 : а) х с = 1891 – (8040 : а + 1600 : а) х с=

= 1891 – ((1600 + 8040) : а) х с = 1891 – (1600 :а) х с – (8040 : а) х с =

= 1891 – (1600 х с) : а - 8040 х с) : а = 1891 – (1600 х с + 8040 х с) : а.

327. Каждый из трех греков принес одинаковое количество венков, встретив девять муз, они разделили венки таким образом, что каждый грек и каждая муза имели одинаковое количество венков. Сколько венков имел каждый грек сначала?

Наименьшее количество венков, которое каждый грек и муза могли получить после деления, - один. Тогда венков у муз было 9, а греки всего принесли 12 венков (3 + 9 = 12), причем у каждого грека было по 4 венка (12 : 3 = 4). Если бы все получили по 2 венка, то всего венков у муз было бы 18 (2 х 9 = 18). И греки в этом случае принесли бы 24 венка (18 + 2 х 3) = 24, а каждый грек принес бы по 8 венков (24 : 3 = 8). Если бы все получили по m венков, то у муз всего венков было бы 9m, а греки тогда принесли бы всего 12 m (3m + 9m = 12 m) венков, а каждый грек принес бы 4m венков (12m : 3 = 4m.

4m венков, где m = 1, 2, 3, …

328. В 2001 году отмечалось 180-летие со дня рождения знаменитого русского математика П.Л.Чебышева. За выдающиеся научные достижения он был удостоен многочисленных наград, в частности, президент Франции наградил его высшей наградой – Командорским крестом Почетного легиона. Определите год, когда это произошло, если известно, что сумма цифр в разрядах тысяч и сотен в записи этого числа равна сумме цифр в разрядах десятков и единиц. Кроме того, это число делится на 3 и 5 и цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц.

Первый способ решения.

Из первого условия («*в 2001 году отмечалось 180-летие») следует, что год, в который наградили П.Л.Чебышева Командорским крестом, имеет вид 18 ас. Второе условие говорит о том, что суммы цифр, входящих в разряд тысяч и сотен (1 + 8 = 9), и цифр, стоящих в разрядах десятков и единиц (а + с), равны, то есть, а + с = 9. Так как это числа делится на 5, то оно заканчивается 5 или 0 (с = 5 или с = 0) и, следовательно, цифра десятков – 4 или 9. С учетом этих условий получаем два числа: 1845 и 1890. В силу того, что цифра десятков больше цифры единиц, получаем год вручения Командорского креста – 1890-й.

Второй способ решения.

2001 – 180 = 1821 (г.) – родился П.Л.Чебышев. Значит, ему дали орден в XIX веке. Известно, что сумма цифр сотен и тысяч равна сумме цифр десятков и единиц. Значит, это могут быть числа 1854, 1845, 1872, 1881, 1863, 1836, 1890. Еще известно, что цифра разряда десятков больше цифры, стоящей в разряде единиц. Значит, подходят числа 1854, 1872, 1881, 1863, 1890. Нам известно, что это число делится на 5. Значит – 1890 год.

329. Ворона и попугай измеряют удава, длина которого 3 м 60 см, шагами. Длины шагов птиц различны, а время, потраченное на измерение, одинаковое. Измерять удава они начали одновременно и, пока прошли все расстояние, встретились 20 раз. Шаг вороны 6 см. Найдите длину шага попугая, если во время каждой встречи им было сделано на 1 шаг меньше, чем вороной.

1) 360 : 6 = 60 (шагов) – сделала ворона;

2) 60 – 20 = 40 (шагов) – сделал попугай;

3) 360 : 40 = 9 (см) – длина шага попугая.

330. Задача Евклида.

Мул и осел с вьюком по дороге с мешками шагали,

Жалобно охал осел непосильною ношей придавлен.

Это подметивший мул обратился к попутчику с речью:

«Что ж, старина, ты заныл и рыдаешь, будто девчонка?

Нес бы вдвойне я, чем ты, если б отдал одну ты мне

меру,

Если ж бы ты у меня лишь одну взял, то мы бы

сравнялись»

Сколько нес каждый из них, о геометр, поведай нам это.

Рассмотрим решение этой задачи двумя способами: арифметическим и алгебраическим.

Первый способ решения. Представим условие задачи в виде чертежа.

М

О 1 1

Из чертежа видно, что мул нес 7 мер (4 х 2 – 1 = 7), а осел 5 мер (4 + 1 = 5).

Второй способ решения. Каждое из условий задачи представим в виде равенства:

М + 1 = 2 х (О – 1) и М – 1 = О + 1.

Из второго равенства можно выразить М: М = О + 2 и, подставляя его в первое равенство, получим:

О + 3 = 2 х О – 2;

О = 5.

Используя тот факт, что М = О + 2, найдем М : М = 7.

Мул нес 7 мер, а осел – 5 мер.

331. Знаменитый русский математик А.Я.Хинчин родился и жил в детстве в г .Кондрово. Он прожил 65 лет. В XX веке он прожил на 53 года больше, чем в XIX веке. В каком году родился А.Я..Хинчин?

Представим условие задачи в виде чертежа.

XIX век 53 года

XX век 65 лет

1) 65 – 53 = 12 (лет);

2) 12 : 2 = 6 (лет) – прожил Хинчин в XIX веке:

3) 53 + 6 = 59 (лет) – прожил Хинчин в XX веке;

4) 1900 – 6 = 1894 – год рождения.

А.Я.Хинчин родился в 1894 году.

332. Сумма баллов за произвольную программу на Олимпийских играх в Турине русской фигуристки Ирины Слуцкой и американской фигуристки Саши Козн равна 270. Сколько баллов получила Ирина Слуцкая, если известно, что она получила в два раза больше баллов, чем американская фигуристка?

180 баллов.

333. Название города, расположенного на левом берегу Днестра, по одной из легенд происходит от названия лодок «дубассы», на которых переправлялись через реку. Известно, что этот город был основан на 90 лет раньше Тирасполя. А через 252 года после его основания на его территории была построена ГРЭС. О каком городе идет речь? В каком году и для каких целей была построена ГРЭС?

г. Дубоссары основан в 1702 году, в 1954 году была построена ГРЭС.

334. Названия города Приднестровья, расположенного на левом берегу Днестра, обозначает «большая яма, где хранится рыба». Что за город, и в каком году он был основан, если известно, что год его основания – четырехзначное число, сумма цифр которого равна 17. Цифра разряда тысяч это самое маленькое натуральное число, цифра разряда сотен на 5 больше цифры разряда тысяч, а цифра разряда десятков в 2 раза больше цифры разряда тысяч?

г. Бендеры основан в 1657году.

335. Александр Васильевич Суворов, выдающийся российский полководец, еще, будучи мальчиком, приобщался к военному делу. Он упражнялся со шпагой, стрелял по мишеням, скакал на коне. Однажды трое мальчиков, среди которых был и Александр, мчались на добрых конях до самой околицы.

- Ну, Александра!, – крикнул Микеша. – Ты опять обогнал меня и Ярослава на Воронке. А все только потому, что твой Геркулес резвее наших коней.

- Ты не прав! – ответил Александр. Наши кони одинаковые – трехлетки. С конями тоже уметь надо.

- Так давай поменяемся!

Мальчики поменяли коней. Теперь Александр сел на Воронка. Поскакали, и Александр опять обогнал. В третий раз поменялись конями. Александр снова оказался впереди.

На каком коне выступал каждый мальчик в каждом заезде, если кличка третьего коня Прометей?

Александр ехал на Геркулесе, Ярослав – на Воронке, Микеша – на Прометее.

336. (Текст задачи дан по Л. Толстому.) У двух торговок было по 30 слив. Первая продавала по две сливы за копейку, вторая – по три сливы за копейку. Однажды они решили сложить сливы и продавать по 5 штук за две копейки. Сколько же выручили? Или ничего не выручили?

Сначала торговки продавали сливы за 30 : 2 + 30 : 3 = 25 (коп.), а затем – за 60 : 5 ^. 2 = 24 (коп.), т.е. они получили на 1 коп. меньше.

337. В городе Умников имеется 4 улицы, причем каждая пересекается с тремя другими. Никакие три не пересекаются в одном месте, и на каждом перекрестке есть светофор. Сколько светофоров в этом городе?

В этом городе 6 перекрестков, следовательно, и 6 светофоров.

338. Умеешь ли ты правильно писать математические термины? Вставь в слова пропущенные буквы:

п_рим_тр, _трезок, _д_ница, ми_иард, ур_нен_е, н_ль, су_а, к_рд_ната, п_р_лл_л_пип_д.

Периметр, отрезок, единица, миллиард, уравнение, ноль или нуль, сумма, координата, параллелепипед.

339. В деревне Простоквашино на почтовом ящике написано: «Выемка писем 5 раз в день с 7 ч до 19 ч». Первый раз Печкин подходит к ящику в 7 ч утра, а последний – в 7 ч вечера. Через какие интервалы времени он вынимает письма?

Почтальон Печкин вынимает письма через 3 ч.

340. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в Ваших корзинах?». – «В моей корзине половина числа рыб, находящихся в корзине у него, да еще 10», – ответил первый. «А у меня в корзине, сколько рыбы, сколько у него, да еще 20», – сказал второй. Сколько же рыб было у обоих рыбаков вместе?

У обоих рыбаков вместе 100 рыб.

341. Москва старше Санкт-Петербурга на 556 лет. В 1981 году Москва была втрое старше Санкт-Петербурга. В каком году основана Москва и в каком – Санкт-Петербург?

Москва основана в 1147 г., а Санкт-Петербург – в 1703 г.

342. На базе 5 бочек, полных бензина, 11 бочек полупустых и 8 бочек пустых. Как разделить эти бочки между тремя предприятиями так, чтобы они получили поровну и бензина и бочек?

Первое предприятие получило 2 полные бочки,3 полупустые и 3 пустые; второе – 2 полные бочки, 3 полупустые и 3 пустые; третье – 1 полную, 5 полупустых и 2 пустые.

343. Марина обратила внимание, что, если прикрыть рукой половину циферблата наручных часов, то сумма закрытых чисел будет равна сумме оставшихся открытыми. Какие числа прикрыла Марина?

10 + 11 + 12 +1 + 2 + 3 = 4 + 5 +6 +7 +8 +9 =39.

344. От кенгуру из Австралии получена шифровка 12342562756278. В ней разные цифры обозначают разные буквы, а одинаковые цифры – одинаковые буквы. Что могло быть написано в шифровке: думай и трудись, гуляй и отдыхай, привет от Кенги, вперед к победам, мой вопрос прост?

Мой вопрос прост.

345. Старый гном разложил свои сокровища в три разноцветных сундука, стоящие у стены. В один он положил драгоценные камни, в другой – золотые монеты, а в третий – магические книги. Гном запомнил, что красный сундук правее, чем драгоценные камни, а магические книги правее, чем красный сундук. В каком сундуке лежат магические книги, если зеленный сундук стоит левее, чем синий?

Магические книги лежат в синем сундуке.

346. Утверждают, что 15 мин смеха заменяют 200г сметаны. Сколько килограммов и граммов сметаны можно бесплатно захохотать с 9 ч утра до 9 ч вечера?

9 кг 600 г.

347. Шел солдат по дороге, отвоевал свое, а теперь держит путь к дому. Навстречу ему старая ведьма.

- Добрый вечер, служивый! – молвила она. – Ишь сабля-то у тебя славная какая и ранец-то, какой большой! Только денег у тебя нет.

- Это верно.

- Хочешь расскажу, где взять?

- Буду премного благодарен, - ответил солдат.

- Иди прямо на север по этой дороге. Дойди до башни и сверни налево, пройди столько же через дремучий лес. Затем сверни на юг и по топкому болоту пройди путь в два раза короче того, что был пройден, считая от места где мы стоим. Выйдешь на тропинку – она проходит под прямым углом к пути по болоту. Иди дальше по тропинке налево, на этот раз твой путь будет в три раза короче, чем пройденный. В конце пути – клад!

Стоит ли идти солдату по этому маршруту? Как ты думаешь, что ответил солдат?

Солдат ответил, что он придет на то же самое место, так как ведьма указала путь вдоль сторон квадрата.

348. Илья Муровец, Добрыня Никитич, Алеша Попович вступили в бой с несколькими великанами. Каждый великан получил по три удара богатырскими палицами. В результате чего все великаны обратились в бегство. Больше всех ударов нанес Илья Муровец – 7, меньше всех Алеша Попович – 3. Сколько всего было великанов?

Между числами 3 и 7 находятся числа 4, 5, 6.Число всех ударов должно делиться на 3, это 3 + 7 + 5= 15 (ударов), 15 : 3 = 5 (великанов).

349. Скорость велосипедиста в 5 раз меньше скорости автомобиля. Велосипедист проехал расстояние от своего села до железнодорожной станции за 2 ч. За сколько минут можно проехать это расстояние на автомобиле?

24 мин.

Дополни условие задачи данными, чтобы она решалась двумя способами. 350. Теплоход был в пути один день – а часов, а другой день – в часов. Всего за два дня теплоход прошел с км. Сколько км полностью прошел теплоход в каждый из этих двух дней, если он все время шел с одинаковой скоростью?

с : (а + в )= а км; с: (а + в) = в км.

351. Шоссе проходит через с. Малаешты и г. Григориополь, расстояние между которыми 28 км. Пешеход вышел из г. Григориополь и идет по шоссе со скоростью 4 км/ч. На каком расстояние от села, он будет через 3 ч?

Измени условие задачи так, чтобы было одно решение.

28 + 4 ·3 км; 28 – 4 ·3 км.

352. Скорость распространение звука в воздухе равна 340 м/с. После вспышки молнии Марина услышала гром через 6 с. Точка, где ударила молния, находится от Марины на расстоянии больше, чем 2 км 50 м?

Нет, точка находится на расстояние 2км 40м.

353. Пешеход прошел с одной и той же скоростью 4 км. Какой путь может пройти лыжник, если его скорость в 2 раза больше скорости пешехода, а время движения в 3 раза больше?

24 км.

354. Туристы проплыли на пароходе 400 км, что в 8 раз больше того, что они проехали на лошадях, и во сколько же раз меньше, чем на поезде. Скорость парохода составляла 25 км/ч, лошади – 10 км/ч, поезда – 80 км/ч. Сколько времени продолжался путь?

61 час.

355. Какова скорость поезда, если за 5 ч он прошел на 120 км больше, чем за 3 ч при той же скорости?

60 км/ч.

356. Из города А в город Б одновременно вышли две машины: первая со скоростью 60 км/ч, а вторая со скоростью 45 км/ч. Когда первая прибыла в Б, вторая находилась еще на расстояние 45 км от Б. Найди расстояние от А до Б.

180 км.

357. Велосипедист рассчитал, что, находясь ежедневно по 6 ч в пути, он пройдет 390 км за 5 дней. По сколько часов ежедневно он должен быть в пути, чтобы за 4 дня проехать 416 км при той же средней скорости передвижения?

8 часов.

358. Поезд проходит данное расстояние за 10 ч. Если скорость поезда увеличить на 10 км в час, то на прохождение этого пути он затратит 8 ч. Определите скорость поезда и данное расстояние.

40 км/ч; 400 км.

359. Поезд проходит туннель длиной 450 м за 45 с и за 15 с проходит мимо телеграфного столба. Определите длину поезда и его скорость.

225 м; 15 м/с.

360. Поезд прошел расстояние между двумя станциями за 3 дня, находясь ежедневно в пути по 18 ч. Если бы поезд находился ежедневно в пути по 22 ч 30 мин и проходил в 1 ч на 11 км больше, то он мог бы пройти то же расстояние за два дня. Найди расстояние между станциями.

2 970 км.

361. Скорость автомобиля превышает скорость поезда на 9 км/ч, а сумма скоростей равна 99 км/ч. Путь в 1332 км туристом пройден так, что на каждые 5 ч движения поездом приходилось 2 ч движения на автомобиле. За сколько часов турист пройдет весь путь?

28 ч.

362. Крестьянин шел из деревни в город со средней скоростью 3 км/ч. Обратно он ехал на лошади со средней скоростью 6 км/ч. На весь путь туда и обратно он потратил 9 ч. Определить расстояние от деревни до города.

18 км.

363. Задача барона Мюнхгаузена. Когда моя любимая лошадь подворачивает ногу, я обычно взваливаю ее на себя, и мы продолжаем движение, но медленнее: Когда я вверху, наша скорость 12 км/ч, а когда я внизу – 3 км/ч. Какой путь мы проделали с лошадью, если она меня несла 2 ч, а я её – 15 мин?

24 км 750 м.

364. Молодой человек прошел путь длиною 80 км за 4 ч пешком и 4 ч на велосипеде. Зная, что скорость на велосипеде была в 3 раза больше его скорости пешком, найти их.

15 км/ч; 5 км/ч.

365. Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного летит 3 дня. Дикий гусь от северного моря до южного летит 6 дней. Если дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно, то через сколько дней они встретятся?

Через 2 дня.

366. Старинная задача. Между двумя городами расстояние 600 верст. Из этих городов одновременно навстречу друг другу вышли два гонца и встретились через 15 дней. Сколько верст в день прошёл каждый, если один из пешеходов проходил на 8 верст в день больше, чем другой?

1) 600 : 15 = 40 (верст в день) скорость сближения гонцов.

2) 40 – 8 = 32 (верст в день) – удвоенная скорость второго гонца;

3) 32 : 2 = 16 (верст в день) – скорость второго гонца;

4) 40 – 16 = 24 (верст в день) – скорость первого гонца.

24 верст в день; 16 верст в день.

367. Два береговых краба поползли одновременно навстречу друг другу. За 1 мин они приближались друг к другу на 24 м. С какой ско­ростью полз каждый краб, если скорость одного из них в 3 раза боль­ше, чем скорость другого?

18 м/мин; 6 м/мин.

368. Два береговых краба поползли навстречу друг другу. Скорость первого на 10 м/мин больше, чем скорость второго. Найти скорость каждого краба, если скорость первого в 3 раза больше, чем скорость второго?

15 м/мин; 5 м/мин.

369. Две гремучие змеи из своих укрытый поползли одновременно навстречу друг другу и встретились через 9 мин. Скорость одной змеи в 4 раза больше, чем скорость второй, или на 36 м/мин больше, чем скорость второй. Найти расстояние между укрытиями.

540 м.

370. Из двух городов, расстояние между которыми 600 км, выеха­ли одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Через 3 ч между ними осталось расстояние, которое было на 180 км больше пройденного ими. Найти скорость каждого мотоциклиста, если известно, что скорость одного из них была на 10 км/ч больше скорости другого.

40 км/ч; 30 км/ч.

371. Расстояние между городами составляет 270 км. Из них одно­временно в противоположных направлениях вышли два поезда: из пер­вого города пассажирский со скоростью 50 км/ч, а из второго – товар­ный со скоростью 40 км/ч. Когда поезда поравняются (встретятся)?

Если поезда едут навстречу друг другу, то они встретятся через 3 часа. Если поезда едут в противоположных направлениях на удаление друг от друга, то они никогда не встретятся.

372. Из Тирасполя и Рыбницы отправились одновременно навстре­чу друг другу велосипедист и пешеход. Они встретились через 6 ч. Велосипедист приехал в Рыбницу через 3 ч после встречи. За сколько часов пешеход может пройти расстояние от Рыбницы до Тирасполя?

За 18 часов.

373. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 300 км, и через 2 ч встретились. Определи скорость каждого автомобиля, если один ехал быстрее другого на 10 км/ч.

70 км/ч; 80 км/ч.

374. Расстояние между товарными станциями А и В 510 км. В 7 ч утра из А в В вышел грузовой автомобиль без прицепа со скоростью 50 км/ч, а в 10 ч дня из В в А вышел грузовой автомобиль с прицепом со скоростью 40 км/ч. В котором часу и на каком расстоянии от стан­ции А они встретились?

В 14 ч встретятся, на 350 км от А.

375. Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 1015 км. Первый поезд проходил 65 км/ч, а второй на 10 км меньше. До места встречи первый поезд прошел 520 км. Какой поезд вышел раньше и на сколько?

Второй поезд вышел на 1 ч раньше.

376. В 8 ч утра из двух поселков навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста 50 км/ч, второго – 40 км/ч. Первый мотоциклист достиг поселка, из которого выехал вто­рой, в 10 ч утра. На каком расстоянии от поселка, из которого выехал первый мотоциклист, находился в это время второй?

На 20 км.

377. Из двух городов выехали одновременно навстречу друг дру­гу два автомобиля. Они сближались на 150 км/ч. Первый прошел до встречи 210 км, второй – 240 км. Какова скорость каждого автомоби­ля, если до встречи они были в пути одинаковое время?

70 км/ч; 80 км/ч.

378. Расстояние между городами А и В 600 км. Из города А в го­род В вышел грузовой поезд и одновременно навстречу ему из горо­да В вышел пассажирский поезд. Все расстояние грузовой поезд про­шел за 15 ч, а пассажирский за 10ч. Через сколько часов после выхо­да поезда встретились?

6 ч.

379. От противоположных берегов реки одновременно навстречу друг другу отплыли два пловца. Первый плывет со скоростью 30 м/мин, второй – 50 м/мин. Между пловцами все время курсирует моторная лодка: от первого пловца ко второму и обратно и т.д. Скорость лодки 18 км/ч. Какое расстояние прошла лодка до момента встречи пловцов, если расстояние между берегами в этом месте 800 м?

3 км.

380. Два охотника с одинаковой скоростью вышли навстречу друг другу. Расстояние между ними было 1200 м. С одним охотником была собака, которая бежала в 5 раз быстрее, чем шел охотник. Собака бе­жала от одного охотника к другому, а затем обратно. Сколько метров пробежала собака, если охотники встретились через 10 мин?

3000 м.

381. Из двух деревень навстречу друг другу одновременно вышли два лыжника. Через 2 мин расстояние между ними стало 500 м. На каком рас­стоянии находятся деревни, если скорость одного лыжника 200 м/мин, а другого – 300 м/мин?

1500 м.

382. Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из двух городов. Встреча состоялась через 2 ч. Первый автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. Второй автомобиль проехал до встречи на 40 км больше первого. Найди скорость второго автомобиля и рассто­яние между городами.

80км/ч; 280км.

383. Из двух городов, расстояние между которыми 996 км, вышли навстречу друг другу два поезда. Первый поезд вышел на 6 ч раньше и шел со скоростью 70 км/ч. Поезда встретились через 4 ч после вы­хода второго поезда. С какой скоростью шел второй поезд?

74 км/ч.

384. Из двух городов, удаленных друг от друга на 1680 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд прохо­дит все это расстояние за 21 ч, а второй поезд – за 28 ч. Через сколь­ко часов поезда встретятся?

12 ч.

385. Со станции А отправился пассажирский поезд со скорос­тью 48 км/ч, а за 2 ч до этого навстречу ему со станции Б отошел то­варный поезд, скорость которого на 12 км/ч меньше первого. На каком расстоянии от А будет товарный поезд в тот момент, когда пассажирский прибудет в Б, если расстояние от А до Б равно 576 км?

72 км.

386. Из города в село вышел пешеход. Через 2 ч из села навстре­чу пешеходу выехал велосипедист. Пешеход до встречи прошел 20 км за 5 ч. Расстояние между селом и городом 50 км. На сколько больше скорость велосипедиста, чем скорость пешехода?

На 6 км/ч.

387. Из посёлка к турбазе вышла группа туристов со скорос­тью 5 км/ч. Через некоторое время с турбазы навстречу первой вышла вторая группа со скоростью 4 км/ч. Первая группа с начала пути до встречи шла 5 ч. Расстояние между базой и поселком 41 км. Сколько времени в пути до встречи была вторая группа туристов?

4 ч.

388. Из городов А и В, расстояние между которыми 540 км, в 4 ч утра вышли навстречу друг другу грузовой и легковой автомобили. Встреча произошла в 10 ч утра, причем легковой автомобиль прошел на 108 км больше, чем грузовой. В котором часу каждый автомобиль прибудет к месту назначения, продолжая путь с прежней скоростью?

19 ч; 14 ч.

389. Расстояние между пунктами А и Б 84 км. В 7 ч утра из А вы­ехал велосипедист, а в 9 ч утра навстречу ему из Б выехал на лошади фермер, проезжая за 3 ч столько же, сколько велосипедист за 2 ч. Встреча произошла в 12 ч дня. Определите скорость того и другого.

12 км/ч; 8 км/ч.

390. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из двух го­родов, находящихся на расстоянии 206 км. Первый проезжает в каждые 3 ч 30 км, второй за это же время проезжает 36 км. Сколько километ­ров проедет до встречи каждый из велосипедистов, если второй выехал на 3 ч позже первого?

110 км; 96 км.

391. Два мальчика одновременно побежали навстречу друг другу по спортивной дорожке, длина которой 480 м. Когда они встретились, первый пробежал на 80 м больше, чем второй. С какой скоростью бе­жал каждый мальчик, если они встретились через 40 с?

5 м/с; 7 м/с.

392. Из подъезда одновременно вышли два человека. Скорость перво­го 90 м/мин, а второго 80 м/мин. Через 3 мин между ними было 510 м. Можно ли сказать, что они шли в противоположных направлениях?

Да.

393. Две моторные лодки отошли от пристани одновременно в проти­воположных направлениях. Через 2 ч расстояние между ними было 66 км. Найти скорость второй лодки.

V₂ = 33 – V_1.

394. С автобазы выехал автомобиль со скоростью 74 км/ч. Через 3 ч, с той же автобазы в противоположном направлении выехал автобус. Через 5 ч после выхода автобуса расстояние между ними стало 892 км.

Какова скорость автобуса?

60 км/ч.

Измените вопрос задачи так, чтобы она решалась в 5 действий.

395. Два всадника находились на расстоянии 160 м. Они разъезжают­ся одновременно в разные стороны друг от друга со скоростями 3 м/с и 2 м/с. Какое расстояние будет между ними через 16 с?

240 м.

396. От двух пристаней двинулись одновременно в разные сторо­ны друг от друга два катера со скоростями 9 м/с и 7 м/с. Через 12 с расстояние между ними увеличилось до 320 м. Каково было расстоя­ние между ними вначале?

128 м.

397. Скорость полета ласточки 23 м/с, а орла 1800 м/мин. Сможет ли орел догнать ласточку, если между ними расстояние 14м?

Орел сможет догнать ласточку.

398. Шерлок Холмс выбежал за преступником в 7 ч утра. Сможет ли он догнать преступника к 2 ч дня, если скорость Шерлока Холмса 8 км/ч, скорость преступника 6 км/ч, а первоначальное расстояние между ними составляет 12000 м?

Шерлок Холмс догонит преступника в час дня.

399. Петя стал догонять Олю, когда она находилась от него на рас­стоянии 840 м и догнал ее через 6 мин. На сколько скорость Пети боль­ше скорости Оли? Найти скорость Оли, если ее скорость в 3 раза мень­ше, чем скорость Пети.

На 140 м/мин; 70 м/мин.

400. Из города Кишинев вышел поезд со скоростью 48 км/ч. Двумя часами позже за ним вышел второй поезд, скорость которого на 8 км/ч больше скорости первого поезда. На каком расстоянии от отправного пун­кта второй поезд догонит первый, если расстояние между городами 1200 км, а в первом поезде вдвое больше вагонов, чем во втором?

На 672 км.

401. Старинная задача. Собака погналась за лисицей, которая была от нее на расстоянии 30 м. Скачок собаки 2 м, скачок лисицы 1 м. В то время, как лисица делает 3 скачка, собака делает только 2 скачка. Догонит ли собака лисицу? Сколько скачков она должна сделать? Ка­кое расстояние пробежит собака?

1) 2 м · 2 = 4 (м/ед. времени) – скорость собаки;

2) 1 м · 3 = 3 (м/ед. времени) – скорость лисицы;

3) 4 – 3 = 1 (м/ед. времени) – скорость сближения;

4) 30 : 1= 30 (ч) – время догонки;

5) 4 · 30 = 120 (м) – расстояние, которое пробежала собака до встречи;

6) 120 : 2 = 60 – количество скачков собаки.

60 скачков; 120 метров.

402. Два конькобежца стартовали на дистанции 8000 м по замкнутой дорожке длиной 400 м. Скорость одного 380 м/мин, другого – 400 м/мин. Обгонит ли второй конькобежец первого на круг до конца дистанции?

Да.

403. Первая группа туристов вышла с турбазы. Группа проходила в день по 24 км. Через некоторое время вторая группа туристов с той же базы отправилась в том же направлении и проходила 36 км в день. Обе группы прибыли к месту назначения одновременно. На сколько дней раньше вышла первая группа, если длина маршрута 144 км?

2 дня.

404. С лыжной базы вышла лыжница. Через 20 мин после того, как она прошла 3000 м, с этой же базы в том же направлении вышел лыж­ник и догнал ее на расстоянии 7500 м от базы. Найдите скорость лыжницы и лыжника.

150 м/мин; 250 м/мин.

405. Из поселка вышел пешеход. Через 30 мин после того, как он прошел 2100 м, из того же поселка в том же направлении выехал ве­лосипедист и догнал пешехода на расстоянии 3150 м от поселка. Най­дите скорость пешехода и велосипедиста.

70 м/мин; 210 м/мин.

406. Девочка проплыла 100-метровую дистанцию со скоростью 20 м/мин. Мальчик поплыл через некоторое время со скоростью 25 м/мин. Дети приплыли к финишу одновременно. На каком расстоянии от стар­та находилась девочка, когда стартовал мальчик?

20 м.

407. С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч. Через 30 мин вслед за ним вышла легковая автомашина со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда легковая автомашина будет впере­ди автобуса на 45 км?

5 ч.

408. В направлении от города А к городу В летят самолет и верто­лет. Вначале первый был позади второго на расстоянии 600 км. Ско­рость самолета составляет 9 км/мин, а скорость вертолета – 3 км/мин. Каково будет расстояние между ними через 20 мин?

480 км.

409. Собака гонится за лисицей со скоростью 750 м/мин, а лисица убегает от нее со скоростью 800 м/мин. С какой скоростью изменяется расстояние между собакой и лисицей? Каким оно станет через 8 мин, если сейчас между собакой и лисицей 600 м?

50 м/мин; 200 м.

410. Два парохода вышли в одном направлении из одного и того же порта - один в 7 ч 30 мин, а другой в 15 ч 30 мин того же дня. Какое расстояние будет между пароходами в 24 ч того же дня, если извест­но, что первый пароход проходит в среднем 18 км/ч, а второй 20 км/ч?

127 км.

411. Два велосипедиста выехали одновременно из поселка в спортив­ный лагерь. Один ехал со скоростью 14 км/ч, а второй – 17 км/ч. Через 3 ч второй велосипедист проколол камеру, поэтому дальше шел пеш­ком со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии от посёлка первый ве­лосипедист догонит второго?

56 км.

412. Старинная задача. Два ямщика выехали одновременно из од­ного города в другой. Первый ехал со скоростью 12 верст/ч и приехал на место на 2 ч раньше, чем другой. Какое расстояние между города­ми, если скорость второго ямщика 9 верст/ч?

72 км.

413. Из двух поселков, расстояние между которыми 40 км, одновре­менно в одном направлении вышли два автобуса со скоростью 60 км/ч и 50 км/ч, причем первый автобус догоняет второй. Через сколько часов расстояние между автобусами будет равно 10 км?

3 ч.

414. Теплоход «Ракета» плывет по реке со скоростью 55 км/ч. Впере­ди теплохода плывет баржа со скоростью 25 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч, если сейчас баржа находится впереди теплохода на 60 км? Реши задачу двумя способами.

30 км.

415. Расстояние между городами 210 км. Из них одновременно выш­ли два поезда: первый со скоростью 60 км/ч, а второй со скоростью 45 км/ч. Когда поезда поравняются? Найди все четыре варианта решения.

Так как в задаче не указано направление движения поездов, то будем исследовать все четыре варианта решения:

а) когда поезда едут в противоположных направлениях навстречу друг друга. Тогда они встретятся через 2 часа;

б) когда поезда едут в противоположных направлениях на удаление друг от друга. Тогда поезда никогда не встретятся;

в) когда поезда едут в одном направлении, притом первый догоняет второго. Тогда поезда встретятся через 14 часов;

г) когда поезда едут в одном направлении, притом второй поезд догоняет первого. Тогда они никогда не встретятся.

416. Из двух деревень, расстояние между которыми равно 67 км, выехали в одном направлении одновременно два велосипедиста. Каждый час расстояние между ними увеличивалось на 4 км. Найдите время, через которое расстояние между велосипедистами будет составлять 91 км.

6 часов.

417. Из двух поселков, расстояние между которыми составляет 80 км, выехали в одном направлении одновременно два мотоциклиста. Скорость первого мотоциклиста – 55 км/ч, скорость второго – 75 км/ч. Расстояние между мотоциклистами увеличилось. Найдите расстояние, которое будет между мотоциклистами через 5 часов.

180 км.

418. От заправочной станции отъехал грузовик, скорость которого равна 40 км/ч. Через некоторое время вслед за ним проехал автобус, скорость которого была на ½ больше скорости грузовика. Через 2 часа после того как автобус уехал с заправочной станции, он догнал грузовик. Найдите время, на которое автобус задержался на заправочной станции после отъезда грузовика.

1 час.

419. Старинная задача. Один воин вышел из города и проходил по 12 верст в день, а другой вышел одновременно с ним и шел в том же направ­лении таким образом: в первый день прошел 1 версту, во второй день – 2 версты, в третий день – 3 версты, в четвертый день – 4 версты, в пятый день – 5 верст и так прибавлял в каждый день по одной версте пока не настиг первого. Через сколько дней второй воин настигнет первого?

На двенадцатый день скорость второго воина будет 12 верст в день, а между ними будет 12·12- (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)=66 верст. Затем расстояние будет сокращаться, пока не станет нулевым, т. е. 66-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11=0. Второй воин достигает первого на 23 день, т.е. 12дней + 11дней.

420. По течению реки крейсер проплыл 360 км за 9 ч, а против те­чения – за 10ч. Чему равна скорость течения реки?

2км/ч.

421. Катер отошел от пристани и двинулся по течению реки. Через 3 ч он повернул обратно и двигался против течения такое же время. На каком расстоянии от пристани он оказался, если скорость катера в стоячей воде 32 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?

I способ: (32 + 2) · 3 – (32 - 2) ·3;

II способ: ((32 + 2) – (32 - 2)) ·3;

III способ: (2 + 2) · 3.

422. От пристани Чобручи вниз по течению отправился плот со скоростью 2 км/ч, а через 4 ч от этой же пристани в том же направ­лении отправилась лодка на веслах, которая догонит плот через 1 ч. Какова скорость лодки на веслах в стоячей воде?

8 км/ч.

423. Отец и сын плывут на лодке против течения реки со скорос­тью 10 км/ч. Сын неожиданно уронил шляпу в воду и ничего не ска­зал отцу. Только через 1 ч отец заметил, что сын без шляпы и повер­нул обратно. Через сколько часов они смогут поймать шляпу, если скорость течения реки 2 км/ч?

1) 10 + 2 = 12 (км) – расстояние между шляпой и лодкой через 1 ч;

2) 10 + 2 + 2 = 14 (км/ч) – скорость лодки по течению реки;

3) 14 – 2 = 12 (км/ч) – скорость сближения (догонки) лодки и шляпы;

4) 12 : 12 = 1 (ч) – время через которое отец споймает шляпу.

424. Пароход плывет по течению реки со скоростью 32 км/ч, а про­тив течения реки со скоростью 28 км/ч. Найди скорость парохода в стоячей воде и скорость течения реки.

30 км/ч; 2 км/ч.

425. Рыбак плыл по озеру на моторной лодке и наклонившись, уронил шляпу в воду. Какое расстояние ему нужно проплыть обрат­но, чтобы забрать шляпу спустя 2 ч после ее потери, если скорость лодки 25 км/ч.

50 км.

426. Моторная лодка прошла 30 км против течения реки за 2 ч. Най­ди скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 2 км/ч.

17 км/ч.

427. От причала против течения реки отправилась лодка. Через 2 ч от того же причала по течению реки отправился плот со скоростью 3 км/ч. Через 3 ч после выхода плота расстояние между ними составило 29 км. Найди скорость лодки в стоячей воде.

7 км/ч.

428. От двух пристаней, расстояние между которыми 480 км, одно­временно отошли навстречу друг другу два быстроходных катера. Их скорость в стоячей воде 60 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Через сколько часов катера встретятся?

4 ч.

429. Расстояние от Нижнего Новгорода до Астрахани по Волге равно 2240 км. Из этих городов в одно и тоже время вышли навстречу друг другу два теплохода. На каком расстоянии один от другого будут теплоходы че­рез 10 ч после выхода, если один из них шел со скоростью 38 км/ч, а дру­гой – 34 км/ч? С какой скоростью течет река Волга?

150 км; 3 км/ч.

430. Собственная скорость самолета 580 км/ч. Скорость ветра вдоль трассы 20 км/ч. Сколько времени понадобится самолету на полет из одно­го города и обратно, если города находятся друг от друга на расстоянии 8400км?

29 ч.

431. С какой скоростью движется эскалатор, если человек идет вниз по опускающему эскалатору со скоростью 5400 м/ч, а поднимается вверх по тому же эскалатору, идущему в противоположном направле­нии, со скоростью 3000 м/ч?

1200 м/ч.

432. Две моторные лодки плыли по реке Днестр и поломались когда находились на расстоянии 30 км друг от друга. Первую лодку сразу починили, и она поплыла дальше со скоростью в стоячей воде 24 км/ч, а вто­рую лодку починили через час. Какое расстояние было между ними в момент отправления второй лодки, если река течет со скоростью 2 км/ч?

При решении данной задачи надо рассмотреть все случаи:

а) течение реки слева направо и первая лодка движется дальше по течению реки: (30 – 2) + (24 + 2) = 54 (км);

б) течение реки слева направо и первая лодка движется против течения реки: (30 – 2) – (24 – 2) = 6 (км);

в) течение реки справа налево и первая моторная лодка движется против течения реки: (30 + 2) + (24 – 2) = 54 (км);

г) течение реки справа налево и первая лодка движется по течению реки: (30 + 2) – (24 + 2) = 6 (км).

433. Имеются одинаковые паркетные плитки в форме треугольника с прямым углом. Нарисуй, как из них можно составить покрытие пола.

Ответ:

434. Квадратный лист бумаги надо разрезать на две неравные части, а затем из них составить один треугольник. Нарисуй, как это сделать.

Ответ:

435. Лист бумаги имеет форму прямоугольника. Отрежьте один угол так, чтобы получился треугольник и пятиугольник.

Ответ:

4 36. Алюминиевая кастрюля наполнена до краев водой. Как отлить воды ровно половину кастрюли, не пользуясь ни какой другой посудой и измерительными приборами?

Ответ: Наклоните кастрюлю так:

437. Сколько геометрических фигур в каждом рисунке?

а) б) в)

а) 3 фиг.; б) 6 фиг.; в) 6 фиг.

438. Как из 13 одинаковых квадратов со стороной 1 см можно составить два квадрата?

1 кв. – 9 од. квадратов (3 х 3); 2 кв. – 4 од. квадрата (2 х 2).

439. Квадратная доска разбита на 25 клеток двух цветов. Можно ли всю эту доску разрезать на прямоугольники, состоящие из двух клеток разных цветов.

Нет.

440. Что больше, площадь прямоугольника или площадь трех закрашенных треугольников?

Площади одинаковые.

441. Сколько на рисунке различных треугольников? Выпишите их.

Ответ: 8 треугольников АВД, АВЕ, АВС, ДВЕ, ДВС, ЕВС, ЕВМ, ЕМС.

442. Шпунтик и его друзья из данных фигур составляли новые. Каждый из них, из двух таких многоугольников, составил новый и вычислил периметр. Ответы у них получились разные, но у всех правильные. Как это могло быть? Какие ответы они получили?

4 см

3 см 5 см 3 см 5 см

4 см 8 см

Ответ:26 см; 24 см; 22 см.

443. Лесной царь отвел для зверят под вольеры участки прямоугольной формы, сумма длин сторон каждого из них равна 16 м. Какой площади получил участок каждый из зверят, если все площади разные и длины сторон участков выражаются целыми числами метров. Какой формы участок, площадь которого наибольшая?

7 м²; 12 м²; 15 м²; 16 м² – квадрат.

444. Все вершины прямоугольника лежат на окружности. Придумайте способ построения центра окружности.

Проведем диагонали квадрата, точка их пересечения и будет центром окружности.

445. Периметр квадрата 2 м 8 дм. Вычислите его площадь.

49 дм².

446. Из прямоугольного листа бумаги с периметром 340 см, длина которого на 30 см больше, чем ширина, вырезали квадрат с наибольшей площадью. Чему равна площадь этого квадрата?

4 900 см².

447. Сколько керамических плиток квадратной формы со стороной 15 см потребуется для покрытия пола прямоугольной формы размером 6 м х 9 м?

2 400 шт.

448. Боковые стороны одной трапеции имеют одинаковую длину равную одному из оснований (самое маленькое). Зная, что периметр трапеции равен 48 см, а одно основание (самое маленькое) это 1/3 от другого, найдите стороны трапеции и нарисуйте ее.

8 см

8 см 8 см

Ответ:

24 см

449. Школьная спортплощадка имеет форму прямоугольника с периметром 320 м. Ширина этой площадки на 20 м меньше, чем длина. По краям периметра внутри этой площадки заливают беговую дорожку шириной 10 м. Какова площадь заливаемой беговой дорожки?

2800 м².

450. Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Периметр этого прямоугольника 24 см. Начертите этот прямоугольник и вычислите его площадь.

9 см

Ответ:

3 см

S = 3 · 9 = 27(см²).

451. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см. Сторона не равная двум другим в 2 раза меньше, чем каждая из них. Вычислите периметр параллелограмма, составленного из двух таких треугольников.

30 см.

452. Квадрат со стороной 5 см разрезали на 25 равных квадратов. Используя все 25 квадратов составь из них два квадрата.

1 кв. со стор. 3 см; 2 кв. со стор. 4 см.

453. В прямоугольнике одна сторона на 8 м больше другой. Найти площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 м.

33 м².

454. Дно ящика имеет форму прямоугольника размерами 9 дм и 6 дм. Сколько коробок размером 6 см на 4 см можно разместить на дне ящика? Задачу решить двумя способами.

225 коробок.

455. Бассейн прямоугольной формы с периметром 150 м выложили квадратными плитками со сторонами 2 дм. Сколько таких плиток потребовалось, если ширина бассейна на 25 м меньше, чем длина?

31 250 шт.

456. Нарисуйте прямоугольник со сторонами 8 см и 6 см. Соедините отрезками середины сторон прямоугольника. Как называется полученная фигура? Вычисли площадь полученной фигуры.

Ромб; 24 см².

456. Участок прямоугольной формы, длина которого 60 м, а ширина – 3/5 длины, был огорожен 3-мя рядами проволоки на столбах.

1. Сколько метров проволоки понадобится?

2. Сколько столбов понадобилось, если они были расставлены на расстоянии 4 м друг от друга?

1) 576 м; 2) 48 столбов.

456. Постройте треугольник произвольного вида, соедините между собой середины всех сторон треугольника и сравните периметр полученного треугольника с периметром данного треугольника.

Ответ:

Периметр ∆ ДFE равен половине периметра ∆ АВС.

456. При посадке яблонь расстояние между рядами составляло 8 м, а между деревьями в ряду – 5 м. Сколько яблонь посадили в саду прямоугольной формы, если длина сада 300 м, а ширина на одну треть меньше, чем длина?

1500 яблонь.

456. Вычислите площадь каждого из десяти квадратов. Сторона первого квадрата равна 1, второго – 2, третьего – 3 и т.д. и последнего, десятого квадрата – 10 линейным единицам. Полученные числа выпишите в ряд последовательно, начиная с меньшего и кончая наибольшим.

1, 4, 9, …, 100.

456. Периметр и площадь квадрата выражаются одним и тем же числом. Найдите это число.

4 ед.

456. Каток имеет форму прямоугольника с периметром 180 м, причем длина катка в 2 раза больше его ширины. Чтобы наморозить каток, работают 4 компрессора в течение 9 часов. Сколько квадратных метров катка намораживает каждый компрессор за час?

50 м².

456. Посевы сахарной свеклы в одном совхозе заняли 420 га, а в другом – 350 га. При переработке свеклы выход сахара составляет седьмую часть веса свеклы. Из всего урожая свеклы первого совхоза получено 2160 т сахара, а из урожая второго совхоза – 2050 т. В каком совхозе получено больше свеклы с 1 га и на сколько больше?

Во втором совхозе урожай свеклы с 1 га на 5 т больше.

464. Периметр прямоугольника равен 96 м, ширина в 3 раза меньше длины. Найдите площадь прямоугольника.

Решение: Если ширину прямоугольника принять за Х, то длина выразится через 3х. х + 3х = 96 : 2; х = 12; 3х = 36; S = 432 м². Задачу можно решить и арифметическим способом, используя метод схематического моделирования.

465. На плане прямоугольный участок земли имеет размеры: длина 8 см, ширина 5 см. Вычислите площадь участка, если известно, что его действительная длина равна 400м.

Решение: Сначала надо вычислить масштаб плана.

400 м : 8 см = 40 000 см : 8 см = 5 000, т.е. в натуре в 5 000 раз больше, чем на плане. Следовательно, ширина участка равна 5 см · 5 000 = 25 000 см = 250 м. Площадь участка равна: 400 · 250 = 100 000 кв.м. = 10 га.

466. Определите площадь прямоугольного треугольника, если стороны, образующие прямой угол, равны:

1. 12 см и 5 см;

2. 8 м и 6 м;

3. 45 м и 60 м.

1) 30 см²; 2) 24 м²; 3)1350 м².

467. Определите площадь прямоугольного треугольника, если его периметр равен 24 см. Указание: длины сторон треугольника отличаются друг от друга соответственно на 2 см и 4 см.

В

2

24 а + 4 а

2 2

А С

а + 2

24 – (2 + 4) : 3 = 6 (см) – сторона ВС; АС = 8 см; АВ = 10 см; S = 24 см².

468. Определите площадь ромба, если известны его диагонали: АС=8 см; ВД=4 см. Указание: разбейте ромб диагоналями на 4 треугольника.

В

А О С

Д

Ответ: Площадь ромба будет равняться суммой площадей 4 равных прямоугольных треугольников. 16 см².

469. Лесной участок имеет форму, изображенную на (рис. 6). Определить его площадь.

240 м

80 м

420 м

Рис. 6

Площадь участка равна сумме площадей прямоугольника и треугольника:

240 · 80 + 180 · 80 : 2 = 19 200 + 7 200 = 26 400 м².

470. Поле имеет вид, изображенный на (рис.7). Сколько центнеров ржи собрано с поля, если с 1 га получали по 22 ц зерна?

240 м

450 м

480 м 1200 м

Рис. 7

480 · 450 : 2 + 1 200 · 450 + 450 · 240 : 2 = 702 000 м² = 70 га; 1 540 ц.

471. Определите площадь передней стены сарая, изображенного на рис. 8.

2 м

4 м

8 м

Рис. 8

8 · 4 + 8 · 2 : 2 = 40 (м².)

472. На участке, который имеет форму прямоугольного треугольника АВС (рис.9), отгородили часть АЕF. Во сколько раз площадь всего участка больше площади отгороженной части?

С

20 м F

4 м

В Е А

60 м

12 м

Рис. 9

Ответ :(60 · 20 : 2): (12 · 4 : 2) = 600 : 24 = 25 (раз.)

473. Прямоугольник разделен на квадраты. На некоторых квадратах отмечены шесть точек. Необходимо разрезать прямоугольник вдоль сторон квадратов на 6 одинаковых частей так, чтобы в каждой части было по одной точке.

Ответ:

473. Р азрезать прямоугольник прямой линией на две части так, чтобы из них можно было сложить треугольник.

Ответ:

473. Деревянный окрашенный куб с ребром 3 см распилили на кубические сантиметры. Сколько среди них кубиков, которые окрашены с трех сторон?

8 кубиков.

473. К ак разрезать фигуру (см.рисунок 10) на две части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.

Ответ:

Рис. 10

473. Прямоугольный брусок, окрашенный в зеленый цвет, имеет измерения 12 см, 8 см и 6 см. Этот брусок распилили на кубики, каждое ребро которых 2 см. Сколько получилось кубиков у которых окрашены в зеленый цвет: а) три грани; б) две грани; в) одна грань; г) ни одна грань не окрашена в зеленый цвет?

6 · 3 · 4 = 72 (куб) – всего; а) 8; б) 2 · 4 + 4 · 4 + 4 · 1 = 28; в) 4 · 2 + 2 · 2 + 8 · 2 = 28; 72 – (8 + 28 + 28) = 8.

478. Как разрезать фигуру, показанную на (рис.11), на две одинаковые части?

Ответ:

Рис. 11

479. Арбуз разрезали на четыре части и съели. Получилось пять корок. Может ли такое быть?

Если постараться, то можно из арбуза вырезать кусок в виде столбика, идущего сквозь весь арбуз. У этого куска будут две корки, соединяемые арбузной мякотью. Оставшуюся часть арбуза можно разрезать на «нормальные» куски.

480. Четыре страны имеют форму треугольников. Как расположены страны одна относительно другой, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими. Нарисуйте.

Ответ:

4 2

1

3

481. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в два раза больший квадрат? Сколько одинаковых кубиков надо для составления в два раза большего куба?

Если считать, что в два раза больший квадрат – это квадрат, сторона которого в два раза больше стороны исходного квадрата, то для его получения надо взять четыре одинаковых исходных квадрата. А для получения куба надо взять 8 кубиков.

482. На какое самое большое число частей можно разрезать блин тремя разрезами? Сколько частей может получиться при трех разрезах каравая?

Блин можно разделить на семь частей (рис. 12). а); в отличие от блина каравай не плоский и его сначала можно разрезать горизонтально, а потом вертикально (рис. 12, б). Таким образом, каравай можно разрезать на восемь частей.

а) б)

Рис. 12

483. Можно ли куб завернуть в букву Т в один слой? Если да, то нарисуйте эту букву. Укажите её размеры, если ребро куба равно 1 см.

Буква Т составлена из шести квадратов со стороной 1 см.

1 СМ

484. Из фигур изображенных на рисунке 13, выберите те, которые являются развертками куба, и перенесите их в тетрадь. Объясните, почему вы выбрали именно их.

1 2 3 4 5

6 7 8 9

Рис. 13

Развертками куба являются 1, 2, 4, 6 – 9.

485. Дана развертка куба (рис. 14). Какие из изображенных кубиков на рисунке 15, а – в можно из развертки склеить кубики? Выберите кубик и обоснуйте выбор.

Рис. 14

а) б) в)

Рис. 15

Ответ: Из представленной развертки можно склеить кубики а) и б)

486. Имеется куб со стороной 3 см. Сколько надо сделать распилов, чтобы распилить его на кубики со стороной в 1 см?

Шесть распилов.

487. На рисунке 16, показан способ разрезания квадрата со стороной в четыре клетки по сторонам клеток на две равные части. Найдите пять других способов. Сколько существует способов разрезания квадрата на две равные части линиями, идущими по сторонам маленьких квадратиков?

Рис. 16

Ответ:

487. Эта задача посложнее, так как фигура на рисунке 17, которую также нужно разрезать на две равные части, не такая простая.

Ответ:

Рис. 17

489. Представленные ниже фигуры (рис. 18) разрежьте на две равные части.

З а м е ч а н и е. Разрезать можно не только по сторонам, но и по диагоналям клеточек.

Рис. 18

Ответ:

490. Прямоугольный лист бумаги разделили двумя разрезами на два листа треугольной формы и два четырехугольной. Как это сделали?

Ответ:

491. Дан треугольник, длины сторон которого равны 7, 12, 9 см. Объясните, как построить отрезок, соединяющий его вершину и противоположную сторону, длиной в 9 см так, чтобы периметр двух полученных треугольников был одинаков?

I способ

Так как в полученных треугольниках сторона AD общая, то для того, чтобы периметры треугольников были равны, необходимо, чтобы сторона в 9 см была разбита на части, разность длин которых равнялась бы разности двух сторон (12 – 7 = 5 см). Исходя из этого, число 9 следует представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на 5 больше другого. Числами, удовлетворяющими этому условию, являются 2 и 7. Таким образом, получаем следующее решение:

В

7 см 7 см

D

2 см

А 12 см С

II способ

Решение этой задачи будет легко найдено, если периметр представить в виде суммы отрезков:

P_ABD = AB + BD + DA;

A B D A A C D A

P_{ADC =} AC + CD + DA.

1. 12 – 7 = 5 (см) – на столько длина отрезка BD должна быть больше отрезка CD.

2. 9 – 5 = 4 (см) – длина двух отрезков CD.

3. 4 : 2 = 2 (см) – длина отрезка CD.

4. 2 + 5 = 7 (см) – длина отрезка BD.

492. В прямоугольнике ABCD периметр треугольников, из которых он состоит, равен 180 см. BK = KC = AE = ED. AK = KD = 17. Найдите периметр прямоугольника, у которого одна сторона в 2 раза больше длины отрезка AB, а другая сторона равна длине отрезка BC.

К

В С

А D

Е

I способ

Данную фигуру можно дополнить до прямоугольника, периметр которого необходимо найти.

Периметр фигуры NBCM равен 2 · АВ + 2 · ВК + 2 · CD + 2 · DE = 2 · (AB + BK) + 2 · (CD + DE). Периметр этой фигуры от исходного периметра отличается на длину

К

В C

А Е D

N М

О

четырех отрезков АК (17 · 4 = 68). Таким образом, периметр искомой фигуры равен 180 – 68 = 112 см.

II способ

Исходя из условия задачи, можно определить периметр одного треугольника. Он равен АВ + ВК + 17. Тогда можно составить уравнение (АВ + ВК + 17) · 4 = 180. Отсюда находим, что АВ + ВК = 28. Умножая обе части последнего равенства на 2, получим: 2 · АВ + 2 · ВК = 56 или 2 · (АВ + ВС) = 56. Тогда периметр прямоугольника равен 2 · 56 = 112 см.

493. За всю историю шахмат было 19 чемпионов мира мужчин и женщин. Чемпионов мужчин было на 7 больше, чем женщин. Сколько мужчин и сколько женщин были чемпионами мира по шахматам?

Используем схематический чертеж для краткой записи условия задачи. Обозначим число мужчин и женщин чемпионов определенными отрезками. Первый отрезок должен быть больше, чем второй.

а) б)

Из данной краткой записи можно определить решение:

1 способ.

1. 19 – 7 = 12 – удвоенное количество женщин чемпионок;

2) 12 : 2 = 6 (чемп.) – женщин;

3) 6 + 7 = 13 (чемп.) – мужчин;

В данном решении можно объединить первое и второе действие для удобства объяснения.

1) (19 – 7) : 2 = 6 (чемп.) – женщин;

2) 6 + 7 = 13 (чемп.) – мужчин или

19 – 6 = 13 (чемп.) – мужчин.

2 способ

1) 19 + 7 = 26 (чемп.) – удвоенное количество мужчин чемпионов;

2) 26 : 2 = 13 (чемп.) – мужчин;

3) 13 – 7 = 6 (чемп.) – женщин или

19 – 13 = 6 (чемп.) – женщин.

Другая запись:

1) (19 + 7) : 2 = 13 (чемп.) – мужчин;

2) 13 – 7 = 6 (чемп.) – женщин или

19 – 13 = 6 (чемп.) – женщин.

494. Витя и Сережа проплыли вместе 19 метров. Витя проплыл на 5 метров больше, чем Сережа. Сколько метров проплыл каждый мальчик?

12м; 7м.

495. Композитор Чайковский П.И. написал на 1 балет больше, чем Хачатурян. Сколько балетов написал каждый из этих композиторов, если оба вместе написали 5 балетов?

3 балета написал П.И.Чайковский и 2 балета Хачатурян .

496. У бабушки два внука: Коля и маленький Олег. Бабушка купила им 16 конфет и сказала Коле, чтобы он дал Олегу на 2 конфеты больше, чем себе. Как Коля должен разделить конфеты?

7 конфет; 9 конфет.

497. Прямой отрезок длиной 30 см разрезали на две части так, что одна часть в 4 раза больше другой. Найти длину каждой части.

6 см; 24 см.

498. У песца 30 входов в нору. Количество входов, которые он использует в два раза меньше чем те, которые он не использует. Сколько входов в нору не использует песец?

Задача легко решается схематическим изображением условия в виде:

Исп. норы

30 входов

Неисп. норы в нору

Решение:

30 : 3 = 10 (нор) – использует песец;

10 · 2 = 20 (нор) – не использует песец.

499. У планеты Земля и планеты Нептун вместе 10 спутников. У планеты Нептун в 9 раз больше спутников, чем у планеты Земля. Сколько спутников у планеты Нептун?

9 спутников.

500. В Олимпийских играх 1912 года участвовало 24 русских легкоатлета и гимнаста. Гимнастов было в 7 раз больше, чем легкоатлетов. Сколько было гимнастов?

21.

501. У Тани и Саши было одинаковое количество книг. Сначала Саша подарил Тане одну книгу, а затем Таня подарила Саше три книги. На сколько книг больше стало у Саши, чем у Тани?

У Саши стало на 4 книги больше.

502. Длина прямоугольника на 2 см больше, чем его ширина. Нарисуйте этот прямоугольник, если его полупериметр равен 10см.

Длина – 6 см, ширина – 4 см.

503. Италию омывают на 3 моря больше, чем Германию. Всего эти две страны омываются 7 морями. Сколько морей омывают каждую страну?

5 морей; 2 моря.

504. Папа-пингвин нянчит своего малыша в два раза меньше дней, чем он высиживает яйцо. Всего 90 дней папа-пингвин заботится о малыше и высиживает яйцо. Сколько дней он высиживает яйцо?

60 дней.

505. Мартышке в зоопарке добавляет в пищу определенное количество масла в сутки, макаке добавляют столько же, сколько мартышке, а горилле столько, сколько макаке и мартышке вместе. Сколько растительного масла добавляют в пищу ежедневно горилле, если всем троим вместе добавляют 20 г масла?

10 г.

506. Одно число в 4 раза больше, чем другое, и на 30 больше, чем то же число. Найти эти два числа.

10; 40.

507. Дед, отец и сын во время прогулки встретили знакомого, который спросил их, сколько им лет. «Нам 121 год», – ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда знакомый, продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца: «Ну, скажите же, сколько вам лет?» – «Мне вместе с сыном 44 года», – отвечал отец, – «а сын на 28 лет моложе меня». Так знакомому и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них. Не сообразишь ли ты?

77 лет; 36 лет; 8 лет.

508. В портфеле 15 тетрадей: в одну линейку, в две линейки и в клетку. Тетрадей в клетку на 10 больше, чем тетрадей в одну линейку. Сколько может быть в портфеле тетрадей в одну линейку, в две линейки, в клетку?

12 тетрадей в клетку, 2 тетради в одну линейку, 1 тетрадь в две линейки или 11 тетрадей в клетку, 1 тетрадь в одну линейку и 3 тетради в две линейки.

509. Увеличивая на 4 утроенное какое-то натуральное число, получим число на 28 больше, чем первоначальное число. Найди соответствующее число.

12.

510. Если количество башен Кремля, увенчанных рубиновыми звездами умножить на 4, то получится тот же результат, что и при прибавлении к нему числа 15 (15 - количество остальных башен Кремля). Сколько всего башен имеет Кремль?

20.

511. Среднее арифметическое между числом, его половиной и его четвертью составляет число 21. Найди это число.

21 · 3

Ответ: 36.

512. Школьник прочитал 18 страниц за три дня. Если бы в первый день он прочитал на одну страницу больше, а во второй день на одну страницу меньше, то каждый день он читал бы поровну. По сколько страниц читал каждый день школьник?

1 д. – 5 стр.; 2 д. – 6 стр.; 3 д. – 7 стр.

513. Щука вчетверо тяжелее окуня, но на 2 кг легче судака. Если к весу всех троих прибавить вес корзины, в которой они лежат – 1 кг 250 г, то получится 10 кг. Определить вес каждой рыбы в отдельности?

10000 – 1250 = 7500(г)

Щ .

О. 2 7500 г

С.

Щука – 3 кг; Сом – 5 кг; Окунь – 750 г;

514. Мы с Володей собирали марки. У нас вместе на 25 марок больше, чем у меня, и на 15 марок больше, чем у Володи. Сколько марок у каждого из нас и сколько марок у нас вместе?

15 и 25; вместе 40 марок.

515. На вопрос учеников о дне своего рождения учитель математики ответил так: «Если сложить день и номер месяца моего рождения, то получится 20; если из дня рождения вычесть номер месяца рождения, то получится 14; если к произведению дня и номера месяца моего рождения прибавить 1900, то получится год моего рождения». Когда родился учитель математики?

20

14

Ответ: 17 марта 1951.

516. Через пять лет, Женя будет вдвое старше, чем сейчас. Сколько лет ему сейчас?

5 лет.

517. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков с мясом, с грибами и с капустой. Пирожков с капустой на два больше, чем пирожков с мясом. А пирожков с грибами в два раза больше, чем пирожков с мясом. Сколько пирожков с грибами, с мясом и с капустой в отдельности?

С грибами – 6 пир.; с мясом – 3 пир.; с капустой – 5 пир.

518. Попрыгунья Стрекоза половину времени каждых суток красного лета спала, третью часть времени каждых суток танцевала, шестую часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза готовилась к зиме?

0 часов.

519. У двух детей были орехи. У одного было на 30 орехов меньше, чем у другого. На сколько орехов будет меньше у первого, чем у второго, если он второму отдаст 16 орехов?

30 + 16 + 16 = 62 (ореха).

520. У первого мальчика было вдвое больше цветных карандашей, чем у второго. Когда первый мальчик купил еще 4 цветных карандаша, то у него стало цветных карандашей в 3 раза больше, чем у второго мальчика. Сколько цветных карандашей было у каждого мальчика?

8; 4.

521. На трех березках сидели 36 грачей. Когда с одной березы поднялись в воздух 4 грача, с другой 6 и с третьей 8, то на трех березках осталось грачей поровну. Сколько грачей сидело на каждой березе?

4

6

36

8

I б. – 10 гр.; II б. – 12 гр.; III б. – 14 г.

522. Один рыбак поймал на 20 окуней больше, чем другой. Но когда он отдал товарищу в обмен за щуку 15 окуней, то у него их стало вдвое меньше, чем у товарища. Сколько окуней было у каждого?

15

15

20

1 рыбак – 5 окуней; 2 рыбак – 25 окуней.

5 23. В Японии осьминогов ловят так: на дно опускают на веревках горшки и туда забираются любопытные осьминоги. В двух горшках у одного рыбака находятся осьминоги. Если переложить из первого горшка во второй 2 осьминога, то их количество в обоих горшках станет одинаковым. А если из второго горшка переложить 2 осьминога в первый, то в первом горшке количество осьминогов станет в 3 раза больше, чем во втором. Сколько было первоначально осьминогов в каждом горшке?

2

2

2 2

Ответ: 10 осьминогов; 6 осьминогов.

524. В XVIII веке в России был построен Оперный театр. Для постройки этого театра были задействованы каменщики, живописцы, кузнецы и столяры – всего 68 человек. Какое количество мастеров каждого вида было задействовано на строительстве Оперного театра, если известно, что живописцев было на 8 больше, чем каменщиков, кузнецов на 6 меньше, чем каменщиков, а столяров на 2 человека меньше, чем каменщиков и живописцев вместе?

20 живописцев; 12 каменщиков; 6 кузнецов; 30 столяров.

525. В футбольной команде 10 игроков и вратарь. Защитников на 1 больше, чем полузащитников, а нападающих столько, сколько вместе защитников и полузащитников. Сколько нападающих в футбольной команде?

5 нападающих.

526. Гонки парусных кораблей (яхт) называются регатой. Число яхт достигших финиша в регате в 5 раз больше, чем число яхт оставивших гонку из-за поломок. Число возвратившихся яхт из-за шторма в 4 раза больше, чем число яхт прекративших гонку из-за поломок. Сколько яхт возвратились из-за шторма, если общее количество яхт участвовавших в регате равно 30?

12 яхт.

527. Царь Борис Годунов во время приема послов надевал на себя одежду, шапку и башмаки украшенные драгоценными камнями. Их вес выражается тремя нечетными последовательными числами. Сколько весит одежда, шапка и башмаки в отдельности, если на царе было 9 кг груза?

Одежда – 5 кг; шапка – 3 кг; башмаки – 1 кг.

528. В морской битве у города Симон участвовало 22 русских и турецких корабля. Русских кораблей под командованием адмирала Нахимова было на 10 меньше, чем турецких. Сколько осталось турецких кораблей после битвы, если 15 турецких кораблей было потоплено?

1 корабль.

529. В муравейнике кроме муравьев живут некоторые виды кузнечиков и мух. Видов мух на 10 больше, чем видов кузнечиков. Среднее арифметическое числа видов мух и числа видов кузнечиков 13. Сколько видов мух гостят в муравейнике?

18 видов мух.

530. После появления всходов морковка растет на 10 дней дольше, чем редис, а свекла растет 70 дней, т.е. столько сколько редис и морковка вместе. Через сколько дней можно собрать урожай редиса?

Через 30 дней.

531. П.И.Чайковский написал свыше 100 фортепианных пьес, в том числе циклы «Времена года» и «Детский альбом». Количество пьес включенных о «Времена года» в два раза меньше, чем количество пьес в «Детском альбоме», а количество остальных пьес на 28 больше, чем количество пьес включенных в эти два цикла. Сколько пьес содержит каждый цикл?

24; 12.

5 32. Первая в мире вооруженная ракетами подводная лодка появилась в России в 1934 году. На ней было определенное количество ракет. Если увеличить на 12 удвоенное это число, то получим число на 18 больше, чем первоначальное число. Сколько ракет было на первой вооруженной подводной лодке?

12

18

Ответ: 6 ракет было на подводной лодке.

533. Самые крупные в мире жуки: дровосек-титан и геркулес. Их длина вместе 33 см. Самая крупная в мире бабочка-агриппина. Она вместе с дровосеком имеет длину 42 см, а вместе с геркулесом – 45 см. Найти длину этих жуков в отдельности, а также бабочки.

15 см – дровосек – титан; 18 см – геркулес; 27 см – бабочка – агриппина.

534. Кот Леопольд и 2 мыши, серая и белая «отпраздновали» свою юбилейную стычку. После этого у кота и серой мышки было 15 шишек, а у 2-х мышей вместе 12 шишек, а у кота Леопольда и белой мышки – 17 шишек. Сколько шишек у каждого из них?

Кот Леопольд – 10 шишек; серая мышка – 5 шишек; белая мышка – 7 шишек.

535. Если количество зубов улитки поделить на 5, получим тот же результат, как при вычитании 20 тысяч из этого числа. Найти количество зубов улитки.

20 тыс.

Ответ: 25 тыс. количество зубов улитки.

536. Среднее арифметическое количества месяцев, что кормят своего малыша дельфины и синие киты равно 10. Первое число на 4 меньше, чем второе. Сколько месяцев кормят своего малыша синие киты? А дельфины?

12 месяцев; 8 месяцев.

537. Разность двух чисел равна 59. Если поделить большее число на меньшее получим неполное частное 5 и остаток 7. Найди эти два числа.

Для выполнения схематической модели данной задачи, необходимо вспомнить запись деления с остатком:

a : в = d (остаток r) или a = в · d + r, где r < b;

Так как в задаче а и в неизвестные, a : в = 5 и r = 7, то, обозначив через какой-то отрезок второе число (в), зная, что, а = 5 · в + 7 получим следующую схематическую модель условия задачи:

а)

в)

Решение:

(59 – 7) : 4 = 13

13 · 5 + 7 = 72

Проверка

72 : 13 = 5 (ост.7)

Ответ: 72; 13;

538. Сумма двух натуральных чисел равна 72, а частное при их делении равно 3. Найти эти два числа.

18; 54.

539. Если сложить количество перьев, из которых состоят хвосты двух пингвинов, а потом полученный результат поделить на 3, получим число 10. Зная, что у одно из пингвинов в хвосте на 4 пера больше, чем у другого, найдите количество перьев в хвосте каждого пингвина.

13 перьев в хвосте у одного пингвина; 17 перьев у другого.

540. Петя поймал в Днестре 3 карася массой 1260г. Найти массу каждого карася, если она выражена тремя последовательными натуральными числами.

419 г; 420г; 421 г.

541. Вычитая из утроенного первого числа второе число, получим 140. Зная, что разность этих двух чисел равна 30, найти эти два числа.

55; 25.

542. Сумма двух натуральных чисел равна 100. Неполное частное при делении этих чисел это число 2 и остаток 10. Найти эти два числа.

10

100

70; 30.

543. Около медузы плавали 45 рыб: ставрида и треска. Если сложить утроенное первое число ставрид и удвоенное число рыбок трески, то получим 100 рыбок. Найти количество ставрид и количество рыбок трески, плавающих около медузы.

45

45 100

Ответ: 10 ставрид и 35 рыбок трески.

544. Во время битвы на Куликовом поле сошлись 16 русских и татарских полков. Татарских полков было на два больше, чем русских. Число татарских полков разбитых после битвы на 5 больше, чем русских, а всего было разбито 11 полков. Сколько полков уцелело после битвы с каждой стороны отдельно?

4 русских полка; 1 татарский полк.

545. Бутылка с маслом весит 900 г. Масло на 100 г тяжелее бутылки. Сколько весит масло?

500 г.

546. Разница между двумя числами равна 87. Если разделить первое число на второе, то получится неполное частное 11 и остаток 7. Найти эти числа.

95; 8.

547. Если Алена купит одну конфету, то у нее останется 10 копеек, а на 2 конфеты у нее не хватает 30 копеек. Сколько стоит конфета?

40 копеек.

548. Банка с медом весит 500 г. Та же банка с керосином весит 350 г. Керосин легче меда в 2 раза. Сколько весит пустая банка?

200 г.

549. Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продает рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 руб., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки у него останется 150 руб. Сколько стоит лошадь?

770 руб.

550. В коробке лежали синие, красные и черные карандаши – всего 60 штук. Красных карандашей было на 4 меньше, чем черных, и на 8 меньше, чем синих. Сколько красных карандашей было в коробке?

16 красных карандашей.

551. Масса африканского слона в 2 раза больше массы бегемота. А масса самого крупного на земле животного - синего кита в 12 раз больше, чем масса бегемота и слона вместе взятого. Определите массу каждого животного в отдельности, если все три вместе весят 156 тонн.

4 т – масса бегемота; 8 т – масса африканского слона; 144 т – масса синего кита.

552. Трем коммерческим организациям была распределена клубника, собранная с одного участка прямоугольной формы периметром 200 м, ширина которого в 3 раза меньше его длины. В среднем с 1 м² собрали по 6 кг клубники. По сколько килограммов клубники получила каждая коммерческая организация, если известно, что полученная масса выражается тремя последующими числами натурального ряда?

3749 кг; 3750 кг; 3751 кг.

553. Если количество карандашей находящихся в коробке увеличить вдвое, то до полной коробки не хватит 2-х карандашей. Если то же количество карандашей увеличить втрое, то 3 карандаша не поместятся в коробке. На какое количество карандашей рассчитана коробка?

12 карандашей.

554. Спортивная площадка прямоугольной формы имеет периметр 420 м. Ее длина в 2 раза больше ширины. Площадь разделена на две части так, что одна часть на 450 м² больше другой. Какова площадь каждой части?

4675 м²; 5125 м².

555. Четыре участка заняты зерновыми культурами. Второй участок в 2 раза больше первого, площадь третьего участка равна сумме площадей первого и второго участков, а площадь четвертого участка – сумма площадей первых трех участков. Определить площадь каждого участка, если всего собрано 14 976 ц зерна при среднем урожае 26 ц с гектара.

48 га; 96 га; 144 га; 288 га.

556. В нашем классе 15 двухместных парт. Одна парта пустует. Сколько девочек и сколько мальчиков в классе, если количество девочек в 3 раза больше, чем количество мальчиков?

21 девочка; 7 мальчиков.

557. Который теперь час, если оставшаяся часть суток в 5 раз больше прошедшей части?

4 часа.

558. Который теперь час, если через два часа до конца суток останется в три раза больше, чем уже пройдет?

Сейчас 4 часа.

559. На двух смежных станциях вместе было 120 вагонов. После того, как с первой станции на вторую перешел состав в 30 вагонов, а со второй станции на первую перешел состав в 20 вагонов, на первой станции стало вагонов столько же, сколько и на второй. Сколько вагонов было на каждой станции первоначально?

I ст. – 70 ваг.; II ст. – 50 ваг.

560. Длина прямоугольного участка в 4 раза больше его ширины, причем ширина на 600 м меньше длины. Сколько риса получено с участка, если с каждого гектара получено по 35 ц риса?

560 ц риса.

561. На шапке царя Ивана Грозного было 24 драгоценных камня. Алмазов было в 8 раз больше, чем изумрудов и на 7 меньше, чем сапфиров. Сколько алмазов, изумрудов и сапфиров в отдельности было на шапке у Ивана Грозного?

8 алмазов; 1 изумруд; 15 сапфиров.

562. Мать разделила поровну мандарины между 3-мя детьми. Когда каждый из них съел по 4 мандарина, у них осталось вместе столько мандаринов, сколько получил каждый. По сколько мандаринов досталось каждому?

По 6 мандаринов.

563. Как-то рано по утру

Птицы плавали в пруду.

Белоснежных лебедей

Втрое больше, чем гусей.

Уток было восемь пар –

Вдвое больше, чем гагар

Сколько было птиц всего,

Если нам еще дано,

Что всех уток и гусей

Столько, сколько лебедей.

56 птиц.

5 64. Белуга может прожить столько, сколько щука, да еще 20 лет, щука может прожить столько, сколько сом, да еще 20 лет, а сом в два раза больше золотой рыбки. Сколько лет могут прожить белуга и золотая рыбка в отдельности, если первая может прожить больше золотой рыбки в три раза да еще 10 лет?

10

Б.

Щ. 20

С. 20

З.Р.

Белуга – 100 лет; золотая рыбка – 30 лет.

5 65. Яблоки двух сортов – красные и желтые разложили в две вазы – высокую и низкую. В высокой вазе красных яблок оказалось на 7 больше, чем желтых. В низкой вазе красных яблок на 5 меньше, чем желтых, а желтых на 20 больше, чем красных в высокой вазе. Каких яблок больше красных или желтых и на сколько?

К. 7

Ж.

5

Красных яблок на 2 больше, чем желтых.

566. В один магазин для продажи привезли 1800 кг овощей: картошку, помидоры и капусту. В первый день продали десятую часть всех овощей. А во второй день на каждый кг помидор продавались 2 кг капусты и 3 кг картошки. Сколько килограммов помидор, капусты и картошки было продано во второй день?

270 кг помидор; 540 кг капусты; 810 кг картошки.

567. Три рыбака поймали 96 ершей. Один из рыбаков был шутником. Он из котелка первого рыбака переложил в котелок другого 3 ерша, а потом из котелка второго рыбака в свой одного ерша. После подсчета оказалось, что у всех рыбаков стало ершей поровну. Сколько ершей поймал каждый рыбак?

35; 30; 31.

568. Скорость теплохода по течению реки равна 18 км/ч, а против течения реки – 12 км/ч. Найти скорость течения реки.

3 км/час.

569. Теплоход по течению реки проходит на 6 км/ч больше, чем против течения. Какова скорость течения реки?

3 км/час.

570. В двух кусках одинаковое количество ткани. Когда от первого куска отрезали 8 м, а от другого 18 м, в первом куске осталось в 3 раза больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани осталось в каждом куске?

15 м; 5 м.

571. Старинная задача. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в ученики своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько я имею, и пол столько и четверть столько и твой сын, то будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько учеников в классе?

Ответ: 36 учеников.

572.. Старинная задача. У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди: по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец». Поскольку дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана. Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим – вчетверо меньше, чем Петр?

Иван – 2 дня; Пётр – 4 дня; Яков – 1 день; Михаил – 2 дня; Герасим – 1 день.

573. Старинная задача. Говорит дед внукам. «Вот вам 130 орехов. Разделите их на две части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза». Как разделить орехи?

10; 120.

574. Старинная задача. Двое ели сливы. Один сказал другому: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас слив будет поровну». На что другой ответил: «Нет, лучше ты мне отдай свои две сливы, – тогда у меня будет в два раза больше, чем у тебя». Сколько слив было у каждого?

2 2

2 2

У одного 14 слив, у другого 10 слив.

575. Старинная задача. Прохожий, догнавший другого спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?». Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если пройдешь 2 версты (верста – старинная русская мера длины, 1 верста =1,067 км), тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему и какое расстояние между деревнями?

Ответ: 8 вёрст.

576. Старинная задача. Из четырех пожертвователей, второй отдал денег вдвое больше первого, третий втрое больше второго, а четвертый в четыре раза больше третьего. Все вместе дали 132 руб. Сколько денег дал первый?

Ответ: первый дал 4 рубля.

577. На детской площадке 8 двух- и трехколесных велосипедов. Всего колес у них 21. Сколько двух и трехколесных велосипедов на детской площадке?

Для решения этой задачи обозначим 8 велосипедов треугольниками.

А теперь дорисуем колеса в виде кружочков. Мы знаем, что любой детский велосипед имеет не менее 2-х колес. Дорисуем каждому треугольнику по 2 кружочка.

Мы использовали 2 · 8 = 16 (колес) и у нас осталось 21 – 16 = 5(колес). Как их расположить? Каждый велосипед уже имеет по 2 колеса. Дорисуем по одному колесу начиная с первого велосипеда, пока не закончим оставшиеся 5 колес, таким образом, находим число трехколесных велосипедов. Остальные велосипеды двухколесные.

Проверка. 3 · 5 + 2 · 3 = 21(колесо)

2 способ. Предположим, что все 8 велосипедов – 3-х колесные, тогда должно быть 8 · 3 = 24 колеса, но их 21 колесо. Почему получилось на 3 колеса больше? Потому что каждому двухколесному велосипеду тоже добавили по 1 колесу. Следовательно, 2-х колесных велосипедов было 3, а трехколесных 8 – 3 = 5 велосипедов.

578. В зоопарке было 8 голов львов и страусов. Ног у них было всего 26. Сколько в зоопарке львов и сколько страусов?

5 львов и 3 страуса.

579. Папа купил 6 пакетов пшеничной и кукурузной муки. Масса всей муки составляет 10 кг. Сколько папа купил пакетов с кукурузной мукой и сколько с пшеничной, если масса одного пакета с кукурузной мукой равняется 1 кг, а масса одного пакета с пшеничной мукой равна 2 кг?

2 пакета с кукурузной мукой и 4 пакета с пшеничной мукой

.580. Играли в прятки белки и дятлы. Из-под кустов выглядывают 12 носов и 34 лапки. Сколько их играло в прятки?

5 белок и 7 дятлов.

581. У 30 штук 3-х ножных табуреток и стульев 100 ножек. Сколько табуреток и сколько стульев, если у каждого стула по 4 ножки?

10 стульев и 20 табуреток.

582. На выставку привезли 9 чайных сервизов. Всего в них было 84 чашки. Сколько было сервизов на 6 человек и сколько на 12 человек?

5 сервизов на 12 человек и 4 сервиза на 6 человек.

583. В клетку посажены кролики и фазаны. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько было кроликов и сколько фазанов?

Мы знаем, что у кроликов 4 ноги, а у фазанов – 2. Обозначим 35 голов (т.е. общее число кроликов и фазанов) при помощи кружков.

35

Теперь дорисуем каждому кружочку по 2 палочки (ноги).

Всего используем: 2 · 35 = 70 (ног)

Осталось 94 – 70 = 24 (ноги), которые мы не дорисовали. Дорисуем по 2 ноги второму и т.д. до тех пор, пока не закончим те 24 «ноги», которые обозначают число кроликов с четырьмя ногами.

24 : 2 = 12 – это число кроликов, а остальные

35 – 12 = 23 – фазаны.

Проверка: 12 + 23 = 35 (кролики и фазаны)

4 · 12 + 2 · 23 = 94 (ноги).

2 способ. Предположим, что все 35 голов являются кроликами, тогда они имели бы 35 · 4 = 140 ног, т.е. на 140 – 94 = 46 ног больше, чем было на самом деле. Почему получились лишние ноги? Потому, что всех фазанов посчитали как кроликов добавив каждому еще по 2 ноги. То есть было 46 : 2 = 23 фазана, а остальные 35 – 23 = 12 – кролики.

584. Цирковой артист на одноколесном велосипеде следил за президентским кортежем, который двигался по городу. Всего насчитали 45 колес. Сколько было автомобилей и сколько мотоциклов, если транспортных единиц было 16 да еще цирковой артист на одноколесном велосипеде?

6 автомобилей и 10 мотоциклов.

585. Настасья Петровна из сказки Л.Н. Толстого «Три медведя» приготовила на десерт землянику и чернику. Земляники оказалось в 3 раза больше, чем черники. Когда каждый взял по одной землянике и одной чернике, в вазе осталось земляники в 4 раза больше, чем черники. Сколько было первоначально в вазе земляники и сколько черники?

Так как первоначально земляники было в 3 раза больше, чем черники, значит, каждой чернике соответствуют 3 земляники. Обозначим квадратом землянику, а кругом – чернику и составим группы:

Т ак как первоначально земляники было в 3 раза больше, чем черники, значит, каждой чернике соответствуют 3 земляники. Обозначим – землянику, а – чернику и составим группы:

Все три медведя взяли по одной землянике и одной чернике. Покажем это на схеме, вычеркивая их из нее.

Во второй части условия задачи говорится, что когда каждый из 3-х медведей взял по одной землянике и одной чернике в вазе осталось земляники в 4 раза больше, чем черники, т.е. каждой чернике соответствует по 4 земляники. Чтобы это осуществить, к каждой чернике добавляем по одной из оставшихся 6 земляник. Очевидно, что таких групп получится 6.

После того, как каждый медведь взял по одной землянике и одной чернике, в вазе осталось 6 черник и 24 земляники.

А первоначально черники было 6 + 3 = 9 и земляники 24 + 3 = 27.

Проверка: 27 : 9 = 3 (раза) – больше земляники, чем черники.

586. У одного селянина число кур в 4 раза больше, чем число уток. Продав 5 кур и купив 3-х уток, общее число кур стало в 3 раза больше, чем число уток. Сколько кур и сколько уток было первоначально?

14 уток; 56 кур.

587. В одной столовой посчитали, что если из имеющейся муки расходовать по 8 кг каждый день, тогда 4 кг не хватит, а если расходовать по 7 кг, то останется 12 кг муки. Сколько килограммов муки в столовой и на сколько дней она была рассчитана?

124 кг муки; 16 дней.

588. Если посадить всех учеников данного класса по одному за партой, то останутся 6 учеников без мест, а если посадить по два ученика за 1 парту, то останутся свободными 4 парты и за одной партой будет сидеть один ученик. Сколько учеников и сколько парт было в классе?

Обозначим ученика буквой «У», а парту буквой «П». «Посадим» за каждую парту по одному ученику и получим следующие группы:

У У У … У

П П П … П и 6 учеников

Но если посадить за парту по 2 ученика, получим:

У У У … У У У У … У

П П П … П П П П … П

У У У … У

Но, из второй части задания, когда рассаживаем учащихся по двое за парту, то 4 парты остаются свободными, и за одной партой будет сидеть один ученик. Поднимем с тех парт, где сидят по одному – 4-х учеников, и освободим 4 парты, а их рассадим на другие парты, где сидят по одному ученику. Тогда получим следующую схему:

У У У У У У У У

П П П П П П П П П П П П

У У У У У У У 4 1

6 4

Всего в классе находятся 6 + 4 + 4 + 1 = 15 (парт), а учеников 1 · 15 + 6 = 21.

589. Если пришить на каждое пальто по 4 пуговицы, то останется 3 пуговицы. Если пришить по 5 пуговиц на эти же пальто, то на одном пальто будет только 3 пуговицы. Сколько всего было пальто и пуговиц?

5 пальто и 23 пуговицы.

590. Украшали новогоднюю елку. Если на каждую ветку повесить по 3 игрушки, то 2 игрушки останутся, а если на каждую ветку повесить по 4, то 9 игрушек не хватит. Сколько веток на елке, сколько новогодних игрушек?

11 веток; 35 игрушек.

591. После окончания концерта, 174 зрителя пошли пешком, остальные поехали на электричке, заняв 18 вагонов. В каждый вагон сели на 8 человек больше, чем посадочных мест. Если зрители, уехавшие на электричке, занимали бы только места на скамейках, то потребовалось бы еще 3 вагона и в последнем вагоне осталось бы 6 свободных мест. Найти общее число зрителей.

1218 зрителей.

592. Если в каждую байдарку посадить по 2 спортсмена, то на берегу останутся 3 спортсмена. А если в каждую байдарку посадить по 3 спортсмена, то не хватит 2-х спортсменов, чтобы полностью загрузить все байдарки. Сколько было спортсменов и сколько байдарок?

Делая анализ задачи, выясним, что в задаче говорится о спортсменах и байдарках. Обозначим спортсменов кружками, а байдарки – прямоугольниками. Из первой части задачи нам известно, что если посадить в каждую байдарку по 2 спортсмена, то 3 спортсмена останутся на берегу, без места. Представим это при помощи следующего рисунка:

Вторая часть условия задачи говорит о том, что если сделать перегруппировку, т.е. в каждую байдарку посадить по 3 спортсмена, то не хватит 2-х спортсменов, чтобы в каждой байдарке стало по 3 спортсмена. Постараемся это показать схематически. Можно сделать другой рисунок, где в каждом прямоугольнике нарисовано по 3 спортсмена (кружочка), а в последнем прямоугольнике один кружочек, т.к. не хватает 2-х спортсменов, чтобы во всех байдарках было по 3 спортсмена. Но тогда непонятно, как же мы найдем ответ на вопрос задачи? А может быть можно сделать по-другому? Давайте вернемся к рисунку, где в каждой байдарке сидят по 2 спортсмена, а 3 остались на берегу. Оставшихся 3 спортсменов рассадим к остальным по одному в каждую байдарку. Тремя спортсменами будут заняты 3 байдарки.

Так как двух спортсменов не хватает, чтобы в каждой байдарке было по 3 спортсмена, в двух байдарках сидят по двое. Отсюда можно сделать вывод: в трех байдарках по 3 спортсмена, в двух байдарках – по 2 спортсмена, т.е. число байдарок было 3 + 2 = 5, а спортсменов 3 · 3 + 2 · 2 = 13.

Проверка: 2 · 5 = 10 (спортсменов) – если посадить по 2 в байдарки, 13-10=3(спортсмена) – останутся на берегу.

593. В доме мама раскладывала на окна цветы. Если на окно поставить по 3 цветка, то 2 цветка останутся, а если по 4 – то одно окно останется без цветков. Сколько цветков и сколько окон в доме?

6 окон; 20 цветков.

594. В стопке было в 4 раза больше тетрадей по математике, чем по русскому языку. Если добавить 2 тетради по русскому языку и забрать 4 тетради по математике, то тетрадей по математике будут в два раза больше, чем по русскому языку. Сколько тетрадей по математике и по русскому языку было первоначально?

4 тетради по русскому языку и 16 тетрадей по математике.

595. «Палки и галки» (народная задача)