Задания районной, городской олимпиады по математике 2003 года

7 Класс

1. Расставите скобки в выражении 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 так, чтобы получилось верное равенство.

2 балла

2. Решите ребус АВВА + А + В = CDDA. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные.

4 Балла

3. Какой вес должна иметь каждая из трех гирь для того, чтобы с их помощью можно было бы взвесить любое целое число килограммов от 1 кг до 10 кг на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки). Обоснуйте своей ответ.

6 баллов

4. Путешественник прибыл на остров, на котором живут лжецы (Л) и правдолюбцы (П). Каждый Л, отвечая на вопрос «Сколько...?», называет число на 2 больше или на 2 меньше, чем правильный ответ, а каждый П отвечает верно. Путешественник встретил двух жителей острова и спросил у каждого, сколько Л и П проживают на острове. Первый ответил: «Если не считать меня, то 1001 Л и 1002 П», а второй: «Если не считать меня, то 1000 Л и 999 П». Сколько Л и П на острове? Кем оказались первый и второй жители острова?

4 балла

5. Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 45 вырезанием четырех угловых клеток 11 (см. рис.), на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Рис.

4 балла

Задания районной, городской олимпиады по математике 2003 года

8 класс

1. Докажите, что для любого натурального числа n можно выбрать такое натуральное число а, чтобы число a(n + 1) – (n² + n + 1) нацело делилось на n³.

3 балла

2. В клетках квадратной таблицы 1010 произвольным образом расставлены числа от 1 до 100. Пусть S₁ , S₂ , ..., S₁₀ – суммы чисел, стоящих в столбцах таблицы. Могло ли оказаться так, что среди чисел S₁ , ..., S₁₀ любые два соседних числа различаются ровно на 1?

3 балла

3. В городской олимпиаде по математике участвовали два близнеца. На вопрос о том, есть ли у них еще братья и какого они возраста, близнецы ответили: «У нас есть брат, его возраст записывается двумя одинаковыми цифрами, а суммарный возраст всех нас троих – двузначное число, у которого вторая цифра вдвое больше первой». Определите возраст братьев.

4 балла

4. Известно, что в наборе из 12 одинаковых по виду монет есть две фальшивые, которые отличаются от остальных по массе (настоящие монеты равны по массе друг другу и фальшивые монеты также равны по массе друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более трех взвешиваний на чашечных весах без гирь?

4 балла

5. Угол между двумя высотами остроугольного треугольника АВС равен 60, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

6 баллов