Лекция №3. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Жордана-Гаусса. Обращение матрицы.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

3.1. Метод Жордана-Гаусса.

Исходная система.

Для метода Жордана-Гаусса реализуются следующие этапы.

1. Нормализация строки. (также как и в методе Гаусса).

1-ю строку делим на , затем умножаем на и из 2-ой строки вычитаем 1-ю. Такую операцию проделываем с остальными строками.

2. Преобразование матрицы к диагональной.

Указанным выше способом преобразовываем исходную матрицу к диагональной.

3.2. Обращение матрицы.

Обращение матрицы.

, где - обратная матрица и Е – единичная матрица

Нахождение обратной матрицы при помощи метода Жордана-Гаусса.

Исходная матрица

Преобразуем исходную матрицу к единичной, используя метод Жордана и при этом совершаем преобразования и над единичной матрицей.

Обратная матрица

Лекция №4. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод прогонки. Примеры реализации.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

0. Метод прогонки.

, где

, где и - прогоночные коэффициенты.

Первое уравнение.

Второе уравнение.

.

Обозначим , тогда .

Третье уравнение.

, где .

i-тое уравнение.

, где .

Вычисление и для – прямая прогонка.

Из уравнений n и n-1 имеем:

.

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных с помощью прогоночных коэффициентов:

,

,

… ,

.

Алгоритм решения СЛАУ методом прогонки:

1)

2) Для :

3) .

4) .

5) .

6) Для (шаг -1):

7) .

Метод прогонки корректен при и устойчив при . Достаточное условие, обеспечивающее устойчивость метода:

4.2. Примеры реализации.

Задача.

Решить СЛАУ методом прогонки:

, .

.

.

.

Решение

Лекция №5. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Якоби. Метод Зейделя. Метод верхней релаксации.

Продолжительность: 2 часа (90 мин.)

5.1. Метод Якоби.

Исходная система может быть преобразована к эквивалентной системе вида:

, где

- некоторая новая матрица;

- некоторый новый вектор.

Метод простой итерации (МПИ) предполагает нахождение решения системы путем вычисления последовательных приближений с помощью рекуррентного равенства:

, где

- номер итерации, а - некоторое начальное приближение. Матрица называется матрицей итерирования или перехода.

Необходимым и достаточным условием сходимости метода простой итерации при любом начальном приближении к решению системы является требование, чтобы все собственные числа матрицы перехода были по модулю меньше 1.

Устойчивый способ разложения .

,

В развернутом виде полученное матричное уравнение можно записать следующим образом:

Достаточный признак сходимости метода Якоби.

Метод Якоби сходится в случае диагонального преобладания в матрице коэффициентов СЛАУ:

, где .