42. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем

Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:

(1)

или разностного уравнения

(1΄)

и пусть x — это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие (2)

или (2΄)

При каких условиях выполняется равенство (2)?

Уравнениям (1) и (1΄) соответствуют характеристические уравнения:

… (3)

… (3΄)

Если корни s_i уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом .

В общем случае корни являются комплексными s_i=α_i+jβ_i.

1) Если α_k>0 A→∞ система не устойчива.

2) Если α_k<0 A→0 система устойчива.

3) Если α_k=0 A=c_k=const система нейтрально устойчива.

Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S.

Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3΄) z_i были: |z_i|<1 … (!!)

43. Первое определение системы

Начнем с рассмотрения искусственных, т.е. создаваемых человеком, систем. Система (искусственная) есть средство достижения цели. Однако соответствие цели и системы неоднозначно: в чем-то разные системы могут быть ориентированны на одну цель; одна система может иметь (и, как правило, имеет) несколько разных целей.

Модель типа "черный ящик" отображает только связи системы со средой, в виде перечня "входов" и "выходов". Трудность построения модели "черного ящика" состоит в том, что надо решить, какие из многочисленных реальных связей включать, а какие не включать в состав модели. Кроме того, всегда существуют и такие связи, которые нам неизвестны, но они-то и могут оказаться существенными.

Как уже отмечалось, любая деятельность человека носит целенаправленный характер. Наиболее четко это прослеживается на примере трудовой деятельности.

Цели, которые ставит перед собой человек, редко достижимы только за счет его собственных возможностей или внешних средств, имеющихся у него в данный момент. Такое стечение обстоятельств называется проблемной ситуацией. Примером такой ситуации, требующей создания АСУ, является случай, когда обычные способы сбора и переработки информации не обеспечивают необходимой полноты и быстроты ее обработки, что значительно снижает качество принимаемых управленческих решений.

Проблемность существующего положения осознается в несколько "стадий": от смутного ощущения, что "что-то не так", к осознанию потребности, затем к выявлению проблемы и, наконец, к формулировке цели. Цель — это субъективный образ (абстрактная модель) несуществующего, но желаемого состояния среды, которое решило бы возникшую проблему.

Вся последующая деятельность, способствующая решению этой проблемы, направлена на достижение поставленной цели. В дальнейших главах мы будем подробно рассматривать этапы такой деятельности, а сейчас лишь укрупненно в общих чертах опишем ее как действия, направленные на отбор из окружающей среды объектов, свойства которых можно использовать для достижения цели, и на объединение этих объектов надлежащим образом, т. е. как работу по созданию того, что мы и будем называть системой. Другими словами, система есть средство достижения цели. Это и есть первое определение системы.

Приведем несколько упрощенных примеров систем, предназначенных для реализации определенных целей.

Таблица 2.1

№ примера	Цель	Система
1.	В произвольный момент указать время	Часы
2.	Обеспечить выпечку хлеба в заданном ассортименте для значительного количества людей	Пекарня
3.	Передать зрительную информацию в звуковом сопровождении на большие расстояния практически мгновенно	Телевидение
4.	Обеспечить быстрое перемещение большого числа людей по их желанию в пределах города	Городской транспорт

Полезно разобраться, в чем именно состоит упрощенность этих примеров. Прежде всего, обратим внимание на то, что здесь речь идет об уже существующих и общеизвестных системах. Тем не менее, далеко не просто сформулировать их цели так, чтобы имелось действительно очевидное соответствие между целями и системами. Например, только слова "практически мгновенно" в примере 3 отличают цель телевидения от цели кино или пересылки видеокассет.