Указания, решения и комментарии

7 класс

1. Решение. Скобки в выражении можно расставить по-разному.

Например:

7 – (6 – 5) – 4 – (3 – 2) – 1 = 0,

(7 – 6) – (5 – 4) – (3 – 2 – 1) = 0.

2. Ответ: 1991 + 1 + 9 = 2001.

Решение. Из того, что числа АВВА и CDDA оканчиваются на одинаковую цифру, следует, что А + В оканчивается на 0, т.е. А + В = 10, АВВА + 10 = CDDA. Заметим теперь, что первые цифры у чисел АВВА и CDDA различны, откуда следует, что был переход через тысячу. Но это возможно только в том случае, когда В = 9. Откуда А = 1, тогда С = 2, D = 0.

Комментарий. Ответ без объяснений – 2 балла.

3. Ответ: например, 1, 3 и 6 кг.

Решение. Действительно: 10 = 6 + 3 + 1, 9 = 6 + 3, 8 = 6 + 3 – 1, 7 = 6 + 1, 6 = 6, 5 = 6 – 1, 4 = 3 + 1, 3 = 3, 2 = 3 – 1, 1 = 1.

Те гири, веса которых берутся с минусом, ставятся на ту же чашку весов, что и взвешиваемый груз, те, что с плюсом, – на другую.

Комментарий. Пример без объяснения – 3 балла.

4. Ответ: I – Л, II – П. На острове 1000 Л и 1000 П.

Решение. Ответы первого и второго различны, поэтому вариант П и П невозможен. Также невозможен и вариант Л и Л, так как числа 1001 и 1000 отличаются на 1, а ответы лжецов по поводу количества Л должны были либо совпадать, либо отличаться на 4. Вариант I – П, II – Л также невозможен, так как в этом случае на острове проживает 1003 П и, значит, Л не мог дать ответ 999 П. Остается вариант I – Л, II – П. Из ответа II получаем 1000 Л и 1000 П, что соответствует ответу I.

Комментарий. Ответ без обоснования – 2 балла.

5. Ответ: пример разрезания приведен на рисунке.

Рис.

Указания, решения и комментарии

8 Класс

1. Доказательство. Возьмем a = n² + 1, тогда

(n² + 1) (n + 1) – (n² + n + 1) = n³.

2. Ответ: нет.

Решение. Предположим, что требуемая расстановка чисел существует. И поскольку суммы чисел, стоящих в соседних столбцах, отличаются на единицу, то в пяти столбцах сумма чисел – четна, а в пяти других – нечетна. В результате сумма чисел во всей таблице нечетна. Однако 1 + 2 + ... + 100 = 5050 – четное число. Противоречие.

Комментарий. Ответ без обоснования – 0 баллов.

3. Ответ: 13, 13 и 22 года.

Решение. Из условия получаем аа + 2bc = d(2d), откуда следует, что а – четная цифра, т.е. а = 2 (теоретически возможно и а  4, но тогда d  6 и 2d уже не является цифрой). Значит, d  3. Если d = 3, то возраст каждого из близнецов составит лет – слишком маленький для участия в олимпиаде; если d = 4, их возраст равен лет. d = 5 не подходит, так как 2d цифрой не будет.

Комментарий. Ответ без обоснования – 2 балла.

4. Решение. Разобьем все монеты на три кучки по 4 монеты. Фальшивые могут оказаться в одной кучке или в двух разных. В любом случае две кучки имеют одинаковую массу, а третья отличается от них. Ясно, что не более чем за два взвешивания можно выделить кучки равной массы.

Теперь возьмем третью кучку, разобьем ее на две пары монет и взвесим их. Если весы окажутся в равновесии, то эти пары можно добавить к найденным ранее четверкам. В противном случае можно утверждать, что в одной из пар монеты фальшивые, а в другой – настоящие, поэтому монеты каждой пары раскладываются по одной в две кучки, имеющие равную массу.

5. Доказательство. Пусть AD и CE – данные высоты, O – точка их пересечения (см. рис.). Из того, что в прямоугольном треугольнике AOE AOE = 60, следует, что , т.е. OE = OD. Значит, прямоугольные треугольники OEB и ODB равны по гипотенузе и катету. Тогда BE = BD, откуда следует, что ABD = CBE. Отсюда AB = BC. В то же время ABC = 90 – BAD = = AOE = 60. Значит, треугольник ABC – равносторонний.

60

А

С

Е

D

В

Рис.