11. Момент импульса частицы. Законы изменения и сохранения момента импульса частицы.
Момент импульса в классической механике
Определение
Момент
импульса
частицы
относительно некоторого начала отсчёта
определяется векторным
произведением
ее радиус-вектора
и импульса:
где
—
радиус-вектор частицы относительно
выбранного неподвижного в данной системе
отсчета начала отсчёта,
—
импульс частицы.
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Из определения момента импульса следует его аддитивность. Так, для системы частиц выполняется выражение:
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства.
10. Центр масс (инерции). Уравнение движения центра масс твердого тела.
Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр — (в механике) геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Не является тождественным понятию центра тяжести (хотя чаще всего совпадает).
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[2]:
где
—
радиус-вектор
центра масс,
—
радиус-вектор i-й
точки системы,
—
масса
i-й
точки.
Для случая непрерывного распределения масс:
где
—
суммарная масса системы,
—
объём,
—
плотность. Центр масс, таким образом,
характеризует распределение массы по
телу или системе частиц.
Можно
показать, что если система состоит не
из материальных точек, а из протяжённых
тел с массами
,
то радиус-вектор центра масс такой
системы
связан
с радиус-векторами центров масс тел
соотношением[3]:
Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек. Центры масс однородных фигур: У отрезка — середина.
У многоугольников (как сплошных плоских фигур, так и каркасов):
У параллелограмма — пересечение диагоналей.
У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
У полукруга - точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении 4:3π от центра круга.
Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):
и
,
где
—
объём тела, полученного вращением фигуры
вокруг соответствующей оси,
—
площадь фигуры.
Понятие центра масс широко используется в механике и физике.
Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.
Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.
