60.Формальное определение абстрактной системы

Введем, прежде всего, следующие исходные понятия: 1. Системой (абстрактной) S называется отношение над абстрактными множествами Х и У: 2. Если S — функция, S: Х -> У, мы будем называть систему функциональной. Для простоты мы будем писать просто “система” без указания на то, является ли она функциональной, когда это свойство несущественно или когда оно вытекает из контекста. Входящие в определение системы множества Х и У характеризуют входные и выходные объекты и называются соответственно входным и выходным множествами, а их элементы — входами и выходами. Таким образом, представление системы в виде отношения есть представление в форме “вход — выход”. Входы функциональной системы могут рассматриваться как причины, а выходы как следствия; Рассмотрим разностное уравнение (1) описывающее некоторые наблюдения, которые проводятся в дискретные моменты времени Т = {1, 2. .... п}. Для заданного начального условия y₀ каждому набору из п чисел х = (x= ₁,..., x_n R) _n соответствует единственный набор у = (y₁, .... y_n R) _n, который удовлетворяет уравнению (1) для каждого k = 1, .... п. Таким образом, определено отображение S_: Rⁿ->Rⁿ, такое, что для всех х из Rⁿ-образ у = S_ (x) является единственным решением уравнения (1) при заданном начальном условии у₀. Если допустимые начальные условия образуют множество Y= ₀  R R, мы получаем отношение S ⁿ * Rⁿ S, причем S = _ R. Таким образом, приведенное выше уравнение описывает и общем случае систему S ⁿ* Rⁿ и, в частности, определяет функциональную систему S_, когда задано начальное условие y₀.= Рассмотрим простую динамическую систему: Обозначим коэффициент упругости невесомой пружины через k, смещение тела массы т из положения равновесия в момент времени t — через у'' (t), а внешнюю силу, действующую на тело в момент времени t, через х (t). Предположим, что трение отсутствует. Тогда связь между х (t} и у (t) задается следующим дифференциальным уравнением: my'' (t) = x(t) - ky(t) (2) T Y, такое, что для каждого t  Х соответствует единственным образом определённое у  = (у (0), у' (0)) каждому х ). Пусть Х — множество всех интегрируемых вещественных функций, определенных на Т, а Y — множество всех вещественных функций на Т. Тогда для заданных начальных условий Предположим, что мы наблюдаем х (t) и у (t) в интервале времени Т= [0, где w= (k/m)^1/2. Таким образом, это уравнение описывает однозначное отображение S_: Х —> У. R * R, то данная система представляется отношениемЕсли множеством допустимых начальных условий является A