- •Глава1. Равнобедренный прямоугольный треугольник.
- •Глава 2. Разные этюды на прямоугольный треугольник.
- •Глава 3. Построения и прямоугольный треугольник.
- •Глава 4. Равнобедренный треугольник.
- •Глава 5. Равносторонний треугольник.
- •Глава 6. Задачи на построение с равносторонним треугольником.
- •Глава 7. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (общий случай).
- •Глава 8. Треугольник с углом 30 градусов (общий случай).
- •Глава 9. Прямоугольный треугольник с углом 30 градусов.
- •Глава 10. Треугольник с углом 45 градусов.
- •Глава 11. Золотой треугольник.
- •Глава 12. Треугольник с углами 45,60,75 градусов.
- •Глава 13. Египетский треугольник.
- •Глава 14. Целочисленный треугольник со сторонами 1,2,2.
- •Глава 15. Треугольник, у которого одна сторона равна среднему арифметическому двух других.
- •Глава 16. Треугольник, у которого одна сторона равна среднему геометрическому двух других.
- •Глава 17. Известная задача с отношением катетов 1 к 3 находит применение!
Глава 15. Треугольник, у которого одна сторона равна среднему арифметическому двух других.
№99. Школьная теорема 1. Радиус такого треугольника равен трети его периметра.
№100. Школьная теорема 2. Одна из биссектрис этого треугольника перпендикулярна прямой, соединяющей центр вписанной и описанной окружностей треугольника.
Глава 16. Треугольник, у которого одна сторона равна среднему геометрическому двух других.
№101. Условие: в треугольнике ABC стороны связаны соотношением. AC^2=AB*BC
Доказать, что в нём биссектриса, проведённая к AC, медиана, проведённая к одной из оставшихся сторон, и симедиана, проведённая к третьей стороне, пересекаются в одной точке.
№102. Условие: пусть в треугольнике ABC AC^2=AB*BC проведены высоты AA_1 и CC_1.
Доказать: площадь треугольника равна (AA_1*AC_1+CC_1*CA_1)/2.
Глава 17. Известная задача с отношением катетов 1 к 3 находит применение!
№103. Исходная задача.Больший катет такого треугольника разделён на три равные части. Тогда сумма острых углов, образованных отрезками, соединяющими вершину прямого угла и эти точки и гипотенузой, равна 90 градусов.
№104. Условие: равнобедренный треугольника ABC с боковыми сторонами CA=CB, причём его высота, проведнная к основанию, относится к длине основания как 3:2. На высоте CD выбрана точка E, делящая её в отношении 1:2, считая от точки С. Прямая AE пересекает сторону BC в точке K. Прямая, перпендикулярная AE, пересекает эту же сторону в точке M.
Доказать: EK=EM.
№105. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и отношением катетов AC:AB=4:1. На отрзке AC отмечены точки D, E, F, так что D ближе к A, а E является серединой катета AC, делящие его на четыре равные части. Центр тяжести треугольника EBC--точка G.
Доказать: отрезки DG и BE пересекаются под углом 45 градусов.
№106. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A и отношением катетов AC:AB=3:1. На стороне AC взяты точки K и L, делящие сторону AC на три равные части, причём K лежит ближе к A. Из точки L проведён луч, параллельны стороне AC и пересекающий отрезок BK в точке P. Около треугольника BPL описана окружность, пересекающая прямую AB в точке D.
Доказать: BD=AC.