Тема 2. Волновые процессы.
Волновое движение. Волновые процессы. Упругая среда. Продольные и поперечные волны. Фронт волны, волновая поверхность. Плоские, сферические и цилиндрические волны. Характеристики волны: длина, период, скорость, линейная и циклическая частота. Связь характеристик. Связь разности фаз колебаний двух точек с волновым числом и расстоянием между точками.
Простейшее одномерное уравнение плоской волны. Уравнение бегущей волны слева направо и справа налево. Волновое число. Дифференциальное уравнение волны второго порядка (волновое уравнение). Решение дифференциального уравнения. Волновой вектор и число. Связь волнового числа с фазовой скоростью и частотой волны. Смещение, скорость и ускорение точек среды, их амплитудные значения.
Стоячая волна, уравнение стоячей волны, ее амплитуда.
Дисперсия волн. Дисперсионное уравнение. Фазовая и групповая скорости. Связь между фазовой и групповой скоростью.
Энергия упругой волны. Перенос энергии волной. Плотность потока энергии волны – вектор Умова. Среднее значение объемной плотности энергии, ее связь с плотностью среды, циклической частотой и амплитудой волны. Интенсивность волны.
Электромагнитные волны. Излучение электромагнитных волн. Опыты Герца. Дифференциальное уравнение плоской электромагнитной волны в частных производных второго порядка – следствия уравнений Максвелла. Решение дифференциальных уравнений. Поперечность электромагнитных волн. Правая тройка векторов. Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде, ее связь со скоростью волны в вакууме и показателем преломления; с магнитной проницаемостью и диэлектрической проницаемостью среды. Выражение скорости света в вакууме через электрическую и магнитную постоянные. Абсолютный и относительный показатель преломления. Связь относительного показателя преломления со скоростями распространения волны в средах и длинами волн, периодом и частотой.
Связь амплитуд электрического и магнитного полей. Объемная плотность энергии электромагнитного поля (выражение через амплитудные значения векторов напряженности и электрического смещения электрического поля и магнитной индукции и напряженности магнитного поля; выражение через характеристики среды: электрическую и магнитную постоянные и диэлектрическую и магнитную проницаемость среды). Вектор Умова–Пойнтинга. Правило «буравчика». Единицы измерения вектора.
Образцы тестовых заданий.
4.1.Свободные и вынужденные колебания
1.
Пружинный маятник с жесткостью пружины
совершает
вынужденные колебания со слабым
коэффициентом затухания
которые
подчиняются дифференциальному уравнению
Амплитуда
колебаний будет максимальна, если массу
груза увеличить в _____ раз(-а).
|
9 |
|
Решение:
Дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний имеет
вид
,
где
коэффициент
затухания,
собственная
круговая частота колебаний;
амплитудное
значение вынуждающей силы, деленное на
массу;
частота
вынуждающей силы. При слабом затухании
(коэффициент затухания значительно
меньше собственной частоты колебаний
маятника) амплитуда колебаний будет
максимальна, если частота вынуждающей
силы совпадет с собственной частотой
колебаний маятника (явление резонанса).
Собственная частота колебаний равна:
частота
вынуждающей силы
.
Для пружинного маятника
значит,
масса груза
Чтобы
частота вынуждающей силы совпала с
собственной частотой колебаний маятника,
масса должна быть равна
Следовательно,
массу груза нужно увеличить в 9 раз.
2.
На рисунках изображены зависимости от
времени координаты и скорости материальной
точки, колеблющейся по гармоническому
закону:
Циклическая
частота колебаний точки (в
)
равна …
|
2 |
|
Решение:
При
гармонических колебаниях смещение
точки от положения равновесия изменяется
со временем по закону синуса или косинуса.
Пусть
.
Скорость есть первая производная по
времени от смещения точки:
.
Отсюда амплитудное значение скорости
.
Отсюда
.
Приведенные графики позволяют найти
и
.
Тогда циклическая частота колебаний
точки
.
3.
Шарик, прикрепленный
к пружине (пружинный маятник) и насаженный
на горизонтальную направляющую, совершает
гармонические колебания.
На
графике представлена зависимость
проекции силы упругости пружины на
положительное направление оси Х от
координаты шарика.
В
положении О энергия пружинного маятника
(в мДж)
равна …
|
40 |
|
Решение:
В
положении О пружинный маятник обладает
кинетической энергией, потенциальная
энергия равна нулю. По закону сохранения
энергии кинетическая энергия в положении
О равна потенциальной энергии в положении
В. Потенциальную энергию можно найти
по формуле
,
где
коэффициент
жесткости пружины,
растяжение
(сжатие) пружины. Жесткость пружины
можно определить, используя график:
;
.
Величину растяжения пружины в положении
В
также можно определить из графика:
.
Следовательно,
кинетическая энергия в положении О
равна:
4.
Тело совершает гармонические колебания
около положения равновесия (точка 3) с
амплитудой
(см.
рис.). Ускорение тела равно нулю в
точке …
|
3
|
Решение:
При
гармонических колебаниях смещение тела
от положения равновесия изменяется со
временем по закону синуса или косинуса.
Пусть
.
Поскольку ускорение тела равно второй
производной от координаты по времени,
зависимость ускорения от времени дается
выражением
.
Отсюда следует, что ускорение равно
нулю в тех точках траектории, в которых
равна нулю величина смещения тела из
положения равновесия, то есть в точке
3.
5. В колебательном контуре за один период колебаний в тепло переходит 4,0 % энергии. Добротность контура равна …
|
157 |
|
Решение:
По
определению добротность равна
где
и
–
энергия контура в некоторый момент
времени и спустя период соответственно.
Следовательно,
6.
Колебательный контур состоит из катушки
индуктивности
конденсатора
и
сопротивления
Добротность
контура равна …
|
200 |
|
Решение:
Добротность
контура равна:
7.
Тело совершает
колебания по закону
.
Время релаксации (в
)
равно …
|
4 |
|
Решение:
Время
релаксации
–
это время, в течение которого амплитуда
колебаний уменьшается в
(~
2,7 – основание натурального логарифма)
раз. Время релаксации связано с
коэффициентом затухания:
.
Коэффициент затухания
,
поскольку закон, по которому происходят
затухающие колебания, имеет вид:
.
Таким образом, время релаксации
.
8.
Амплитуда затухающих
колебаний уменьшилась в
раз
(
– основание натурального логарифма)
за
.
Коэффициент затухания (в
)
равен …
|
20 | |
Решение:
Амплитуда
затухающих колебаний изменяется со
временем по закону
,
где
–
коэффициент затухания. По условию
.
Тогда
и
.
9.
Маятник совершает
колебания, которые подчиняются
дифференциальному уравнению
Время
релаксации равно _____ c.
|
4 | |
Решение:
Дифференциальное
уравнение затухающих колебаний имеет
вид
,
где
коэффициент
затухания,
собственная
круговая частота колебаний. Время
релаксации
–
это время, в течение которого амплитуда
колебаний уменьшается в
(~
2,7) раз. Время релаксации связано с
коэффициентом затухания:
.
Коэффициент затухания равен:
.
Значит время релаксации
10. Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в раз ( – основание натурального логарифма) за . Коэффициент затухания (в ) равен …
|
20 | |
Решение: Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по закону , где – коэффициент затухания. По условию . Тогда и .
11.
На рисунке представлена зависимость
амплитуды вынужденных колебаний
математического маятника от частоты
внешней силы при слабом затухании.
Длина
нити маятника (в см)
равна …
|
10 |
|
Решение:
На
графике представлена резонансная
кривая. Если частота вынуждающей силы
равна резонансной частоте, амплитуда
вынужденных колебаний достигает
максимального значения. При слабом
затухании резонансная частота практически
равна собственной частоте колебаний
математического маятника
Отсюда
