Глава 6. Задачи на построение с равносторонним треугольником.

№25. Условие: равносторонний треугольник, на двух его сторонах отмечены их середины.

Построить центр вневписанной окружности с помощью одной линейки.

№26. Условие: около равностороннего треугольника ABC описана окружность , на меньшей дуге BC взята произвольная точка D.

Построить одним прямым углом равносторонний треугольник, отличный от ABC у которого вершины лежали бы на прямых AD, BD и CD.

Глава 7. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (общий случай).

№27. Теорема Заславского.

Прямая Эйлера треугольника с углом 60 градусов отсекает от него равносторонний треугольник.

В треугольнике ABC угол B равен 60 градусам. В треугольнике проведены биссектрисы AA_1 и CC_1. К отрезку A_1C_1 восстановлен серединный перпендикуляр, пересекающий прямую BC в точке F.

Доказать: CF=AC.

№28. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 60 градусов, проведены все биссектрисы (AA_1,BB_1,CC_1), пересекающиеся в точке I. На стороне AC отмечена точка K, такая, что BC_1=C_1K.

Доказать: отрезок KI равен радиусу описанной окружности треугольника A_1BC_1.

№29. В треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, проведены биссектрисы AA_1 и CC_1.

Доказать: СС_1=2A_1C*cos{A/2}.

№30. В треугольнике ABC с угол B равен 60 градусам. Центр вписанной окружности I.

Доказать: площадь треугольника AIC равна величине BI*AC/4.

№31. В треугольнике ABC с угол С=60. Высоты BB_1 и CC_1, центр описанной окружности O. Пусть O’—точка, симметричная O относительно стороны AC, и на этой стороне взята точка K, такая, что BC=CK.

Доказать: прямая Эйлера треугольника ABC перпендикулярна отрезку KO’.

№32. В остроугольном треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам из основания высоты BB_1—B_1—проведены перпендикуляры к сторонам AB и BC—B_1U и B_1V. Прямая Эйлера треугольника ABC пересекает отрезок UV в точке X. Из X проведён луч, образующий с данной прямой угол, равный HXU и при этом пересекающий высоту BB_1 на отрезке HB. Обозначим этот луч l; AB<BC.

Доказать: l||AC.

№33. На стороне AC треугольника ABC, у которого угол B равен 120 градусов, во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник AFC. Точка B отражена центральной симметрией относительно середины стороны AC и получена точка M; прямая FM пересекает сторону AC в точке S.

Доказать: AS/CS=(BC-BP)/(AB-BP), где BP -- биссектриса треугольника и BC>AB.

№34. Условие: на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC с углом B, равным 120 градусам, построены как на основаниях во внешнюю сторону равносторонние треугольники ADB, BEC, AFC.

Доказать: площадь треугольника ABC равна разности площади равностороннего треугольника, построенного на большей стороне и суммы площадей равносторонних треугольников, построенных на меньших сторонах.

№35. Условие: в треугольнике ABC с углом B, равным 60 градусам, отмечен центр вписанной окружности I. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно, так что треугольник DBE—равносторонний. Прямая CI пересекает DE в точке F. Прямая EI пересекает отрезок AF в точке G.

Доказать: биссектриса угла BAF перпендикулярна биссектрисе угла BCG.

№36. Условие: в треугольнике ABC угол B равен 60 градусам. В треугольнике отмечен центр вписанной окружности I и построена окружность, описанная около треугольника AIC. К сторонам AB и BC в точках K и L на этих сторонах восстановлены равные перпендикуляры, касающиеся построенной окружности.

Доказать: эти перпендикуляры и биссектриса угла B пересекаются в одной точке.

№37. Условие: на стороне AB треугольника ABC с углом B, равным 60 градусам, построен равносторонний треугольник ADB во внешнюю сторону. В треугольнике проведены биссектриса BE и медиана AF.

Доказать: отрезки BE, AF и CD пересекаются в одной точке.