21.​ Упругие волны. Уравнения плоской и сферической волн. Волновое уравнение. Энергия упругой волны. Стоячие волны. Звук. Скорость звука в газах.

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений математической физики.

В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

,

где  — оператор Лапласа,  — неизвестная функция,  — время,  — пространственная переменная,  — фазовая скорость.

Уравнение плоской волны

      Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.

      Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )

(5.2.2)

      Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .

      Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t  от колебаний частиц в плоскости , т.е.

,

(5.2.3)

      – это уравнение плоской волны.

Уравнение сферической волны

      В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.

      Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:

, или ,

(5.2.7)

      где А  равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.

      Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.

Энергия, переносимая упругой волной

Волновое движение сопровождается переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Эта энергия складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных участков среды. Энергия, переносимая

волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Плотностью потока энергии или интенсивностью волны называется количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Пусть участок волнового фронта площадью  за время  переместился на расстояние , вследствие чего частицы среды в объеме цилиндра высотой  и основанием  приводятся в колебательное движение (рис.8.4). Обозначим через  среднюю энергию частиц, содержащихся в единичном объеме (плотность энергии). Если считать, что плотность энергии везде одинакова, то за время  через площадку  пройдет энергия . Тогда интенсивность волны равна

(8.3)

или, в векторной форме,

.

Вектор  называется вектором Умова. Он перпендикулярен фронту волны, указывает направление распространения энергии и по модулю равен плотности потока энергии. Объемную плотность энергии  можно выразить через энергию каждой частицы и количество частиц  в единице объема:

,

(8.4)

где  – плотность среды. Подставив это выражение в (8.3), получим:

.

Таким образом, интенсивность упругой волны пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату собственной частоты колебаний частиц, плотности среды и скорости распространения волны.

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.

Если: c — Скорость звука в газе (м/с), χ = с_p / с_u — показатель адиабаты, ρ — Плотность газа (кг/м³), p — Давление газа (Н/м²), R — Газовая постоянная (Дж/кг·К), T — Температура газа (К), То, Скорость звука в газах описывается следующей формулой:

1.	c= χp ρ = χRT

Скорость звука в газах в широких пределах зависит только от температуры и не зависит от давления газа.

Упру́гие во́лны (звуковые волны) — волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.

Звук — физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. В узком смысле под звуком имеют в виду эти колебания, рассматриваемые по отношению к тому, как они воспринимаются органами чувств животных и человека^[1].

Как и любая волна, звук характеризуется амплитудой и спектром частот. Обычно человек осознаёт колебания, передаваемые по воздуху, в диапазоне частот от 16—20 Гц до 15—20 кГц^[2]. Звук ниже диапазона слышимости человека называют инфразвуком; выше: до 1 ГГц, — ультразвуком, от 1 ГГц — гиперзвуком.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.