7.3. Интерполяционные формулы Ньютона.
Пусть интерполируемая функция задана
значениями
на системе равноотстоящих узлов,
таких что
,
где
шаг сетки (таблицы) интерполяции.
Определим конечные разности 1-го порядка:
Число конечных разностей 1-го порядка
табличной функции заданной
узлом равна
.
Определим конечные разности 2-го порядка:
Для конечных разностей
-того
порядка:
,
где
и
.
По определению 1-ая производная функции
в точке
:
lim
lim
.
Следовательно, можно говорить о том, что отношение конечных разностей 1-го порядка к шагу интерполяционной таблицы является численным приближением первой производной интерполируемой функции в узлах интерполяции, т.е.:
.
Рассмотрим связь конечных разностей 2-го порядка со второй производной интерполируемой функции:
В общем случае можно говорить о связи между конечными разностями и производными интерполируемой функции -того порядка:
.
Интерполяционный полином
будем искать в виде:
.
Необходимо определить
коэффициент
.
Из 1-го условия интерполяции получаем:
.
То есть 1-ый коэффициент
.
Из 2-го условия интерполяции получаем:
.
Таким образом, для второго коэффициента
имеем:
.
Рассмотрим 3-е условие интерполяции:
.
Для коэффициента
можно записать:
Введем следующее обозначение:
.
Тогда можно записать:
Таким образом, 1-ая интерполяционная формула Ньютона (формула для интерполирования слева):
Разделенные разности 1-го порядка.
Разделенные разности 2-го порядка.
…
Разделенные разности k-го порядка:
Формула Ньютона для интерполирования с непостоянным шагом:
Лекция №8. Кусочно-линейная интерполяция. Сплайн-интерполяция.
Продолжительность: 2 часа (90 мин.)
8.2. Сплайн-интерполяция.
Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [а, Ь] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.
Слово «сплайн» (английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых: через заданные точки плоскости.
Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Определение. S(x)
– сплайн функция, которая соответствует
данной функции f(x)
и соответственно узлам
, где i=0..n
, и удовлетворяет следующим условиям:
На каждом отрезке
S(x)
– является многочленом третьей степени.
S
(x)
и ее первая и вторая производные
непрерывны на заданном интервале [a,b].
В каждом узле значения сплайна равны значениям исходной функции.
-
коэффициенты в узлах
- могут быть определены из условия
сшивки.
Таким образом, можно построить 3n - 2 уравнений, из которых и находят эти коэффициенты. Но необходимо задать еще и условия на границе.
Составим такую форму записи сплайна, которая включает в себя выполнение условия непрерывности самого сплайна и его второй производной.
- длина интервала
w- относительная координата, которая вычисляется следующим образом
- коэффициенты, которые нужно определить
1-я производная:
2-я производная:
Данное соотношение может быть записано для каждого узла выделенного интервала.
- конечная разность первого порядка.
Для крайних верхней и нижней строчек необходимо использовать условия на границе, которые будут иметь следующий вид.
