Глава1. Равнобедренный прямоугольный треугольник.

№1. Условие: в равнобедренном прямоугольном треугльнике ABC угол B—прямой. Проведена биссектриcа треугольника AF; через центр его вписанной окружности треугольника I проведена прямая, ей перпендикулярная. Последняя прямая пересекает катет AB в точке G, а гипотенузу AC—в точке H.

Доказать: середина биссектрисы AF является центром окружности Эйлера треугольника AGH

№2. Условие: в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BD и медиана CE. В треугольнике BDA также проведена медиана AF.Эти медианы пересекаются в точке G.

Доказать: G—одна из точек Брокара треугольника DEF.

№3. Условие: прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом B. Биссектрисы AD и CE. Радиус описанно окружности трапеции CDEA равен R, а радиус вписанной окружности треугольника равен r.

Доказать: CE(CE-CD)=2Rr.

Глава 2. Разные этюды на прямоугольный треугольник.

№4. Условие: центр вписанной окружности I треугольника ABC с прямым углом B отразили симметрией относительно катета AB и получили точку I'. При этом оказалось, что луч CI' делит угол ACB в отношении 1: 3,так что точка I' ближе к прямой BC, нежели к прямой AC.

Найти углы треугольника.

№5. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B, центром вписанной окружности I и высотой BD расстояние AI равно длине этой высоты. На отрезке AI взята его середина E, на отрезке EI как на оосновании построен квадрат IEFG с вершинами F и G в разных полуплоскостях с точкой С относительно прямой AB. Отрезок IG пересекает сторону AB в точке J, из точки J опущен перпендикуляр JK на прямую EF.

Доказать: площадь прямоугольника JFKG меньше площади треугольника BDI.

№6. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD; пусть на катетах AB и BC существуют точки F и E, так что AD=DF и BD=DE. Около треугольника DEC описана окружность с центром O. Отрезок EO пересекает гипотенузу AC в точке P.

Доказать: отрезок EF проходит через ортоцентр треугольника ABP.

№7. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC угол A—прямой . Высота AE, медиана CD.

Доказать: эта медиана не может проходить через центр вписанной окружности треугольника AEB.

Глава 3. Построения и прямоугольный треугольник.

№8. Условие: прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Высота BD.

Найти на высоте BD такую точку E, чтобы отрезок, соединяющий точки пересечения окружности, описанной около треугольника AEC, с прямыми, содержащими катеты треугольника, проходил через D.

№9. Условие: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена медиана BD и через неё проведена прямая.Построить циркулем и линейкой такую точку Q на этой прямой, что площадь треугольника AQB равна AC^2.

№10. Условие: дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена BD-биссектриса треугольника;отмечены середины дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB-E и F соответственно (сами окружности не проведены!); эти дуги не содержат концов гипотенузы треугольника.

Построить одной линейкой центры окружностей.

№11. Условие: около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом B описана окружность. В треугольнике проведена высота BD. На дуге AC по другую сторону относительно AC, чем B, отмечена произвольная точка E. Из неё опущен перпендикуляр EF на прямую AC.

1. Построить отрезок, равный по длине гипотенузе треугольника, образованного катетами с длинами, равными длинам отрезков BD и EF, одним прямым углом.

2. Построить отрезок, равный по длине катету треугольника, у которого гипотенуза равна отрезку BD, а катет—отрезку EF (будем считать, что BD>EF), также одним прямым углом.

№12. Условие: дан прямоугольный треугльник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону—равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стёрли, оставив только точки A и B.

Восстановите точку M.