17.​ Истечение жидкости из отверстия. Формула Торричелли.

Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием^[1].

Формула Торричелли утверждает, что скорость истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты , то есть

где – ускорение свободного падения.

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии и потерянной потенциальной энергии .

Эта формула была получена (хотя и не в приведённой выше форме^[2]) итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Истечение жидкости через отверстия

Рассмотрим истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре (рис. 12.1). Отверстие в тонкой стенке – это отверстие, диаметр которого минимум в 3 раза больше толщины стенки, т.е.

d_o> 3d_.

При истечении жидкости, через отверстие в тонкой стенке на некотором расстоянии от стенки (l = d_o), происходит сжатие струи. Площадь живого сечения струи будет меньше площади отверстия. Это объясняется тем, что частицы жидкости при входе в отверстие имеют скорости различных направлений.

Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии, равном примерно одному диаметру отверстия. Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения жидкости в резервуаре, в том числе от радиального движения по стенке, к осевому движению струи.

Рис.12.1. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке

а – в атмосферу; б – под уровень жидкости

Сжатие струи характеризуется коэффициентом сжатия

e= S_c/S_o,

где S_c - площадь живого сечения струи; S_o - площадь отверстия.

Коэффициент сжатия eопределяется опытным путем и для круглых отверстий равен 0,64.

16.​ Движение жидкости. Теорема о неразрывности струи. Уравнение Бернулли.

Гидродинамика - раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твёрдыми телами. Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости , как функцию времени .Совокупность векторов , заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости . Стационарное течение – это установившееся движение жидкости, при котором вектор скорости в каждой точке пространства остаётся постоянным, т.е. . ^ Линии тока - это линии, проведённые в движущейся жидкости так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости . Густота линий тока пропорциональна величине скорости в данном месте. ^ Трубка тока – это часть жидкости, ограниченная линиями тока. Частицы жидкости при своём движении не пересекают стенок трубки тока. Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за время t, равен Svt. Тогда Q = Sv - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за единицу времени. Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S₁ и S₂ будет оставаться неизменным, и тогда S₁v₁ = S₂v₂ . Это справедливо для любой пары S₁ и S₂ , и мы получаем Sv = const – теорема о неразрывности струи: Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой.

Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности r, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид:

v²/2 + plr + gh = const,

где g — ускорение силы тяжести.

Движение жидкости называют течением, а совокупность частиц движущейся жидкости потоком. При описании движения жидкости определяют скорости, с которыми частицы жидкости проходят через данную точку пространства. Если в каждой точке пространства, заполненного движущейся жидкостью, скорость не изменяется со временем, то такое движение называется установившимся, или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Мы будем рассматривать только стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Идеальной называют жидкость, в которой отсутствуют силы трения.

Как известно, неподвижная жидкость в сосуде, согласно закону Паскаля, передает внешнее давление ко всем точкам жидкости без изменения. Но когда жидкость течет без трения по трубе переменного поперечного сечения, давление в разных местах трубы неодинаково. Оценить распределение давлений в трубе, по которой течет жидкость, можно с помощью установки, схематически изображенной на рисунке 1. Вдоль трубы впаивают вертикальные открытые трубки-манометры. Если жидкость в трубе находится под давлением, то в манометрической трубке жидкость поднимается на некоторую высоту, зависящую от давления в данном месте трубы. Опыт показывает, что в узких местах трубы высота столбика жидкости меньше, чем в широких. Это значит, что в этих узких местах давление меньше.